Уравнения и неравенства с модулем на егэ

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Уравнения и неравенства с модулями

СОДЕРЖАНИЕ

1. Модуль (абсолютная величина) числа
2. Простейшие уравнения с модулями
3. Уравнения, использующие свойство неотрицательности модуля
4. Простейшие неравенства с модулями
5. Неравенства с модулями, сводящиеся к квадратным неравенствам
6. Уравнения с модулями, содержащие параметр
7. Неравенства с модулями, содержащие параметр
8. Задачи с модулями, связанные с расположением корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Скачать пособие «Уравнения и неравенства с модулями» (формат pdf, 210кб)

С понятием модуля действительного числа можно ознакомиться в разделе «Абсолютная величина (модуль) действительного числа» нашего справочника.

С понятием квадратного трехчлена, решением квадратных уравнений, разложением квадратного трехчлена на множители можно ознакомиться в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника, а также в нашем учебно-методическом пособии для школьников по математике «Квадратный трехчлен».

Графики парабол и решение квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Электронный справочник по математике для школьников

При подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике большую помощь может оказать наш электронный справочник по математике для школьников.

В справочник включены все разделы школьной программы, а также множество сведений для углубленного изучения курса математики.

Каждый раздел нашего справочника содержит не только теоретические сведения, но и решения типовых примеров и задач.

Основные сведения о способах решения неравенств с модулем

Определение модуля

Модуль, или абсолютная величина, числа х в алгебре является самим числом «х» при x ≥ 0 и числом «–х» при x | x | = x , x ≥ 0 — x , x 0

Модуль числа обладает следующими свойствами:

1. Модуль числа является неотрицательным числом: x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 .
2. Противоположные числа обладают равными модулями: — x = x .
3. Модуль произведения из пары или более чисел равен произведению модулей этих чисел: x · y = x · y .
4. Модуль частного пары чисел равен частному модулей этих чисел: x y = x y , где у отличен от нуля.
5. Модуль суммы чисел в любом случае меньше по сравнению с суммой их модулей, либо равен сумме модулей данных чисел: x + y ≤ x + y .
6. Неизменяемый множитель, который больше нуля, допускается выносить за знак модуля: c x = c · x при c>0.
7. Квадрат модуля числа равен квадрату данного числа: x 2 = x 2 .

Виды неравенств с модулем

Неравенствами называют выражения, включающие в себя числа, либо выражения с переменной и записанные в виде:

a > b , a b , a ≤ b и a ≥ b .

Числовым называют такое неравенство, в котором a и b являются числами или числовыми выражениями.

Числовое неравенство представляет собой сравнение пары чисел. Смысл такой записи заключается в определении, какое из чисел больше или меньше по сравнению со вторым.

Виды числовых неравенств:

Неравенство -5 17 + 3 ≥ 115 является неверным. Правая часть неравенства равна 20:

Число 20 меньше по сравнению с числом 115. Этот вывод противоречит записанному неравенству, что позволяет назвать его неверным.

Неравенством с переменной называют такое неравенство, которое содержит переменную.

При решении задач можно столкнуться с разными видами неравенств с переменными:

1. Линейное, с переменной в первой степени, например: 2 x + 1 ≥ 4 ( 5 — x ) .
2. Квадратное, с переменной, возведенной в квадрат, например: 3 x 2 — x + 5 > 0 .
3. Логарифмическое, где переменная записана под знаком логарифма, например: log 4 ( x + 1 ) 3 .
4. Показательное, переменная записана в показателе степени, как 2 x ≤ 8 5 x — 2 .

Определение 5

Строгие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения > (больше) или Пример 3

Пример строгого неравенства:

Заметим, что в случае строгого неравенства не допускается равенство между правой и левой частью выражения. По этой причине такие неравенства и называют строгими.

Нестрогие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения \geq (больше или равно) либо ≤ (меньше или равно).

Пример нестрого неравенства:

Заметим, что в случае нестрого неравенства допускается равенство левой и правой частей выражения. По этой причине такие неравенства называются нестрогими.

Неравенства с модулем представляют собой такие неравенства, в которых неизвестные находятся под знаком модуля.

