Уравнения и неравенства нестандартные методы решения справочник

Уравнения и неравенства — Нестандартные методы решения — Справочник — Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

Название: Уравнения и неравенства — Нестандартные методы решения — Справочник

Автор: Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

Справочник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений. Приводятся методы решений уравнений и неравенств, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности), применении производной. Книга ставит своей целью познакомить школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки употреблять нестандартные методы рассуждений при решении задач. Для школьников, абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей и всех любителей решать задачи.

От авторов
Имеется много уравнений и неравенств, для решения которых применимы необычные для школьника рассуждения. В данной книге приведены некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
В книге считаются известными основные определения и факты из теории уравнений и неравенств: равносильность уравнений, уравнение-следствие, совокупность уравнений и т. д.

Оглавление
От авторов 7
Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства 8
1.1. Разложение многочлена на множители 8
1.1.1. Вынесение общего множителя 8
1.1.2. Применение формул сокращенного умножения 9
1.1.3. Выделение полного квадрата 10
1.1.4. Группировка 10
1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов 10
1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам 11
1.1.7. Метод введения параметра 13
1.1.8. Метод введения новой неизвестной 13
1.1.9. Комбинирование различных методов 14
1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений 15
1.3. Симметрические и возвратные уравнения 19
1.3.1. Симметрические уравнения третьей степени 19
1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени 20
1.3.3. Возвратные уравнения 22
1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты 25
1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений 27
1.4.1. Умножение уравнения на функцию 27
1.4.2. Угадывание корня уравнения 29
1.4.3. Использование симметричности уравнения 32
1.4.4. Использование суперпозиции функций 33
1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси 34
1.5. Решение алгебраических неравенств 3 5
1.5.1. Простейшие способы решения алгебраических неравенств 3 5
1.5.2. Метод интервалов 38
Задачи
Глава П. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули 48
1.5.3. Обобщенный метод интервалов 41
2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком корня 48
2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию 56
2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании 59
логарифмов
2.2.1. Переход к числовому основанию 59
2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную 64
2.2.3. Уравнения вида log9(x) h(x) = log9(x) g(x), log/(x) ф(х) = log^(x) ф(х) 65
2.2.4. Уравнения вида log/(x) g(x) = a 66
2.2.5. Неравенства вида log9(x) f(x) > log9(x) g(x) 68
2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и 70 показателе степени
2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком 75 абсолютной величины
2.4.1. Раскрытие знаков модулей 75
2.4.2. Уравнения вида |f(x)|=g(x) 77
2.4.3. Неравенства вида |f(x)| g(x) 79
2.4.5. Уравнения и неравенства вида |f(x)|=|g(x)|, |f(x)| Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Уравнения и неравенства — Нестандартные методы решения — Справочник — Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

М.: Изд-во Факториал, 1997. — 219с .

Справочник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений. Приводятся методы решений уравнений и неравенств, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности), применении производной. Книга ставит своей целью познакомить школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки употреблять нестандартные методы рассуждений при решении задач. Для школьников, абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей и всех любителей решать задачи.

