Уравнения и неравенства первого и второго степени

Решение неравенств первой и второй степени

Школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми учащимися, и более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. Нельзя дать универсальных указаний по решению задач с параметрами. Но для неравенств первой и второй степени с параметрами при заданном условии можно рекомендовать использовать графический метод решения, как более наглядный. При этом учитель может рассмотреть задачи, включающие несколько возможных случаев.

Активному и сознательному усвоению учащимися методов решения неравенств первой и второй степени с параметрами способствует актуализация знаний о свойствах линейной и квадратичной функций и их графиках.

Определение. Функция вида y = kx + b, где k и b – произвольные числа, называется линейной функцией.

Графиком линейной функции является прямая с углом наклона к оси абсцисс равным j , где tg j = k. Если k > 0, то угол j острый; если k j тупой; если k = 0, то график либо совпадает с осью абсцисс, либо параллелен ей.

Задача 1. При каких значениях k неравенство (k – 4)x + k – 5 Ј 3?

Задача 2. Найти все значения a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию | x | Ј 1, справедливо неравенство .

Задача 3. При каких значениях a неравенство 2x – a 2 + 5
Задача 4. При каких значениях m неравенство (m – 2)x + 2m – 16 і 5?
Задача 5. При каких значениях b неравенство верно при всех x, удовлетворяющих условию | x | Ј 2?
Неравенства второй степени
Определение. Функция, задаваемая формулой ax 2 + bx + c, где a № 0, называется квадратичной функцией.
График квадратичной функции имеет вид, изображенный на рис. 6, и называется параболой. Точка графика с абсциссой называется вершиной параболы, ордината этой точки равна
При a > 0 «ветви» параболы направлены вверх, а при a
При D = b 2 – 4ac > 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два действительных корня

При D = 0 уравнение имеет один корень , задаваемый и в том числе формулой (1).
Рассмотрим расположение графика по отношению к оси абсцисс во всех шести случаях (рис. 7).

Задача 1. При каких значениях m неравенство mx 2 – 2(m + 3)x + m Ј x Ј 1?

