Уравнения и неравенства с двумя переменными модули

Модули в системах уравнений и неравенств с двумя переменными

Подробней о раскрытии модуля в уравнении, см. §40 справочника для 7 класса, а также пример 2 §14 данного справочника.
Подробней о раскрытии модуля в неравенстве, см. §10 данного справочника.

п.1. Примеры

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x-1)^2+y^2=1>& \end\right. \)
Проанализируем первый график:
Исходная прямая y = x – 1 превращается в ломаную y = |x – 1|, «отражается» в точке (1; 0) в положительную полуплоскость y > 0.
Далее, ломаная y = |x – 1| опускается на 1 вниз y = |x – 1| – 1.
Наконец, области y = |x – 1| – 1 с отрицательными Y снова отражаются в положительную полуплоскость y > 0.
Второй график – окружность с центром (1; 0), радиусом 1.

Решение – точка A(1; 3) и треугольник BCD, заданный системой трех неравенств:
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

Пример 3. Найдите значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения:
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y = x 2 – 5|x| + 4 – парабола y = x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), x > 0, отраженная в отрицательную полуплоскость x 0 является прямая \( \mathrm<2>=\frac<1+4><2>=2,5> \)
Вершина лежит на оси. Ордината вершины: y₀ = 2,5 2 – 5 · 2,5 + 4 = –2,25.
В полуплоскости x –2,25 решений бесконечное множество (отрезки кривой).
Ответ: a = –2,25.

Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля
презентация к уроку по математике (9 класс) на тему

Презентация к уроку на тему:

с двумя переменными,

содержащие знак модуля

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Раскройте модуль: | π – 3 | при а ≥ 3

Решите неравенства c одной переменной:

Определите неравенство 0 — 6 — 1 5 3 1 2 у х — 3 — 2 1 -3 4

Решить графически систему неравенств -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля

Решите неравенство -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

0 x -4 y -4 4 4 Дополнительное задание: Найдите площадь полученной фигуры.

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Построить график функции Использовать преобразования графиков уравнений, связанных с модулем. Взяв из какой — либо области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением неравенства Сделать вывод о решении неравенства

Физкультминутка Если высказыванье, верно, то учащиеся поднимают руки вверх, если ложно- наклоняются вниз. 1. Делить на нуль нельзя. 2. 3 2 = 6 3. Квадрат — это прямоугольник. 4. 9 Г — самый дружный в школе! 5. Всякий прямоугольник — квадрат. 6. У любого треугольника 3 вершины, 3 угла, 2 стороны. 7. Математика — царица наук.

Работа в группах 1 2 3 4 5

5 группа 3 -1 0 x 1 2 y -3 3 4 6 2

Работа с учебником Домашнее задание: пункт 26, 1 группа:№ 553 (в) (для учеников, испытывающих трудности при изучении математики); 2 группа: № 555 (а) (для хорошо успевающих учеников); 3 группа: № 556 (а) (для учеников, проявляющих интерес к предмету).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля 9 класс с углубленным изучением математики

Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля9 класс с углубленным изучением математикиТип урока: получение новых знаний (Мозговой штурм).

Обобщение опыта по теме: «Построение графиков функций, решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля»

В данный материал входит рабочая программа, тематическое планирование элективного курса для 9-го класса, а также элективный курс с презентациями к каждой теме. Курс расчитан для одаренных по математик.

Открытый интегрированный урок Алгебра+Информатика по теме «Построение графиков функций и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля»

Результат урока нацелен на овладение учащимися программным и дополнительным материалом по данной теме и рассчитан на выход каждого ученика на свой уровень развития.Построение графиков является основны.

Урок «Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля»

Урок на закрепление знаний, умений и навыков построения графиков функций у = | f (x) |; у =f (| x |).

Рабочая программа элективного курса по математике «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля».10 класс

Данный материал помогает овладеть методикой выбора более удобного способа решения уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля, пользуясь предварительным анализом, производить вычисления, гр.

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.