Уравнения и неравенства с модулем диплом

Исследовательская работа на тему «Решение неравенств с модулем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Педагогическим советом МОУ

от « 14 » августа 201 5 г.

Заместитель директора по УВР

_______ /Сидоркина Р.Л./

« 14 » августа 2015 г.

от « 01» сентября 2015 г.

Решение уравнений и неравенств с модулем

учитель математики высшей

категории МОУ «Зашижемская СОШ»

с.Зашижемье, 2014 г.

Простейшие уравнения и неравенства с модулем……………………5

Графическое решение уравнений и неравенств с модулем………….8

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем……. 10

Введение

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. И поэтому для нас стало важно изучить некоторые аспекты этой темы.

Главной целью в нашей работе является изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Данная цель должна быть достигнута при решении следующих задач:

Изучить определение и некоторые свойства модуля.

Освоить решение простейших уравнений и неравенств с модулем через равносильные переходы

Рассмотреть различные методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Объектом исследования являются некоторые типы уравнений и неравенств с модулем.

Предмет исследования – различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, а именно: графический способ, метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель ,метод раскрытия модулей.

В ходе исследования применялись такие методы, как изучение литературы по данному вопросу и практический метод.

В ходе работы мы исследовал такие источники, как:

1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

Математика. ЕГЭ – 2011-2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

«Новейший справочник школьника»;

Энциклопедия «Я познаю мир» Математика;

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

Примеры решения простейших уравнений.

Пример 1 Решим уравнение .

Ответ. .

Пример 2 Решим уравнение .

Ответ. .

Пример 3 Решим уравнение .

Ответ. .

Ряд уравнений решается с использованием следующей теоремы.

Теорема.4 Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример 5 Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Примеры решения простейших неравенств.

Пример 6 Решим неравенство .

.

Ответ. .

Пример 7 Решим неравенство .

Ответ. .

Как ни странно, но достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример 8 Решить неравенство

Ответ. .

3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).

Пример 9 (С5, ЕГЭ — 2010)

C 5. Для каждого значения a укажите число решений уравнения

Решение. Построим график функции . Для этого выделим полный квадрат :

Число точек пересечения графика функции у = с горизонтальными прямыми у = а равно числу решений уравнения.

Ответ: если 4, то два решения.

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

Метод раскрытия модулей

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример 10 Решить уравнение

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно «выйдет» из под модуля со знаком «минус», получим: .

При этом значении , выражение получит значение , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и «выйдет» из модуля со знаком «минус», получим: .

Выражение получит значение и «выйдет» из под модуля со знаком «минус»: .

Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .

Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.

2) При . Выбираем любое значение из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.

3) При . Выбираем произвольное значение из этого промежутка, скажем, и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения и положительны, а — отрицательно. Получим следующее уравнение: .

После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , , которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. , .

Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример 11 Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:

Ответ. .

Пример 12 Решить уравнение

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем

Ответ. .

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения — длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример 13 Решим уравнение .

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка, — нет.

Ответ. .

Пример 14 Решить неравенство .

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек и в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. .

Решение уравнений с использованием тождества

Пример (С3, ЕГЭ — 2010)15 Решить уравнение

Решение. Дважды применяя тождество , получим уравнение

решением которого является интервал .

Ответ. .

Пример (С3, ЕГЭ — 2011)16 17 Решить уравнение

Решение. .

Ответ. .

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 18 Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 19 Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ.

Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример 20 Решим уравнение

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:

Нетрудно убедиться, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.

Решение неравенств методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей теореме.

Теорема 21 Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример 22 Решим неравенство

Пусть . Областью определения данной функции есть . Решая уравнение получим, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. .

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 23 Решить неравенство

Решение. «Ловушка» заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые — значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Ответ. .

Исследовательская работа » Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля»

Уравнение и неравенства с модулем встречаются практически во всех вариантах ЕГЭ профильного уровня, уже не говоря об их применениях в школьном курсе математики. Кроме того понятие модуля используется в физике и технике. Поэтому, в настоящей работе рассматриваются различные виды уравнений и неравенств и способы их решений.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа » Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля»»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

Малая академия наук Крыма «Искатель»

Секция: прикладная математика

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

Работу выполнил: Алимский Руслан Игоревич ученик 9-а класса МБОУ “Чистенькая школа-гимназия” Симферопольского района

Научный руководитель: Дмитриева Галина Игнатьевна Учитель математики МБОУ “Чистенькая школа гимназия” Симферопольского района

Симферопольский район 2017 г

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МОДУЛЯ……………………..……4

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ………………..… 5

УРАВНЕНИЕ ВИДА: ………………………… 5

УРАВНЕНИЕ ВИДА …………………………………. …..7

УРАВНЕНИЕ ВИДА ………………………………….8

УРАВНЕНИЕ ВИДА …………………..10

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ………………………………………..11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………..…………….21

Уравнение и неравенства с модулем встречаются практически во всех вариантах ЕГЭ профильного уровня, уже не говоря об их применениях в школьном курсе математики. Кроме того понятие модуля используется в физике и технике. Поэтому, в настоящей работе рассматриваются различные виды уравнений и неравенств и способы их решений.

Цель работы применение свойств и определения модуля при решении уравнений и неравенств.

Изучить свойства модуля и правила его раскрытия

Исследовать возможности применения определения модуля и его свойств при решении различных видов уравнений и неравенств.

Научиться решать неравенства с модулем с помощью “метода интервалов”

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МОДУЛЯ

Модулем или абсолютной величиной числа а называется само число а, если и число , если

Из определения следует, что под знаком модуля может быть любое число по знаку, а вот равен модуль только не отрицательному числу.

Очень удобно пользоваться определением модуля числа “а”, как расстояние на числовой прямой от начала отсчета до точки соответствующей данному числу.