Задача 2. При каких a неравенство ax 2 + 2(3 – 2a)x – 24 > 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию | x |
Задача 3. Найдите все значения a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию | x | Ј 3, справедливо неравенство
Задача 4. При каких значениях a неравенство ax 2 – x – a(a 2 + 1) > 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию | x |
Задача 5. При каких значениях a функция f(x) = – x 3 + 4x 2 – ax – 8 возрастает на (1; 2)?
Решение. Напишем производную от f(x) и воспользуемся критерием возрастания:
f ‘(x) = – 3x 2 + 8x – a > 0, т. е. 3x 2 – 8x + a
Пусть j (x) = 3x 2 – 8x + a. Тогда имеем
Задача 6. Найдите все значения a, при которых функция возрастает для всех x О R.
Решение задач с параметрами в школьной практике (неравенства – один из видов таких задач) позволяет проверить:
– знание основных разделов школьной математики;
– уровень математического и логического мышления;
– первоначальные навыки исследовательской деятельности;
– перспективы возможности успешного овладения курсом математики вуза.
Методическая разработка практического занятия по дисциплине Математика,раздел Алгебра и начала математического анализа, тема «Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени»
методическая разработка
Данная методическая разработка предназначена для для преподавателей и студентов при проведении проактических занятий по теме «Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени.В ходе занятия идет закрепление теоретического материала и отработка практических умений и навыкров по теме. Используются Элементы групповой, личностно-ориентированной, здоровьесберегающей технологий.Методическая разработка соответствует с рабочей программе, разработанной в соответствии сФГОС для специальности 34.02.01 «Сестринское дело», 1 курс.
Скачать:
Вложение Размер
metodrazrabotka_reshenie_uravneniy_i_neravenstv_1_i_2_stepeni.docx 48.3 КБ
Предварительный просмотр:
Департамент здравоохранения Воронежской области
по предмету: МАТЕМАТИКА
Раздел: Алгебра и начала математического анализа
Тема: « Решение уравнений и неравенств 1 и 2 степени»
Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1
Рассмотрено на заседании цикловой методической комиссии гуманитарных и общеобразовательных дисциплин.
Протокол № _____ от «_____» _________20____г.
Председатель ЦМК: _____________
Автор – составитель: преподаватель математики первой квалификационной категории Кальникая Р.Н.
Данная методическая разработка предназначена для проведения двух практических занятий по дисциплине «Математика» раздел: алгебра и начала математического анализа, тема «Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени » в соответствии с тематическим планированием . Методическое пособие разработано для преподавателей и студентов с целью формирования знаний, умений по теме: «Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени». В процессе практического занятия студенты закрепляют знания и умения, полученные при изучении теоретического материала.
В ходе занятия используются элементы групповой работы, личностно-
ориентированной технологии, здоровьесберегающей технологии.
Методическая разработка составлена в соответствии с рабочей программой по дисциплине: « Математика», разработанной в соответствии с ФГОС для специальности 34.02.01 «Сестринское дело». В структуре методической разработки содержится необходимый теоретический материал и практические тренировочные упражнения для закрепления и более прочного усвоения изучаемой темы, подготовки к контрольной работе по теме «Уравнения и неравенства 1и 2 степени». Содержатся требования к знаниям и умениям обучающихся к каждому разделу темы. Имеется список рекомендуемой литературы.
Тема: «Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени» (2 занятия)
Цели: — Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности;
-овладение математическими знаниями и умениями ,необходимыми в повседневной жизни;
-воспитание средствами математики культуры личности.
Задачи: — формирование умения применять методы решения уравнений и неравенств 1и 2 степени;
-отработки алгоритмов решения;
-выработка умения применять полученные навыки в нестандартной ситуации.
Оснащение занятия : презентации, дидактический материал.
А.А. Дадаян. Математика. Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Москва Форум – Инфра – М 2017 г.
А.А. Дадаян. Сборник задач по математике. Учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования. Москва Форум – Инфра – М 2017 г.
Информационные электронные ресурсы: справочники, словари, обучающие и контролирующие программы, тесты для диагностики уровня знаний.
После изучения темы студенты должны:
-определения и общий вид уравнений и неравенств 1и 2 степени;
— методы решения уравнений и неравенств 1и 2 степени;
— понятие равносильности уравнений и неравенств;
— понятие ОДЗ выражения с переменной.
— решать уравнения и неравенства 1и 2 степени;
— показывать на координатной плоскости геометрическую иллюстрацию решения неравенств 1и 2 степени;
Занятие 1 (2 часа)
Тема: «Решение уравнений и неравенств 1 степени с одной и двумя переменными»
Уравнением 1 степени с одной переменной называется уравнение вида ах+в=0, где а, в-числа, х- переменная . Его называют также линейным уравнением с одной переменной.
Решить уравнение — значит найти его корни или убедиться, что корней нет.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни, т.е. каждый корень одного, уравнения является корнем другого уравнения.
ОДЗ (областью определения) выражения с переменной называется множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл.
Случаи при решении уравнений 1 степени с 1переменной:
1) При а≠0, в≠0 ах+в=0, х = — — 1 корень
2) При а= 0, в≠0 0∙х = -в, нет корней
3) При а= 0, в=0 0∙х=0 , х — любое число.
Примеры. 1. Решить уравнения:
1)7х+8 = 0; 2) 3х- 4 = 5х+3; 3) 3х- 4 = 2(1,5х-2); 4) 4х- 8 = 2(2х+1); 5)
6) 7) =10; 8)
(2х-3) (х+4) ( х — 2) = 0
Неравенство 1 степени с одной переменной имеет вид: ах+в ‹ 0 , где знак неравенства может быть другой. Его называют также линейным неравенством с одной переменной.
Решить линейное неравенство с одной переменной — значит найти такие значения переменной, которые обращают его в верное числовое равенство.
Примеры : 1.Решить неравенства:
1)7х+8 ≥ 0; 2) 3х- 4 ‹ 5х+3; 3) 3х- 4 ≤ 2(1,5х-2); 4) ; 5) ≤ 1; 6) ; 7)
Решить систему неравенств с одной переменной — значит найти такие значения переменной, которые обращают каждое неравенство системы в верное числовое неравенство
2. Решить системы неравенств:
2) 3) 4)
Уравнением 1 степени с 2 переменными называется уравнение вида ах+ву+с=0, где а, в, с — числа , х, у – переменные. Его называют также линейным уравнением с 2 переменными.
Решить уравнение 1 степени с 2 переменными — значит найти пару значений переменных, которая обращает уравнение в верное числовое равенство.
Пример: пара (0;2) — решение уравнения 5х+3у-6=0, т.к. 5∙0+3∙2-6=0 — верное равенство.
Уравнение 1 степени с 2 переменными имеет бесконечно много решений.
Алгоритм решения линейного уравнения 1 степени с 2 переменными:
5х+ 3у — 6=0, 3у = — 5х+6, у = х + 2; если х=0, то у=2; если х=3, то у=-3 и т.д. Пары (0;2 ) и (3;-3) –решения уравнения 5х+3у-6=0.
Геометрическая интерпретация решения уравнения 1 степени с 2 переменными:
если изобразить на координатной плоскости все точки, координаты которых являются решениями уравнения 1 степени с 2 переменными, то получим прямую.
График линейного уравнения 1 степени с 2 переменными — прямая .
Построим график линейного уравнения 5х+ 3у — 6=0 по точкам: (0;2) и (3;-3)
Решим неравенство: 5х+ 3у — 6 0, 3у -5х+6, у х + 2;