Решить неравенство с модулем можно, руководствуясь определением модуля числа:

| x | = x , x ≥ 0 , — x , x 0

Способы решения неравенств с модулем, пояснения на примерах

Существует определенный алгоритм, который удобно применять для решения заданий на неравенства с модулем:

1. Неравенство, записанное в виде | x | a , где а больше нуля, является равносильным системе . Когда а меньше нуля, у неравенства отсутствуют решения.
2. Неравенство, записанное в виде |x|>a , где а больше нуля, является равносильным совокупности неравенств: a \hfill \\ x . При а=0 корни неравенства соответствуют множеству x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) . При a меньше нуля решения расположены на всей числовой оси: x ∈ ( — ∞ ; + ∞ ) .

В том случае, когда требуется решить неравенство в виде | f ( x ) | > | g ( x ) | и л и | f ( x ) | | g ( x ) | , все части выражения, в том числе, дробные, следует возвести в квадрат. Неравенства, содержащие больше одного выражения, записанного под знаком модуля, решают с применением графического метода интервалов. Этот способ часто применяют в классе на уроке алгебры и при решении домашних заданий.

Разберем несколько примеров для доказательства удобства использования записанной ранее схемы. Попробуем найти решения такого неравенства:

Заметим, что данное выражение можно представить, как систему:

Первое из неравенств системы является равносильным совокупности неравенств:

Неравенство под номером два соответствует системе:

В результате оба неравенства будут решены:

Рассмотрим простое задание с неравенством, которое требуется решить с подробными действиями:

Запишем равносильную совокупность неравенств по правилам:

Если объединить интервалы со всех сторон, то получится:

Решим следующее неравенство аналогичного типа несколько другим способом:

Запишем совокупность неравенств:

При пересечении найденных интервалов получим, что:

Разберем метод решения неравенства с модулем путем возведения в квадрат:

Возведем все части выражения во вторую степень:

( x + 1 ) 2 ≤ ( x — 2 ) 2

Заметим, что в данном случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно: распишем квадрат суммы и квадрат разности:

x 2 + 2 x + 1 ≤ x 2 — 4 x + 4

С помощью приведения подобных упростим выражение:

6 x ≤ 3 ⇒ 2 x ≤ 1 ⇒ x ≤ 1 2 ⇒ x ∈ ( — ∞ ; 0 , 5 ]

Попробуем справиться с более сложным примером:

| x — 1 | + | x — 2 | ≤ 3

Здесь целесообразно применить метод интервалов. Для этого сначала вычислим нули выражений, которые записаны под знаком модуля:

Заметим, что если перенести полученные значения на числовую ось, то получится три интервала:

x ∈ ( — ∞ ; 1 ] ; ( 1 ; 2 ] ; ( 2 ; + ∞ ] .

Рассмотрим каждый из промежутков:

— ( x — 1 ) — ( x — 2 ) ≤ 3

На пересечении этого решения и первого интервала x ∈ ( — ∞ ; 1 ] получим, что:

Рассмотрим второй интервал:

Здесь неравенство можно записать таким образом:

x — 1 — ( x — 2 ) ≤ 3

Сделаем вывод о том, что для х приемлемы любые значения на данном промежутке, то есть:

На пересечении этого решения и третьего интервала:

Результат можно определить, если объединить найденные решения:

x ∈ [ 0 ; 1 ] ∪ ( 1 ; 2 ] ∪ ( 2 ; 3 ] ⇒ x ∈ [ 0 ; 3 ]

Примеры решения задач

Дано неравенство, которое нужно решить:

| 2 x 2 — 9 x + 15 | ≥ 20

Если x ∈ R , получим:

2 x 2 — 9 x + 15 > 0

2 x 2 — 9 x + 15 ≥ 20

2 x 2 — 9 x — 5 ≥ 0

2 ( x — 5 ) ( x + 1 2 ) ≥ 0

x ≤ — 1 2 или x ≥ 5

Ответ: x ∈ — ∞ ; — 1 2 ∪ [ 5 ; + ∞ )

Нужно решить неравенство:

| x — 3 | 2 x 2 — 7 x > 1

| x — 3 | 2 x 2 — 7 x > | x — 3 | 0

0 | x — 3 | 1 , 2 x 2 — 7 x 0 ; | x — 3 | > 1 , 2 x 2 — 7 x > 0

— 1 x — 3 1 , x — 3 ≠ 0 , x ( 2 x — 7 ) 0 ; x — 3 > 1 , x — 3 — 1 , x ( 2 x — 7 ) > 0

2 x 4 , x ≠ 3 , 0 x 7 2 ; x > 4 , x 2 , x > 7 2 , x 0 .