противоположные числа имеют равные модули

Например: I6I – это расстояние от 0 до 6,I-6I- расстояние от 0 до-6 иI0I- это расстояние от 0 до 0

модуль произведения равен произведению модулей и обратно:

модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых

2.УРАВНЕНИЯ СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ.

2.1 Уравнение вида:

Уравнение вида решается раскрытием модуля по определению это совокупность уравнений

Следовательно, решая уравнения с модулями можно пользоваться его определением.

Данное уравнение корней не имеет т.к. расстояние неотрицательно

Методы решения уравнений и неравенств с модулем

Методы решения уравнений и неравенств с модулем

Цели. Целью моей работы является классификация методов решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Данное исследование возникло из необходимости обобщить все знания по этой теме для проникающего повторения при подготовке к Единому Государственному Экзамену в 10 – 11 классах. В результате исследования мне удалось выделить три основных метода, которые являются универсальными для решения уравнений (неравенств) своего типа, а так же, были выявлены частные случаи этих методов, упрощающие общую схему решения.

Считаю, что данная работа будет полезна ученикам 11-х классов.

Типы уравнений (неравенств) и методы их решения:

I. Простейшие – уравнения и неравенства вида

|f(x)| = a, |f(x)| a, где а – любое число.

При решении простейших уравнений и неравенств исходим из определения модуля, как расстояния от нуля до числа, выраженного в единичных отрезках.

1. Рассмотрим уравнения вида | f(x)| = a:

Решение неравенства – множество значений f(х) «между» числами а и – а:

двойное неравенство — a а ():

б). Если а = 0, то |f(x)| > 0. Тогда , т. к. |f(x)| 0.

(|f(x)|0. Решение: (см. выше)).

|f(x)| > a Решение неравенства: множество значений х «за» числами а и – а.

1.| x+2| = 3

2.

Ответ: x = 3, x = -1.

3., тогда или

.

Ответ: (-∞;1 ).

4. | x2 +5x | ≥ 6,

Ответ: (-∞;-6][-3;-2] [1;+ ∞).

|f(x)| = f(x) f(x) ≥ 0 Решение уравнения – решение неравенства. |f(x)| = — f(x) f(x) ≤ 0. |f(x)|=|g(x)|

1.

x = 1, x =3.

2.| x2 – 1| = (x – 1)(x + 1),

Ответ: (-∞; — 1] [1;+ ∞).

II. По определению модуля.

Если в уравнении или неравенстве один модуль и функция (|f(x)| * g(x)), то решаем по определению модуля:

|f(x)|=

Для этого нужно рассмотреть два случая, раскрывая модуль, в зависимости от знака подмодульного выражения Изменения происходят только в части, содержащей модуль.

1. 2|x +1|>x+4,

Ответ:

2.

Ответ: x = 1, x = —

Данное равенство возможно, только если . Тогда:

Только для уравнений, в которых g(x) проще f(x).

1.

Ответ: x = 1, x = 6.

III. Метод интервалов

А) В случае, когда в уравнении или неравенстве сумма (разность) нескольких модулей.

1.

1.Приведем подмодульные выражения к виду ax + b, где a > 0, по свойству . .

2.Найдем нули модулей: х = — 1, х = 4.

3.Отметим нули модулей на числовом луче и выделим числовые промежутки.

4.Заполним таблицу и расставим знаки, используя свойство линейной функции y = kx + b при k>0 (возрастающая функция, при переходе через ноль знак меняется с « — » на « + »).

5. Решим уравнения (неравенства) на каждом из участков, раскрывая модуль с учетом знака подмодульного выражения.

1. x 5.

Объединяем решения всех случаев, тогда x(-

Ответ: (-

2.Существуют уравнения этого типа (в тестах!), условие которых позволяет сократить количество рассматриваемых случаев, но для этого надо внимательно исследовать подмодульные выражения.

данное равенство возможно только, если , т. е. когда , .

Значит, и

Тогда рассматриваем только один случай:

Ответ:

Так как обе части уравнения (неравенства) — неотрицательные числа, то можно возвести обе части в квадрат. Тогда получим:

f2(x) * g2(x) или f2(x) — g2(x) * 0 – это разность квадратов, можно разложить на множители.

(Очень эффективно, когда функции сложно заданы!)

| x2 — 3x + 2| ≥ | x2 + 3x + 2|,

(x2 — 3x +x2 + 3x + 2) 2 ≥ 0,

(x2 — 3x + 2 — x2 — 3x – 2)∙(x2 — 3x + 2 + x2 + 3x + 2) ≥ 0,

— 6x∙(2×2 + 4) ≥ 0, т. к. 2×2 + 4 > 0, то получим:

Б). Произведение или частное сравнивается с нулем.

x∙

1.Найдем нули всех множителей: х =0, х = — 1.

2.Учтем, что ноль модуля не является знакоменяющей точкой, т. к. («лепесток»).

3.Расставим в промежутках знаки, чередуя их, и в лепестках тоже, начиная с самого правого (рис. 4).

4.Выберем промежутки соответственно знаку неравенства: «больше» — c « + »,

Ответ: <- 1>.

Нули числителя: x=0 (●).

Нули знаменателя: x=1, «лепесток» (○).

Ответ: .

Проделанная мной работа позволила мне привести в систему мои знания по этой теме, что необходимо каждому старшекласснику для успешной сдачи Единого Государственного Экзамена. Кроме того, я открыла для себя новые схемы решения уравнений и неравенств с модулями, которые значительно облегчают процесс решения и позволяют сократить время, требуемое для выполнения задания. Расширила знания по работе с компьютерной программой Microsoft Word, выходящие за рамки простого набора текста, что необходимо каждому современному человеку.