Уравнения и неравенства 10 класс задания

«Решение неравенств». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели:

1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения рациональных неравенств.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся,умению комментировать,тренировать память.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду,чувства товарищества и взаимопомощи.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал(разноуровневые карточки с практическими заданиями).

Структура урока:

1. Сообщение темы и цели урока (1 мин.)
2. Проверка домашнего задания (5 мин.)
3. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу (10 мин.)
4. Инструктирование по выполнению заданий в группах (3 мин.)
5. Выполнение заданий в группах (15 мин.)
6. Проверка и обсуждение полученных результатов (8 мин.)
7. Постановка домашнего задания (2 мин.)
8. Подведение итогов урока (1 мин.)

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока.

Сегодня на уроке мы будем решать неравенства методом интервалов и методом замены переменных. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона:“При изучении наукпримеры не менее поучительны,нежели правила” и слова Ломоносова: “Примеры учат больше,чем теория”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом были даны неравенства. Проверьте ваше решение по интерактивной доске.

Отметим на числовой оси корни числителя и знаменателя.

Ответ: Є (-3; 1]

≥

Преобразуем исходное неравенство

– ≥ 0

≥ 0

≥ 0

≥ 0

Применим метод интервалов.

III. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.

Решим методом интервалов следующее неравенство. (Учитель на доске дает образец решения неравенств).

≥ 0

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции f(x)находим из системы неравенств

Область определения: [-4; 3) U (3; 4]

2. Уравнение f (x) ═ 0 имеет корни: -4; 4; 3,5

Ответ: [-4; 3) U [3,5; 4]

Следующее неравенство решим методом замены переменных.

()² + 7 () +12 0

≤ 0

≥ 0

V. Выполнение заданий в группах.

VI. Проверка и обсуждение полученных результатов.

Проверьте по интерактивной доске решение работы.

Учащиеся осуществляют самопроверку и самооценку заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.

Ответы к рассмотренному варианту.

Воспользуемся методом интервалов, получим :

≤ 0

Замена

Тогда t-1 — ≤ 0

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Подборка заданий по теме » Показательные уравнения и неравенства» Совместная разработка учителей Зайцевой Е.Б. ( ГБОУ гимназия № 526 )и Мальчиковой Н.М.(ГБОУ СОШ № 355)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ гимназия №526 Зайцева Е.Б. ГОУ СОШ №355 Мальчикова Н.М.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Основные типы задач Часть А

1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-2; -1) 2) (-1; 0) 3) (0; 1) 4) [-1; 2]

2. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2 2) 3) 4) 0,5

3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов: 1) (0; 8) 2) (-8; 0) 3) (-15; -8) 4) (8; 10)

4. Решите уравнение

Варианты ответов 1) -3 2) 4 3) нет решений 4) -7

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-15; -5) 2) (-5; 5) 3) (15; 25) 4) (5; 15)

6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-7; 0) 2) (0; 4) 3) (4; 10) 4) (10; 20)

7. Решить уравнение

Варианты ответов 1) 3,5 2) 3,75 3) 3,25 4) 2,5

8. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 4.5 2) 4.6 3) 4,2 4)9

9. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2) 3) 4)

10. Решить уравнение

Варианты ответов 1) -2 2) -1,5; 0,5 3) -0,5; 1,5 4) -0,5; 2.

Основные типы задач Часть В

1. Решить уравнения ( способом логарифмирования )

х 1 =1 х 2 =2 Ответ: 1; 2.

2. Решить уравнения ( способом вынесения общего множителя либо замены переменной )

Вариант решения: х-4=0 х=4 Ответ: 4.

4) 10)

3. Решить уравнения ( способом подстановки )

Пусть , где , тогда , , (- не удовлетворяет условию )

Получаем х=1 или х=0. Ответ: 1; 0.

4. Решить уравнения ( способом подстановки и приведением к квадратному )

Вариант решения: . Пусть , где , тогда , откуда , (- не удовлетворяет условию ). Далее откуда Ответ: 1; -1.

5. Решить однородное показательное уравнение

Вариант решения: разделим все части уравнения на (это возможно, поскольку ), получим . Обозначим теперь , где . Имеем , , , , . х=0. Ответ: 0.

4) 8)

6. Решить уравнение методом оценок и свойств монотонности

Вариант решения: Заметим сразу, что х=1 корень предложенного уравнения и докажем, что других корней уравнение не имеет. Действительно. Перепишем уравнение в виде . Так как функция монотонно убывает, то она может принимать каждое своё значение (в том числе ) лишь в одной точке, таким образом, если уравнение имеет корень, то единственный. Такой корень нами указан х=1. других корней нет. Ответ: 1.

Задания более сложного уровня

1. Уравнения, возможный способ решения логарифмирование

Ответ: 100; 0,01. Ответ: 1.

2. Уравнения, возможный способ решения метод замены переменной

3. Уравнения, которые удается решить, представляя данные выражения в виде произведения

4. Уравнения, решаемые с использованием свойств соответствующих функций

Ответ: 1. Ответ: 0.

Ответ: 1; -1. Ответ: нет решений.

5. Неравенства, решаемые методом интервалов

Ответ:

3. Показательно-логарифмические неравенства решаемые методом интервалов

4. Задания с параметром

1) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ:

2) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ: а>0,5, a≠1, a≠0

3) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

4) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

5) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

6) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

7) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех значениях х . Ответ:

8) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.