5х+ 3у — 6=0
Решением неравенства 5х+ 3у – 6 0 является множество точек плоскости хОу, лежащих ниже прямой у = х + 2, т.е. открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой у = х + 2. Если же надо решить нестрогое неравенство у≤ + 2, то его решением является множество точек плоскости хОу, лежащих ниже прямой у = х + 2 вместе сточками этой прямой, т.е. полуплоскость с границей у = х + 2.
1.Является ли пара чисел (2;3) решением уравнения 2х-3у=0?
2.Найдите три какие-либо решения уравнения 3у — 9х=18.
3.На графике уравнения 4х- 5у=10 взята точка А. Найдите абсциссу точки А, если ее ордината равна 2.
4. Решить систему уравнений:
5.Какое из следующих чисел удовлетворяет решению системы неравенств ?
Источник 2: §4.1-4.3; №№4.3, 4.5; 4.16, 4.18, 4.190.
№4.3 4(6-3х)+2х-1=3 №4.5 1 + х =3(х-7) №4.16
№4.18 №4.190
Ответы к заданиям
Примеры. 1. Решить уравнения:1) — ; 2) -3,5; 3) х- любое число; 4) нет решений; 5) 7; 6) нет решений; 7) ; 8) 5 2.Найдите наибольший корень уравнения :4
Решить неравенства: 1) [- 2)(3, 5 ) 3) (- ) 4) (-
5) (- 6) [ 56 7) ( )
2. Решить системы неравенств: 1) ( ) 2) (0,1 3)нет решений
4) (-3,2
Выполнить упражнения: 1.Нет; 2.Например , ( ) и ( ); 3.5; 4.( ) 5)2
Домашнее задание: №4.3 ответ 2; №4. ответ №4.16 ответ
№4.18 №4.190 (- )
Занятие 2 (2 часа)
Тема: «Решение уравнений и неравенств 2 степени с одной переменной»
Уравнением 2 степени (квадратным уравнением) с одной переменной называется уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где а ,в, с -числа, х-переменная, причем а≠0.
Алгоритм решения : находим D=в 2 -4ас;
1) Если D > 0, 2 корня: х 1 = х 2 =
2) Если D= 0, 1 корень: х 1 = или 2 равных корня: х 1 = х 2 =
Примеры : решить уравнения :
а) 3х 2 +2х-5=0, б) х 2 — 64= 0 , в) х 2- 6х=0, г) х 2- 5х-6 =0.
Неравенством 2 степени с одной переменной называется неравенство вида ах 2 +вх+с > 0, где а, в, с — числа, х-переменная, причем а≠0 (вместо знака > может быть любой из знаков
1) С помощью графика квадратичной функции – параболы;
2) С помощью метода интервалов.
Примеры: решить неравенства:
а) х 2 +2х-8 ≤ 0; б) х 2 — 100>0; в) 6х 2 + х 0; д) 0;
е) ≥ 0; ж) з) ≥0;
Задания для самостоятельного решения:
1.Решите уравнения и неравенства:
Вариант 1 Вариант 2
а)15,6-6х=0; а) 10,2-2х=0;
в) 4х-1≥6х+0,5; в) 2-7х
г) 2х 2 -5х-7=0; г) 5х 2 +12х-9=0
д) х 2 -х-2≥0 д) 5х 2 -14х+8
е)
ж) ж) 0
2. Решите системы неравенств: 2. Решите системы неравенств:
а) б) а ) б)
Источник 2: §4.1- 4.3; №№4.85- 4.87, 4.189; 4.191.
Ответы к заданиям
Примеры: решить уравнения: а) — б) -8;8 в) 0; 6 г ) -1; 6
Примеры: решить неравенства: а) б) (- ) в) (- )
г) (- ) д) (-7 е) [-5 ) ж) (- з) [- 4 )
и) (-5 )
Задания для самостоятельного решения:
1.Решите уравнения и неравенства:
Вариант 1 Вариант 2
в) (- в)
д) (- д)
е) (- е) (-
ж) [ ) ж) (- )
2. Решите системы неравенств: 2. Решите системы неравенств:
а) б) а) б)
Решение неравенств первой и второй степени с одной переменной
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решение неравенств первой и второй степени с одной переменной
Неравенства первой степени – это неравенства вида ах + b > 0 или ах + b ≥ 0, ах + b 0; 0,3x +1,2 > 0; 5 – 10x ≤ 0 являются неравенствами первой степени. Решим, например, последнее из этих неравенств: 5 – 10x ≤ 0 x ≥ 0,5 можно считать ответом, так как оно вполне ясно описывает множество всех значений x, являющихся его решениями. Можно также записать решение неравенства в виде числового промежутка: [0,5; +оо). Множеством решений неравенства первой степени всегда является числовой луч
Пример 1. Определим, в каком случае на координатной прямой изображено множество решений неравенства 19 – 7x > 20 – 3(x – 5).
Самая правильная стратегия поиска ответа на вопрос состоит в том, чтобы просто решить неравенство. 19 – 7x > 20 – 3(x – 5), 19 – 7x > 20 – 3x +15, –4x > 16, 4x 0; б) нет корней, а0; г) 1 коре. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(5, 0, true)» >
Ответы: у х у х у х у х 0 0 0 0 а) 2 корня, а>0; б) нет корней, а 0; г) 1 корень, а 0 при х (-∞;. » title=»Ответы: у у у х х х 0 0 0 х1 х2 х0 х0 а) у>0 при х (х1;х2), б) у>0 при х (-∞;. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(7, 0, true)» >
Ответы: у у у х х х 0 0 0 х1 х2 х0 х0 а) у>0 при х (х1;х2), б) у>0 при х (-∞;+∞), в) у>0 при х (-∞;х0)U(х0;+∞). у 0 и ах2+вх+с 0 2х2-7х 0
Рассмотреть функцию, соответствующую данному неравенству, определить направление ветвей параболы. Найти нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения параболы с осью х, если они есть. Изобразить схематически параболу в координатной плоскости. Выбрать нужные промежутки. Записать ответ.
Решить неравенство 5х2+9х-2>0. Решение. у = 5х2+9х-2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 2. Нули функции. 5х2+9х-2=0; D=81+40=121, х1=0,2, х2=-2 3. 4. у>0 при х (-∞; -2)U(0,2; +∞). Ответ: (-∞; -2)U(0,2; +∞). -2 0,2 х у 0
Решите неравенство: Вариант 1 Вариант 2 а) х²-9>0; а) х²-16 0; в) –х²-10х-25>0. в) –х²+6х-9>0.
Правильные ответы: Вариант 1 Вариант 2 а) (-∞;-3)U(3;+∞); а) (-4;4); б) (3;5); б) (-∞;3)U(7;+∞); в) решений нет. в) решений нет.
Спасибо за урок!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 580 180 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
§ 2. Неравенства второй степени с одним неизвестным
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Другие материалы
17.10.2020
919
40
16.10.2020
415
54
04.08.2020
558
28
27.07.2020
94
0
26.07.2020
185
11
20.07.2020
333
35
18.07.2020
147
14
03.07.2020
965
99
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
18.10.2020 543
PPTX 2.1 мбайт
11 скачиваний
Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Луценко Елена Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
На сайте: 6 лет и 4 месяца
Подписчики: 1
Всего просмотров: 20093
Всего материалов: 11
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад
Время чтения: 1 минута
В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы
Время чтения: 1 минута
Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств
Время чтения: 2 минуты
Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.
Время чтения: 2 минуты
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:
http://nsportal.ru/npo-spo/zdravookhranenie/library/2021/10/03/metodicheskaya-razrabotka-prakticheskogo-zanyatiya-po
http://infourok.ru/reshenie-neravenstv-pervoj-i-vtoroj-stepeni-s-odnoj-peremennoj-4498133.html