В случае системы:

2 x 4 , x ≠ 3 , 0 x 7 2

решение будет таким:

x > 4 , x 2 , x > 7 2 , x 0 .

x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 2 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )

Ответ: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 2 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )

Нужно определить решения следующего неравенства:

| x — 6 | > | x 2 — 5 x + 9 |

| x — 6 | > x 2 — 5 x + 9

x — 6 > x 2 — 5 x + 9

x 2 — 5 x + 9 0 — решения отсутствуют;

x — 6 — x 2 + 5 x — 9

Найти решения неравенства:

log 0 , 25 2 x + 1 x + 3 + 1 2 > 1 2

0 2 x + 1 x + 3 + 1 2 1 2

0 4 x + 2 + x + 3 2 ( x + 3 ) 1 2

0 5 x + 5 2 ( x + 3 ) 1 2

5 x + 5 2 ( x + 3 ) ≠ 0 , 5 x + 5 2 ( x + 3 ) 1 2 , 5 x + 5 2 ( x + 3 ) > — 1 2 ;

x ≠ — 1 , x ≠ — 3 , 2 x + 1 x + 3 0 , 3 x + 4 x + 3 > 0

x ≠ — 1 , x ≠ — 3 , — 3 x — 1 2 , x > — 4 3 , x — 3

x ∈ — 4 3 ; — 1 ∪ — 1 ; — 1 2

Ответ: x ∈ — 4 3 ; — 1 ∪ — 1 ; — 1 2

Определить решения неравенств:

| x 2 + 5 x | 6 , | x + 1 | ≤ 1 .

— 6 x 2 + 5 x 6 , — 1 ≤ x + 1 ≤ 1 .

x 2 + 5 x 6 , x 2 + 5 x > — 6 , x + 1 ≤ 1 , x + 1 ≥ — 1

x 2 + 5 x — 6 0 , x 2 + 5 x + 6 > 0 , x ≤ 0 , x ≥ — 2

— 6 x 1 , x > — 2 , x — 3 — 2 ≤ x ≤ 0 .

Ответ: x ∈ ( — 2 ; 0 ]

Дано неравенство, решения которого требуется найти:

| x 2 — 4 x | 5 , | x + 1 | 3 .

x 2 — 4 x 5 , x 2 — 4 x > — 5 , — 3 x + 1 3

x 2 — 4 x — 5 0 , x 2 — 4 x + 5 > 0 , — 4 x 2

— 4 x 2 , x ∈ R , — 4 x 2

Ответ: x ∈ ( — 1 ; 2 )

Дано неравенство, которое требуется решить:

3 2 | x — 1 | + 3 4 3 | x — 1 |

3 2 | x — 1 | — 4 · 3 | x — 1 | + 3 0

Заметим, что это квадратное неравенство по отношению к 3 | x — 1 | :

0 — 1 x — 1 1 , x — 1 ≠ 0

x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 )

Ответ: x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 )

x 3 — 1 > 1 — x , x 3 — 1 — 1 ( 1 — x )

( x 3 — 1 ) + ( x — 1 ) > 0 , x ( x 2 — 1 ) 0

( x — 1 ) ( x 2 + x + 1 ) + ( x — 1 ) > 0 , x ( x + 1 ) ( x — 1 ) 0

( x — 1 ) ( x 2 + x + 2 ) > 0 , x ( x + 1 ) ( x — 1 ) 0

x > 1 , x — 1 , 0 x 1 .

x ∈ ( — ∞ ; — 1 ) ∪ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Ответ: x ∈ ( — ∞ ; — 1 ) ∪ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Дано неравенство, которое требуется решить:

x 2 — | x | — 12 x — 3 ≥ 2 x

x 0 , x 2 — x — 12 x — 3 ≥ 2 x ; x ≥ 0 , x 2 — x — 12 x — 3 ≥ 2 x ,

x 0 , x 2 — x + 12 x — 3 ≤ 0 ; x ≥ 0 , x 2 — x + 12 x — 3 ≤ 0 ,

x 0 , ( x 2 — x + 12 ) ( x — 3 ) ≤ 0 , x — 3 ≠ 0 ; x ≥ 0 , ( x 2 — x + 12 ) ( x — 3 ) ≤ 0 , x — 3 ≠ 0

x 0 , ( x — 4 ) ( x — 3 ) 3 ≤ 0 , x — 3 ≠ 0 ; x ≥ 0 , x — 3 0