Уравнения и неравенства егэ профиль

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Показательные неравенства

2. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,

3. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Вернемся к переменной

Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим на

Решить ее легко.

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Задания по теме «Неравенства»

Открытый банк заданий по теме неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1198

Условие

Для x\geqslant 0 решите систему неравенств

\begin x^4-3x^3-3x^2+5x+12\geqslant 0,\\ x^4-4x^3+x^2+4x+6\leqslant 0. \end

Решение

1. Заметим, что x=0 решением системы не является, так как второе неравенство системы при x=0 не является верным (6 \leqslant 0). Пусть x>0.

Вычитая из первого неравенства второе, получаем

x^3-4x^2+x+6 \geqslant 0.

А вычитая из второго неравенства системы последнее неравенство, получаем

x^4-5x^3+5x^2+3x \leqslant 0,

x(x^3-5x^2+5x+3) \leqslant 0.

Так как x>0, то из последнего неравенства получаем:

x^3-5x^2+5x+3 \leqslant 0.

Таким образом система неравенств

\begin x^3-4x^2+x+6 \geqslant 0, \\ x^3-5x^2+5x+3 \leqslant 0 \end

является следствием исходной.

Вычитая из первого неравенства последней системы второе, умноженное на 2 , и деля полученное неравенство на -x (причём снова обращаем внимание на известное нам ограничение x>0 ), получаем x^2-6x+9 \leqslant 0.

Последнее неравенство (следствие исходной системы) имеет единственное решение x=3. Простой подстановкой убеждаемся, что x=3 является решением системы.

Ответ

Задание №1197

Условие

Решите неравенство \frac1<\log_x 0,5>+6\geqslant 16\log_<4x>2.

Решение

ОДЗ неравенства: \begin x>0, \\ x\neq 1, \\ x\neq \frac14. \end

Т.к. \frac1<\log_x 0,5>= -\frac1<\log_x 2>= -\log_2 x, а \log_ <4x>2 =\frac1<\log_2 x+2>, то неравенство примет вид: -\log_2 x+6 \geqslant \frac<16><\log_2 x+2>. Пусть \log_2 x=t, тогда \frac<16>+ t-6 \leqslant 0, \frac<(t-2)^2>\leqslant 0, t=2 или t \log_2 x=2, откуда x=4 или \log_2 x откуда x Учитывая ОДЗ, получим 0 x=4.

Ответ

\left( 0;\,\frac14\right) , 4.

Задание №1196

Условие

Решите неравенство \log_x2+2\log_<2x>2\geqslant 2.

Решение

Заметим, что x>0, x \neq \frac12, x \neq 1.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

Пусть \log_2x=t, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

Получим два двойных неравенства, решим их, возвращаясь к переменной x :

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — \left( \frac12; \frac1<\sqrt 2>\right] \cup (1; 2].

Ответ

\left( \frac12; \frac1<\sqrt 2>\right] \cup (1; 2].

Задание №1195

Условие

Решение

Заметим, что \sqrt 2>1,4, a \sqrt 3>1,7. Тогда \frac<\sqrt 2+\sqrt 3>3>1.

Получаем неравенство 5\geqslant 7-2^x, 2^x\geqslant 2, x\geqslant 1.

С учетом ОДЗ имеем x\in[1; \log_27).

Ответ

Задание №1194

Условие

Решение

1. Отдельно преобразуем числитель и знаменатель.

1.1. В числителе вынесем за скобки 5^x, чтобы в скобке осталась разность некоторого числа в степени x и константы (вместо этого можно вынести за скобки 3^x, а потом дополнительно преобразовать, или сразу вынести за скобки 3^ ).

1.2. В знаменателе «избавимся» от \log_2 5 в показателе степени (преобразуем его в множитель). После этого получим квадратичное выражение от 2^x (если сделать замену t=2^x, то получим квадратичное выражение от t ). Квадратичное выражение разложим на множители.

2. Все множители в числителе и знаменателе заменим более простыми, совпадающими по знаку (в том числе равными нулю одновременно с исходными — таким образом, не надо будет дополнительно думать об ОДЗ).

3. Решим неравенство, полученное на предыдущем шаге, методом интервалов.

Выражения \left( \frac35\right) ^x-5, 2^x-2^2, 2^x-2^0 совпадают по знаку с выражениями \left( \frac35-1\right)\cdot 5>, (2-1)\cdot (x-2) и (2-1)\cdot (x-0) соответственно.