Формат: djvu / zip

Скачать / Download файл

Оглавление
От авторов 7

Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства 8

1.1. Разложение многочлена на множители 8

1.1.1. Вынесение общего множителя 8

1.1.2. Применение формул сокращенного умножения 9

1.1.3. Выделение полного квадрата 10

1.1.4. Группировка 10

1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов 10

1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам 11

1.1.7. Метод введения параметра 13

1.1.8. Метод введения новой неизвестной 13

1.1.9. Комбинирование различных методов 14

1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений 15

1.3. Симметрические и возвратные уравнения 19

1.3.1. Симметрические уравнения третьей степени 19

1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени 20

1.3.3. Возвратные уравнения 22

1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты 25

1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений 27

1.4.1. Умножение уравнения на функцию 27

1.4.2. Угадывание корня уравнения 29

1.4.3. Использование симметричности уравнения 32

1.4.4. Использование суперпозиции функций 33

1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси 34

1.5. Решение алгебраических неравенств 3 5

1.5.1. Простейшие способы решения алгебраических неравенств 3 5

1.5.2. Метод интервалов 38

Глава П. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули 48

1.5.3. Обобщенный метод интервалов 41

2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком корня 48

2.1.1. Возведение в степень 48

2.1.2. Уравнения вида -Jf(x) ± -\lg(x) =h(x) 51

2.1.3. Уравнения вида yf(x) ± \fg(x) = ф(х) 53

2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию 56

2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании 59
логарифмов

2.2.1. Переход к числовому основанию 59

2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную 64

2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и 70 показателе степени

2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком 75 абсолютной величины

2.4.1. Раскрытие знаков модулей 75

2.4.2. Уравнения вида |f(x)|=g(x) 77

2.4.3. Неравенства вида |f(x)| 78

2.4.4. Неравенства вида |f(x)|>g(x) 79

2.4.5. Уравнения и неравенства вида |f(x)|=|g(x)|, |f(x)| 81

2.4.6. Использование свойств абсолютной величины 82

Глава III . Способ замены неизвестных при решении уравнений 87

3.1. Алгебраические уравнения 87

3.1.1. Понижение степени уравнения 87

3.1.2. Уравнения вида (х + ос) 4 + (х +13) 4 = с 88

3.1.3. Уравнения вида (х- а)(х-р)(х- f)(x- 89

3.1.4. Уравнения вида (ах 2 + Ь_хх + с)(ах 2 + Ь₂х + с) = Ах 2 90

3.1.5. Уравнения вида (х- а)(х-р)(х- f)(x- S)=Ax^ 9 1

3.1.6. Уравнения вида а(сх 2 + р_хх + q) 2 + b(cx 2 + p₂x + q) = Ax 2 92

3.1.7. Уравнения вида Р(х)=0, Р(х)=Р(а-х) 93

3.2. Рациональные уравнения 95

3.2.1. Упрощение уравнения 95

_ _ _ .. a,x 2 +hx+c, a₂x 2 + b₂x + c₂ a„x 2 +b„x + c„ . Ю2

3.3. Иррациональные уравнения 104

3.3.1. Уравнения вида -Jax + b ± yjcx + d = f(x) 104

3.3.2. Уравнения вида Ма-х ±Мх-Ь = d 10 7

3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения 111

3.4. Уравнения вида 114

3.5. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем 120
уравнений относительно новых неизвестных

Глава IV. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств 131
входящих в них функций

4.1. Применение основных свойств функций 131

4.1.1. Использование ОДЗ 131

4.1.2. Использование ограниченности функций 134

4.1.3. Использование монотонности 138

4.1.4. Использование графиков 141

4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций 147

4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению 149
систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной

4.2.2. Неравенства вида f 2 (x) + f 2 (x) + . + f 2 (x)>Q,\Mx)\ + \f₂(x)\+. + \f_k(x)\>0 151

4.2.3. Использование ограниченности функций 153

4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса 155

4.2.5. Использование числовых неравенств 158

4.3. Применение производной 160

4.3.1. Использование монотонности 160

4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции 162

4.3.3. Применение теоремы Лагранжа 166

Некоторые задачи из вариантов вступительных экзаменов по математике в 176

МГУ им. М. В. Ломоносова

Образцы вариантов письменных работ, предлагавшихся на вступительных 184

экзаменах по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова в 1992—1994 гг.

Ответы к дополнению 2 212

Примечание: Случайно прочитал на форуме Заочной физико-технической школы при МФТИ такое мнение:

» Олехник , Потапов, Пасиченко. Уравнения и неравенства . Есть у этой книжки есть подзаголовок «нестандартные методы решения», то это тоже книжка великая, но сильно ею не увлекайтесь. Там они лезут в немерянные дебри, которые встречаются довольно редко, но ПРОЧИТАТЬ ее стоит и немножко посмотреть на задачи, чтобы потом не быть в шоке и не говорить, что вы такого не видели.»

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Оглавление

Введение
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение
Список литературы

Введение

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

1. Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
2. Провести опрос
3. Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
4. Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
5. Создать тренажёр
6. Апробировать продукт
7. Провести опрос об эффективности продукта
8. Собрать статистику
9. Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: , ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

• Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно. Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

• Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
• Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
• Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
• Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

• Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
• Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Метод мажорант (оценки)

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

• Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
• Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
• Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

• Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
• Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
• По графику определить решение уравнения/неравенства.
• Доказать справедливость ответа.

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

• Методом подбора определить корень уравнения.
• Найти ОДЗ уравнения.
• Привести многочлен к стандартному виду.
• Определить остальные корни уравнения.

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

Платформы были проанализированы по критериям:

• Понятный и удобный интерфейс сайта
• Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
• Наличие мобильной версии
• Возможность использования русского языка
• Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
• Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
• В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям: