ЕГЭ 2012, Математика, Функция и параметр, Задания С5, Корянов А.Г., Прокофьев А.А.
ЕГЭ 2012, Математика, Функция и параметр, Задания С5, Корянов А.Г., Прокофьев А.А.
Пособие по решению заданий типа С5.
Функция и параметр.
Функции, заданные в явном виде.
Если функция задана уравнением у = f(x), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
В первой главе будет рассмотрены задачи с параметрами, в формулировке которых фигурируют свойства функций.
Довольно часто задачу можно переформулировать и свести ее к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию). В последнем случае требуется обоснование, основанное на использовании свойств и графиков рассматриваемых функций.
Область определения функции
Уравнения, неравенства, системы, да и просто заданные функции, входящие в формулировку задач с параметрами, имеют свою область определения, и анализ условий, определяющих ее, часто является необходимой частью решения. Иногда подобный анализ позволяет существенно сократить количество рассматриваемых случаев, тем самым упростить решение задачи.
Говорят, что на числовом множестве X определена числовая функция f(x), если каждому элементу х из этого множества поставлено в соответствие единственное число. Множество X называется областью определения функции и обозначают D(f).
В задачах с параметром под областью определения уравнения, неравенства, системы, содержащие выражения вида f(x,а), понимается множество всех упорядоченных пар чисел (х,а), каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений х и а во все входящие в задачу выражения они будут определены.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 2
Глава 1. Функции, заданные в явном виде 3
1.1. Область определения функции 3
1.2. Непрерывность функции 5
1.3. Дифференцируемость функции 5
1.4. Нули функции 5
1.5. Промежутки знакопостоянства функции 8
1.6. Четность, нечетность функции 9
1.7. Периодичность функции 10
1.8. Монотонность функции 10
1.9. Экстремум функции 12
1.10. Наибольшее (наименьшее) значение функции 15
1.11. Множество значений функции 20
1.12. График функции 23
Упражнения 26
Глава 2. Применение свойств функции 28
2.1. Выражения 28
2.2. Уравнения 30
2.3. Системы уравнений 35
2.4. Неравенства 38
2.5. Системы неравенств 41
Упражнения 44
Глава 3. Функции, заданные в неявном виде 47
3.1. Формула расстояния между точками 47
3.2. Уравнение прямой 48
3.3. Уравнение окружности 52
3.4. Уравнение параллелограмма 63
Упражнения 66
Глава 4. Решение задач разными способами 69
Ответы и указания 76
Список и источники литературы 78.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2012, Математика, Функция и параметр, Задания С5, Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)
- Игорь Измайлов 5 лет назад Просмотров:
1 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск, Прокофьев АА, г Москва, СОДЕРЖАНИЕ стр Введение Алгебраические методы решения Задачи вида b Задачи вида b c Сведение задачи к задаче вида b или b c 8 задачи, содержащие целые рациональные выражения высшей степени 8 задачи, содержащие дробно-рациональные выражения 9 задачи, содержащие выражения с модулями задачи, содержащие иррациональные выражения задачи, содержащие показательные выражения 5 задачи, содержащие логарифмические выражения 6 задачи, содержащие тригонометрические выражения 8 Метод замены 9 введение одной новой переменной 9 введение двух новых переменных тригонометрическая подстановка 5 Выявление необходимых условий выбор подходящего значения параметра или переменной инвариантность Функциональные методы решения Использование непрерывности функции метод интервалов метод рационализации Использование ограниченности функции метод оценки неотрицательность функции наибольшее и наименьшее значение функции Использование монотонности функции 6 монотонность функции на множестве R 6 монотонность функции на промежутке 7 функции разной монотонности 7 задачи вида f ( f ( )) 8 Использование производной функции 9 Функционально-графические методы решения Координатная плоскость хоу задачи вида f ( ) задачи вида f ( ) g( ) задачи вида f ( ) g( ) задачи вида f ( ) ( ) y 5 задачи вида f ( ) g( ) 6 задачи общего вида f (, ) 6 задачи общего вида f ( ; ) g( ; ) 7 Координатные плоскости аох или хоа 8 задачи вида () или () 8 задачи вида f (, ) 5 Геометрические методы решения 5 Упражнения 6 Ответы и указания 7 Список и источники литературы 78 МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
2 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Введение Среди множества задач с параметрами выделим один класс задач, связанный с количеством решений уравнения (неравенства), системы уравнений (неравенств) Задачи такого вида обычно формулируют в следующем виде: найти все значения параметра (параметров), при которых уравнение (неравенство, система) имеет конечное множество решений (ровно одно, ровно два и тд), бесконечное множество решений (интервал, отрезок, луч, прямая, часть плоскости область), не имеет решений В пособии рассмотрены основные подходы к решению задач с параметрами: алгебраический, функциональный, функционально-графический и геометрический Алгебраические методы В данном разделе задачи (уравнения, неравенства, системы) классифицированы по их виду Здесь рассмотрены такие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий Задачи вида b Рассмотрим задачи вида b, где символ заменяет один из знаков =, >, 3 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ) чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно выполнения условия b ; () b ) чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнения условия b с ; () b с ) чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнения условия b с () b с Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать отдельно Пример Исследовать систему линейных уравнений ( ) 7y,5, ( ) y Решение Определим значения параметра, при которых Это 7 возможно, если 56 ( ), те при 8 или 7 Если 8 или 7, то решений 7 нет, так как При 8 и 7, умножая первое уравнение системы на, а второе на, и складывая левые и правые части уравнений, из полученного линейного ( 5) уравнения найдем y ( 8)( 7) Аналогично действуя, найдем 9( 7) Следовательно, система при 8 и 7 имеет единст- ( 8)( 7) венное решение Ответ Если 7 или 8, то решений нет; если 7 и 8, то 9( 7) ( 5) ; ( 8)( 7) ( 8)( 7) В следующей задаче используем прием обратной задачи Пусть A A A множество допустимых значений параметра а, входящего в уравнение (неравенство, систему), причем A множество значений параметра, при которых задача имеет решение, A множество значений параметра, при которых задача не имеет решение Если найдены множества А и A, то легко определить множество A Пример Определить, при каких значениях параметра уравнения y и y имеют хотя бы одно общее решение Решение Допустимые значения параметра а составляют множество всех действительных чисел Решим обратную задачу Найдем значения параметра, при y, которых система уравнений y не имеет решений Это возможно (см условие ()), если (*) Из равенства находим или (удовлетворяют условию ) Для этих значений неравенство в (*) также выполняется Следовательно, исходная задача выполняется при всех значениях а, отличных от и Ответ Задачи вида b c Рассмотрим задачи вида b c, где символ заменяет один из знаков =, >, 4 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Квадратное уравнение b c ( ) () не имеет решений тогда и только тогда, когда D Квадратное уравнение () имеет: а) два различных корня тогда и только тогда, когда D ; б) два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D ; в) два положительных корня тогда и только тогда, когда b c, D, c,, b или D, f (), в ; г) два отрицательных корня тогда и только тогда, когда b c, D, c,, b или D, f (), в ; д) корни разных знаков тогда и только тогда, когда c c f () ; е) корень, равный нулю тогда и только тогда, когда с ; ж) два разных корня, M тогда и только тогда, когда D, f ( M ), в M ; з) два разных корня, M тогда и только тогда, когда D, f ( M ), в M ; и) два корня M тогда и только тогда, когда f ( M ) ; к) корни m M тогда и только тогда, когда f ( m), f ( M ) ; л) корни m M тогда и только тогда, когда f ( m), f ( M ) ; м) корни m M тогда и только тогда, когда f ( m), f ( M ) ; н) один корень внутри интервала ( m, M ), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f ( m) f ( M ) уравнения Уравнение вида b c с переменной при приводится к уравнению степени не выше первой; при является квадратным уравнением Пример 5 (МГУ, 98) При каких значениях параметра уравнение ( ) МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru имеет два действительных различных корня? Решение Если, те, то получаем уравнение, которое имеет один корень При получаем квадратное уравнение, которое имеет два действительных различных корня тогда и только
5 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений тогда, когда его дискриминант положителен: ( )( ) D Решая это неравенство при условии, получаем ответ Ответ: ; ; 6 6 Пример 6 (МГУ, ) При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? 5 Решение Квадратное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен: 9 D 7 Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ 5 Замечание При 5 дробь не определена, поэтому и уравнение не определено, и в этом случае не имеет смысла говорить о решениях уравнения Ответ: 9 ( ; 5) ; 7 Пример 7 (МГУ, 7) Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения ( ) имеется ровно один отрицательный Решение Пусть, тогда получаем линейное уравнение, которое имеет единственный отрицательный корень При получаем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D ( ) ( ) 6 а) Уравнение имеет ровно один корень, те D Отсюда Так как корень, то остается б) Уравнение имеет корни разных знаков В этом случае свободный член приведенного уравнения отрицателен (дискриминант будет положительным): в) Один из корней равен нулю, те Квадратное уравне- ние принимает вид, и имеет корни, Значение не удовлетворяет условию задачи Ответ: ; Пример 8 (МИОО, ) Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение 5 5 ( )( ) имеет два различных отрицательных корня Решение Используя теорему Виета, запишем условия существования двух различных отрицательных корней для квадратного уравнения. D Рассмотрим первые два неравенства ( )( ), 5 5 ; ( )( ), ( 5) ( 5) ; ( )( ), ; Теперь рассмотрим дискриминант с учетом того, что МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 5
6 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений 5 5 ( )( ), ( )( ), 5, 69, Учитывая условие, получаем Ответ: ( ; ) неравенства Пример 9 (МГУ, 5) При каких целых неравенство log log верно для любого значения? Решение Квадратный трехчлен относительно отрицателен при всех тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен Обозначим log b, тогда D b b, те b Тогда log 8 log log Отсюда 8 Выбирая целые значения из промежутка ( ; 8), получаем ответ Ответ: ; ; ; ; 5; 6; 7 В следующем примере используем прием, при котором параметр рассматривают в качестве отдельной переменной Пример (МГУ, 99) Найти все значения, для каждого из которых неравенство ( ) ( ) 6 5 выполняется хотя бы при одном значении [; ] Решение Перепишем данное неравенство так: f ( ) ( ) ( 6 5) Левая часть его квадратный трехчлен относительно а Для того чтобы квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при принимал положитель- ные значения хотя бы в одной точке отрезка [ ;], необходимо и достаточно, чтобы он был положителен хотя бы в одном из концов этого отрезка Получаем совокупность неравенств для : МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru f ( ), f () ( )( ), ( )( ) Решения неравенств совокупности объединяем для ответа Ответ: ( ; ) (;) (; ) системы уравнений (неравенств) Пример (МИОО, ) Найти все значения, при каждом из которых система y, y имеет ровно два решения Решение Исключая параметр из системы, получаем уравнение ( y )( y ) Отсюда y или y Пусть y, тогда из системы имеем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D Если y, то из системы имеем квадратное уравнение, которое имеет дискриминант D Рассмотрим разные случаи для дискриминантов D, D, D,, Система неравенств не имеет D решений D,, Система не D имеет решений D,, D При первое уравнение имеет вид 6
7 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Числа и его корни Второе уравнение имеет вид и число его единственный корень D,, 5 Система не D имеет решений D, 6 В этом случае выше приведенные квадратные уравнения не имеют D общих корней (докажите, приравнивая корни) Тогда исходная система имеет четыре различных решения Случай, те, приводит к значениям y и Тогда получаем одно уравнение, которое имеет корни и Ответ: Пример (МГУ, 988) Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений y y, y y имеет единственное решение Решение Второе уравнение исходной системы можно переписать в виде y ( ) ( ), откуда следует, что эта система ни при каком значении параметра а не имеет решений с условием Поэтому исходная система уравнений равносильна системе ( ) y y ;, ( ) ( 9) 8, y Найдем все значения параметра а, при которых первое уравнение последней системы имеет решение Для таких значений а должно выполняться равенство ( )( ) ( 9)( ) 8, МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru откуда находим, что,5 При, 5 первое уравнение системы перепишется в виде 8 Это уравнение имеет два корня и Второму из них соответствует значение y,5 Для соответствующего значения у не существует Итак, при, 5 исходная система имеет единственное решение ;, и это значение а отвечает условию задачи При первое уравнение системы перепишется в виде 7 8 Оно 8 имеет единственное решение, соответствующее значение у равно 7 6 Итак, при исходная система уравнений имеет единственное решение 8 ;, и это значение а отвечает условию задачи 7 6 При первое уравнение системы есть квадратное уравнение с дискриминантом D ( 9) 8( ) 8 7 Если D, то первое уравнение системы, а значит, и исходная система, не имеют решений Если D и, 5, то первое уравнение системы имеет два решения, отличных от ( ) Следовательно, система имеет два решения Эти значения а не удовлетворяют условию задачи 7
8 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Равенство D 8 7 вы- 7 полняется для Оба эти значения отличны от (,5) Следова- 7 тельно, при первое уравнение системы, а вместе с ним и система, имеют по одному решению 7 Ответ: ; ; Пример (МГУ, 967) Найти все значения а, при каждом из которых система ( )( ), не имеет решений Решение Если, то второе неравенство системы не выполняется, и система не имеет решений Пусть В этом случае данная система равносильна следующей системе: ( ), Согласно условию задачи для любого должно выполняться неравенство: f ( ) ( ) Решением этого неравенства является промежуток ; или ; при Но найдутся числа, которые больше всех чисел, а,, и для них выполняется неравенство f ( ) Пусть В этом случае данная система равносильна следующей системе: ( ), Согласно условию задачи для любого должно выполняться неравенство: f ( ) ( ) Решением этого неравенства является объединение промежутков ( ; ) ; или ; ; Неравенство f ( ) будет выполняться при всех значениях при условиях,, Получаем окончательный ответ Ответ: ( ;] Сведение задачи к задаче вида b или b c Линейный двучлен и в особенности квадратный трехчлен занимают центральное место в задачах с параметрами Это связано с тем, что разные задачи тем или иным способом (замена переменной, разложение на множители и тд) можно привести к исследованию линейного двучлена или квадратного трехчлена задачи, содержащие целые рациональные выражениями высшей степени Пример (МГУ, ) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) ( 5) ( ) МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 8 8
9 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения Решение Обозначим y f ( ) ( ) тогда уравнение принимает вид g ( y) y ( 5) y, 8 Квадратный трехчлен f () ( )( ) принимает в одной точке значение f ( ), а остальные свои значения (большие ) по два раза Поэтому уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда: g( ), ) y в 6 ( 5) 8, 5, а ровно два корня в следующих случаях: D, ) y y y в ( 5) ( 8 ), 5 ; ) y y g ( ), Ответ: а) ; б) ( ; ) <> ( ; ) Пример 5 (МГУ, 8) Найти все значения параметра, при которых уравнение ( ) ( ) ( ) на промежутке ( ; ) имеет не менее двух корней Решение Приведем уравнение к виду ( ) ( ) y ( ) y, где функция y f ( ) возрастает на промежутке ( ; ) от до f ( ) Поэтому исходное уравнении имеет не менее двух корней на промежутке ( ; ) тогда и только тогда, когда полученное уравнение имеет два корня, принадлежащие интервалу (;), те когда ( ) ( ), ( )( ),, Ответ: задачи, содержащие дробнорациональные выражения Пример 6 Определить количество различных решений уравнения 5 с параметром b b Решение Данное уравнение равносильно системе 5, b Из условия 5 b получаем, что число 5 является корнем исходного уравнения, если b 5 При b 5 нет корней Ответ: при b 5 единственный корень, при b 5 нет корней Пример 7 При каких значениях параметра уравнение ( ) 6 5 имеет единственное решение? МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 9
10 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Решение При условии и 5 имеем и (обратная теорема Виета) Для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть пять случаев, ) 5,, ) 5, Нет решений 5, ) 5,, ) 5, Нет решений 5, 5) 5, Нет решений Ответ: или Пример 8 (МГУ, ) Найти все значения параметра b, при каждом из которых отрезок [ ; ] целиком содержится среди решений неравенства b b Решение Неравенство перепишем так: b b или f ( ) ( b) b Воспользуемся условиями расположения корней квадратного трехчлена: оба корня меньше числа ( ) или оба корня больше числа ( ), те выполняются условия f ( ), f ( ), или в в, где абсцисса вершины параболы b b 7b в Рассмотрим первую систему неравенств b ( b), 7b ( b)(6 b), b 6 b 7 Для второй системы неравенств имеем b ( b), 7b ( b)( b), b b 7 Объединяем полученные решения и записываем ответ Ответ: ( ; 6) ; задачи, содержащие выражения с модулями Пример 9 Определить количество различных решений уравнения в зависимости от параметра а Решение По свойству модуля имеем Поэтому при исходное уравнение корней не имеет Пусть, тогда уравнение имеет один корень Если, то из уравнения получаем два различных корня или Ответ: если, то нет решений; если одно решение; при два Пример Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение? Решение Рассмотрим два случая Пусть, те Тогда данное уравнение принимает вид:, ( ) Последнее МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
11 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений уравнение при решений не имеет, а при имеет единственный корень Найдем те значения параметра а, при которых для корня выполняется условие :,5, Следовательно, в первом случае исходное уравнение имеет одно решение при всех значениях ( ;,5] (; ) и не имеет решений при (,5;] Если, то будем иметь уравнение или ( ) При последнее уравнение не имеет корней, а при единственное решение, которое должно удовлетворять условию :,5 Таким образом, во втором случае заданное уравнение при всех значениях (;,5) имеет одно решение, а при ( ; ] [,5; ) решений не имеет Сравнивая результаты (см рис ), найденные в двух случаях, получаем ответ Ответ: если (,5;], то нет решений; если ( ; ] <,5>(; ) одно решение; при (;,5) два Пример При каких значениях b уравнение Одно решение Одно решение Рис (b ) b имеет два различных решения? Одно решение b Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях b квадратное уравнение t (b ) t b b имеет один положительный корень? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения t b, t b Возможны три случая t b ) b t b Нет реше- t ) t ний ) t t t b b b b b b Ответ: b ; b Замечание Другое решение данного примера смотрите в разделе «Функционально-графические методы решения» Пример (МИОО, ) Найти все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется при всех Решение Приведем неравенство к виду Так как квадратный трехчлен принимает положительные значения при всех значениях, то приходим к двойному неравенству ( ) затем к системе ( ( ), ( ) ), МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
12 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Для выполнения неравенств при всех значениях необходимо и достаточно поставить условия для дискриминанта D D ( ) ( ) 6, 6 8 8, 5 8, 5, 7 Ответ: 5 Пример (МГУ, 99) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство справедливо для всех действительных Решение При неравенство равносильно неравенству ( )( ), справедливому при всех тогда и только тогда, когда, те при Аналогично, при приходим к неравенству ( )( ), справедливому при всех при, те при Ответ: ; Пример (МГУ, 995) Найти все значения параметра а, при которых неравенство 6 9 имеет не более одного решения Решение Преобразуем данное неравенство 6 9, ( ) Неравенство имеет не больше одного решения лишь при (сделайте графическую иллюстрацию для функций y и y ), то есть при Ответ: Пример 5 В зависимости от значений параметра определить количество различных решений системы уравнений ( y 8 )( y ), y 8 Решение Рассмотрим первое уравнение системы y 8, ( y 8 )( y ) y Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем y 8, (I) y 8 МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru и (II) y, y 8 Решим систему (I) Подставляя y 8 во второе уравнение этой сис- темы, получим 8 8 или ( ), те система (I) при всех значениях параметра имеет решение, y 8 Решим систему (II) Она в свою очередь также равносильна совокупности двух систем (IIа) y,, y 8 и (IIб) Для системы (IIа) подставляя уравнение y 8 ( ) 8 y,, y 8, получим y в При это уравнение имеет вид 9, те решений нет При уравнение имеет одно решение Проверяя выполне- 8 ние условия имеем 8 Следовательно, система (IIа) при 8 имеет одно решение, 8 y
13 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Аналогично решая систему (IIб), получим, что при она имеет одно 8 8 решение, y Заметим, что решения систем (IIа) и (IIб) различны при, так как уравнение 8 8 не имеет корней Рассмотрим случаи совпадения решений систем (I) и (II) Из уравнения 8 при, получаем 8 Отсюда С учетом условия остается Из уравнения 8 при получаем 8 Отсюда С учетом условия, остается В итоге получаем, что исходная система уравнений имеет: при одно решение ( ; 8) при или два решения ( ; 8) или 8 8 ; ; при два решения ( ; 8) или 8 8 ; ; при, и три решения ( ; 8), 8 8 ;, 8 8 ; Ответ: при одно решение; при, и два решения; при, и три решения Замечание Другое решение данного примера смотрите в разделе «Функционально-графические методы решения» задачи, содержащие иррациональные выражения Пример 6 Определить количество различных решений уравнения ( ) q с параметром q Решение Из данного уравнения получаем два корня или q Второй корень удовлетворяет условию q Для первого корня имеем q или q Значит, при q исходное уравнение имеет два различных решения q или, при q один корень, при q один корень q Ответ: если q, то два различных корня; если q, то один корень Пример 7 При каких значениях b уравнение b имеет единственное решение? Решение Имеем b 6 9, b 5 9 b, Квадратное уравнение 5 9 b имеет дискриминант D b D при b,75 В этом случае квадратное уравнение 5 6,5 имеет один корень, 5, который удовлетворяет условию Пусть D, те b,75 Тогда квадратное уравнение имеет два действительных различных корня Чтобы заданное уравнение имело один корень, необходимо рассмотреть два случая а) Один из корней, а другой Подставим значение в квадратное уравнение, получим b Соответствующее уравнение 5 6 имеет корни, МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
14 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Для первого корня не выполняется условие б) В случае, когда, значение квадратного трехчлена f ( ) 5 9 b при отрицательно, так как f ( ) на промежутке (, ) Получаем f ( ) b, b Ответ: b,75; b Пример 8 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Отсюда t Уравнение t имеет один корень, если t Получаем квадратное уравнение t t, дискриминант которого равен D 5 Если D, те, 5, то квад- ратное уравнение t t,5 или ( t,5) имеет единственный корень t,5 Следовательно, исходное уравнение имеет один корень при,5 Если D, те, 5, то квадратное уравнение имеет два корня а) Корни будут разных знаков при условии t t, те из них только один положительный корень Решая систему неравенств получим ус-,5, ловие, при котором исходное уравнение имеет один корень б) Хотя бы один из корней равен нулю, в этом случае, Квадратное уравнение имеет два неотрицательных корня t и t Значит, исходное уравнение также имеет два корня Ответ:,5; Пример 9 При каких уравнение имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t t имеет один неотрицательный корень? Возможны три случая Если квадратное уравнение имеет один корень, то он будет равен t Этот корень не удовлетворяет условию задачи Корни разных знаков Необходимое и достаточное условие: t t 5,5 ) Один из корней равен нулю, другой отрицательный В этом случае необходимо выполнение условия Отсюда или 5,5 Для этих значений один корень равен нулю, другой равен (,5) Замечание В данной задаче не потребовалось рассматривать дискриминант Ответ: ;5,5 Пример (МГУ, ) При каких значениях неравенство ( ) имеет единственное решение? Решение Так как данное неравенство определено при, то оно имеет единственное решение ( ) тогда и только тогда, когда наименьший корень квадратного трехчлена ( ) не меньше Квадратный трехчлен имеет дискриминант D ( ) и корни, Взаимное расположение корней приводит к совокупности систем. МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru и,,
15 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Объединяем решения систем и получаем ответ Ответ: ; задачи, содержащие показательные выражения Пример Определить количество различных решений уравнения t с параметром t Решение Если t, то есть t,5, то данное уравнение не имеет корней При t, 5 получаем единственный корень log (t ) Ответ: при t, 5 нет корней; при t, 5 один корень Пример При каких значениях параметра а уравнение 5 имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t (5 ) t имеет один положительный корень? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения t, t Возможны следующие случаи ) t t Нет реше- t ) t ний ) t t t ) Один из корней равен нулю, другой положительный В этом случае tt t t 5 Ответ: ; Пример (МАДИ, ) Найти все значения параметра а, при которых неравенство верно при всех значениях х Решение Пусть t, где t Получим неравенство t 5( ) t ( ) степени не выше второй Если а, то имеем неравенство 6 t, которое выполняется не при всех 5 положительных значениях t При а имеем квадратное неравенство, которое должно выполняться при всех положительных значениях t Найдем дискриминант D 5( ) 8 ( ) ( )(7 75) и абсциссу 5( ) вершины tв параболы f ( t) t 5( ) t ( ) Рассмотрим несколько случаев расположения параболы относительно оси t Парабола, ветви которой направлены вверх, расположена выше оси t,, D ( )(7 75) 75 7 В этом случае f ( t) при всех значениях t, в частности, при t Парабола, ветви которой направлены вверх, касается оси t в точках промежутка (;], D, t в, 75 ;, 7 5( ) Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось t в двух различных точках t и t, причем t t МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 5
16 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений, 75 D, 7 tв,, f () Нет решений Случай для а рассмотрите самостоятельно 75 Ответ: ; 7 задачи, содержащие логарифмические выражения Пример Определить количество различных решений уравнения log ( m ), где m параметр Решение Данное уравнение равносильно уравнению m 9 При m получаем ложное равенство 9 ; при 9 m единственный корень m Ответ: при m нет корней; при m один корень Пример 5 При каких значениях а уравнение log log имеет четыре различных корня? Решение Пусть log t, где t Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях а квадратное уравнение t t имеет два различных положительных корня? Возможен один случай D tt t t 8 8,5 Ответ: ; 8 Пример 6 (МФТИ, ) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение log 5 5 log 5 имеет единственное решение Решение Обозначим log 5 q, 5 t Тогда получаем уравнение t t q Переформулируем задачу: найдите все значения параметра, при которых среди корней уравнения t t q имеет- ся ровно один положительный корень Это возможно в двух случаях Если D q, те q,, t 5 Если D q и квадратное уравнение имеет один положительный корень При q это уравнение имеет два различных корня, причем при q оба корня положительны, так как их сумма равна, а произведение равно q Если же q, то только один корень положителен Следовательно, log 5, те Ответ: ; ; 5 Пример 7 (МГУ, ) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( )( 6) lg(5 ) lg( ) имеет единственное решение Решение Имеем ( )( 6) lg(5 ) lg( ), 6, 5,, 5 5, 8 Из неравенства 5 следует, что и, значит, Рассмотрим два случая МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 6
17 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений корень уравнения при выполнении условий: 5,, корень уравнения при выполнении условий: 5,, 5 8 Поэтому данное уравнение имеет единственный корень, 5 5 либо при, 8 либо при, либо при Ответ: ; ; ; Пример 8 Найти все значения параметра а, при которых неравенство log 5 выполняется для всех значений? Решение Рассмотрим два случая,, 5 5, 5 5,, Последнее неравенство системы не выполняется 5 5 при всех значениях Ответ: ( ;5) Пример 9 Найти все значения параметра, при которых система уравнений log ( y) log (7 8 y), ( ) y 6 имеет ровно два решения Решение Рассмотрим первое уравнение системы log ( y) log (7 8 y) log (8 9 9y) log (7 8 y) 8 9 9y 7 8 y, y, y y Подставляя y во второе уравнение исходной системы, получим ( ) 5 (*) Уравнение (*) имеет решение, если 5, те при 5 При 5, те при 5, получаем 5 Тогда y 6 В этом случае y, те исходная система имеет решение и при том единственное При 5, получаем два решения уравнения (*): 5 и 5 Им соответствуют значения y 5 и y 5 Исходная система будет иметь ровно два решения, если обе найденные пары (, y ) и (, y ) будут удовлетворять y Для пары, ) получаем: ( y 5 5, 5,, ( ) ( 5),5, 5,,5, 6 5,5,,5, МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 7
18 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Для пары, ) получаем: ( y 5 5, 5, Следовательно, обе пары будут являться решениями исходной системы при 7 таких, что 5 7 Ответ: 5 задачи, содержащие тригонометрические выражения Пример Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение cos имеет решение sin b Решение Преобразуем данное уравнение к виду где ( ) (cos cos sin sin ) b, rccos cos( ) b, b Уравнение cos( ) имеет решения тогда и только тогда, когда b, то есть при b Ответ: b Пример (МГУ, 989) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 6 9 sin cos 8 ( sin ) не имеет решений Решение Введя обозначение sin t, исходное уравнение перепишем в виде ( ) t 7 6 (*) Теперь задача может быть переформулирована так: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (*) не имеет корней, принадлежащих промежутку t При уравнение (*) принимает вид 6, и, следовательно, при исходное уравнение не имеет решений При уравнение (*) может быть переписано в виде 7 6, ( ) МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru t откуда искомые значения параметра а есть решения совокупности неравенств и (**) ( ) ( ) Первое из этих неравенств равносильно неравенству ( ) Множество его решений есть Так как 7 6 ( )( 6) и на множестве имеем ( ), то множество решений второго неравенства совокупности (**) при условии есть и 6 Объединяя найденные значения а, получаем ответ Ответ: ; 6 Пример (МИОО, ) Найти все значения, при каждом из которых уравнение cos имеет ровно восемь различных решений Решение Преобразуем уравнение n, n Z, ( n), n, n Z, (n), n. Каждому положительному значению подкоренного выражения соответствуют ровно два значения неизвестной, нулево- 8
19 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений му одно, а отрицательному ни одного Поэтому для того чтобы решений было ровно 8, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было положительным при n. и отрицательным при n,5,6, Таким образом, получим систему неравенств ( ) ( ), ; 6, 8 Отсюда получаем значения 8; 6 6;8 Замечание Для решения задачи мож- но к уравнению n, n Z, применить графическую иллюстрацию (см рис ) Функция y задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и переменным радиусом Функция y n, n Z, задает семейство горизонтальных прямых Необходимо указать границы для радиуса полуокружности, обеспечивая нужное количество точек их пересечения y=8 y=6 y= y= y O Рис Ответ: ; 6 6; 8 Метод замены y= 8 Выше были рассмотрены задачи, в которых использовали метод введения новой переменной В таких случаях требуется исследовать область изменения новой переменной, и задача с новой переменной может быть переформулирована В данном разделе еще раз подробно остановимся на методе замены переменной (переменных) введение одной новой переменной Пример (ЕГЭ, С5) Найти все значения, при каждом из которых уравнение 6 (8 5) 6 6 имеет единственное решение Решение (-й способ) Пусть 6 t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t (8 5) t 6 имеет один положительный корень? Значит, другой корень должен быть неположительным Используя теорему Виета, имеем два случая ( t и t корни квадратного уравнения): ) t t 6 7 tt 6, ) t t Отсюда Замечание В рассмотренных случаях нет необходимости в исследовании дискриминанта на наличие действительных корней уравнения В первом случае свободный член c t t отрицательный, а значит, дискриминант положительный Во втором случае свободный член равен нулю, поэтому уравнение имеет корни Решение (-й способ) Пусть 6 t, где t Тогда исходное уравнение примет вид t (8 5) t 6 Так как дискриминант D полученного уравнения положительный D (8 5) (6 ) 8, то уравнение имеет два различных корня t или t 7, причем при всех значениях верно неравенство 7 МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru 9
20 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Исходное уравнение будет иметь единственное решение, если одно из чисел и 7 будет положительным, а другое неположительным Отсюда следует 7, 7 Приведем функционально-графическое решение уравнения Решение (-й способ) Пусть 6 t, тогда исходное уравнение примет вид t (8 5) t 6 Вычислим дискриминант квадратного уравнения D (8 5) (6 ) 8 и найдем его корни t или t 7 Возвратимся к переменной х: 6 или 6 7 Отсюда получаем и или и Построим графики полученных функций (см рис ) Рассмотрим прямые, параллельные оси введение двух новых переменных Пример Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений y y, 9 9y 6 8y 7 7 имеет ровно два различных решения Решение Группируя в первом уравнении системы члены, получим (y y) ( ) ( y )( ) Группируя члены и выделяя полные квадраты во втором уравнении, имеем ( ) 9( y ) 7 Тогда система примет вид ( y )( ), ( ) 9( y ) 7 Введем новые переменные u и v y Тогда получаем систему uv, u 9v 7 Умножая первое уравнение этой системы на ( 6 ) и складывая со вторым уравнением, получим уравнение ( u v) () Рис и пересекающие построенные графики Единственная точка пересечения получается при условии 7 7 Ответ Если, то уравнение (), а значит и исходная система не имеют решения Если, что выполняется при и, то уравнение (), а значит и исходная система имеют решения Из уравнения () при этих значениях параметра получаем u v Учитывая первое уравнение системы, имеем v, те v и v Отсюда u и u Следовательно, исходная система будет иметь два различных решения (проверьте самостоятельно) Если, то уравнение () равносильно совокупности МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
21 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений u v, u v Учитывая первое уравнение системы, имеем: если u v, то v v (*); если u v, то v v (**) Каждое из уравнений (*) и (**) будет иметь два решения Следовательно, исходная система будет иметь более двух решений Ответ и тригонометрическая подстановка Пример 5 Исследовать количество различных решений уравнения в зависимости от значений параметра а Решение Так как основания для показательных выражений положительны, то решим систему неравенств Пусть b, тогда име- ем,, tgb, где tg b ; tgb sin b tg b cos b tgb sin b Исходное уравнение примет следующий вид cosb или sin b sin b cos b sin b (*) Исследуем полученное уравнение, учитывая ограничения cos b, sin b при b Если, то уравнение (*) выполняется Пусть, тогда в силу монотонности показательной функции получаем (sin b) (sin b) и (cosb) (cosb) Следовательно, sin b cos b Аналогично при получаем неравенство sin b cos b Отсюда по- лучаем ответ Ответ: если (;), то один корень; если ( ;] [; ), то нет корней 5 Выявление необходимых условий Задачи, в которых поиск значений параметра или переменной затруднителен, выделяют необходимые условия для получения множества этих значенийпретендентов, затем из них отбирают значения в ответ, используя достаточные условия Выбор подходящего значения параметра или переменной В некоторых задачах условие выполняется при всех значениях переменной а или из некоторого множества Подставляя в условие удобное значение одной переменной, находят множество необходимых значений другой переменной Пример 6 Найти все значения, удовлетворяющие уравнению log ( ) log 6 (5 7 ) при любом действительном значении а Решение Если данное уравнение имеет решение при любом значении параметра а, то оно имеет решение и при Подставим значение в исходное уравнение, получим log ( ) log 6 (5 7 ) (*) Найдем решения полученного уравнения, переходя к уравнениям-следствиям (5 7 ) 6 ; МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
22 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений 5 7 ; 6 Отсюда корни или При уравнение (*) не определено Значение является корнем этого уравнения: log 5 5 log (верно) Таким образом, необходимо, чтобы значение являлось корнем исходного уравнения для всех значений а Проверим достаточность Подставим в данное уравнение, получим равенство log ( ), которое выполняется при всех R, так как при всех значениях а Ответ: Пример 7 При каких значениях параметра а неравенство log ( ) выполняется для любого значения? Решение Так как данное неравенство должно выполняться при любых значениях, то оно должно иметь место и при Подставляя в исходное неравенство, приходим к неравенству log, которое равносильно системе,, Найдем достаточные условия Для условия имеем Тогда исходное неравенство равносильно системе ( ), ( ), ( ), ( ), Чтобы неравенство последней системы выполнялось при всех значениях, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным D ( )( ) Для удобства обозначим получаем неравенство t, тогда ( t )( t) или t 5t 5, имеющее решения t Отсюда находим достаточные условия , Ответ: Инвариантность * Инварианты (от лат invrins, родительный падеж invrintis неизменяющийся), числа, алгебраические выражения и т п, связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект Ниже будут рассмотрены задачи, имеющие характерную особенность: их условия не изменяются либо при замене знака одной или нескольких переменных на противоположный («симметрия относительно знака»), либо при перестановке нескольких переменных («симметрия относительно перестановки переменных»), либо при замене переменной на некоторое выражение с переменной При решении задач указанного вида используется следующий алгоритм: во-первых, выполняется проверка на инвариантность; во-вторых, из проверки выполнения необходимых условий находятся допустимые значения параметра (при «симметрии относительно знака» переменной подставляется ее нулевое значение; при «симметрии относительно перестановки» переменных все переменные обозначают одной буквой); МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru
23 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений в-третьих, проверяется достаточность условий, те для найденных допустимых значений параметра выполняется проверка того, что при полученных значениях параметра уравнение (система и тд) действительно имеет требуемое число решений Замечание Последний этап заключается либо в доказательстве существования требуемого числа решений, либо в его опровержении Приведенный алгоритм является общим и для решения уравнений и неравенств, а также систем уравнений и неравенств с одним или несколькими параметрами преобразование ( х) или у ( у) Выражения, инвариантные относительно преобразования ( х) или у ( у), называют симметричными относительно знака переменной, или переменной у В этом случае графики выражений симметричны относительно оси у или оси соответственно При решении уравнений (неравенств, систем уравнений или неравенств) используют следующие утверждения Утверждение Если выражение f () инвариантно относительно преобразования ( х) и уравнение f ( ) имеет корень, то число также корень этого уравнения Утверждение Если выражение F ( ; y) инвариантно относительно преобразования ( х) и уравнение F ( ; y) имеет решение х ; ), то и ( y пара чисел ( х ; ) также решение этого уравнения Утверждение Если выражение F ( ; y) инвариантно относительно преобразования у ( у) и уравнение F ( ; y) имеет решение х ; ) ( y пара чисел ( х; y) также решение этого уравнения Для четных функций y f () выражение f () симметрично относительно знака переменной Как известно, график четной функции симметричен относительно прямой Если для выражения f () выполняется равенство f ( ) f ( ), те график функции y f () симметричен относительно прямой, то удобнее сделать замену t, чтобы рассматривать четную функцию f (t) При исследовании на «симметрию относительно знака» в выражении F (, y) для пары (, y) проверяются подстановкой в него пары (, y), (, y), (, y) Если при подстановке пар (, y) и (, y) выражение не меняется, то говорят, что наблюдается «симметрия относительно знака» переменной ; для пар (, y) и (, y) «симметрия относительно знака» переменной y ; для пар (, y) и (, y) «симметрия относительно знаков» обеих переменных Пример 8 (ЕГЭ, С5) Найти все значения, при каждом из которых уравнение ( ) МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru имеет единственный корень Решение При каждом конкретном значении параметра функции f ( ) ( ) и g ( ), входящие в левую и правую части уравнения, являются четными, поскольку выполняются условия: они определены на всей числовой прямой (области определения симметричны относительно начала координат); f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ), g ( ) g( ) Следовательно, если число корень уравнения f ( ) g( ), то число также будет являться корнем этого уравнения Условие единственности будет выполняться, если корень уравнения f ( ) g( ) и других корней нет
24 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Подставив в исходное уравнение значение, получим уравнение относительно параметра : ( ), ( ) Отсюда получаем три значения параметра 6, и Пусть 6 Подставив 6 в исходное уравнение, получим Правая часть этого уравнения после раскрытия на промежутках модулей имеет вид, если,, если,, если Уравнения и не имеют корней, а уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий условию Пусть Подставив это значение параметра в исходное уравнение, опять получим уравнение, имеющее единственный корень Пусть Подставив это значение параметра в исходное уравнение, получим. Значение не соответствует условию задачи Ответ: 6, Замечание Другое решение данного примера см в разделе «Функциональнографические методы» Пример 9 (МГУ, 999) Найти все значения параметра а, при которых уравнение ( ) имеет нечетное число решений Решение Данное уравнение инвариантно (неизменно) при замене на (докажите) Поэтому, если число является корнем исходного уравнения, то число также будет корнем Вследствие этого, количество корней может быть нечетным только в случае, когда среди корней находится число Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение относительно а. Если, то исходное уравнение примет вид МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru ( ) Оно распадается на два уравнения: ( ) ( ) или Первое уравнение имеет один корень Второе уравнение разрешим относительно ( не является корнем этого уравнения): 8 или Рис Показательная функция y монотонно возрастает от до и ее график проходит через точку ( 😉 (см рис ) Дробно-линейная функция возрастает на промежутках ( ; ) и ( ; ) Ее
25 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений график гипербола, проходящая через точку ( ; ), с вертикальной асимптотой и горизонтальной асимптотой y Второе уравнение не имеет корней В этом случае исходное уравнение имеет ровно корень Случай рассмотрите самостоятельно Ответ: или Пример 5 (МГУ, 995) Найти все значения параметра, при которых неравенство 6 cos 6 cos имеет единственное решение? Решение Приведем данное неравенство к следующему виду ( cos 6) cos Так как функция ( cos 6) f ( ) cos является четной, то необходимым условием единственности решения неравенства f ( ) является наличие решения При имеем ( ) f () Последнее неравенство выполняется при или Проверим достаточность При знаменатель cos, поэтому получаем или ( cos 6) cos 6 Так как cos и 6, то cos, cos 6 ; При имеем неравенство ( cos 6) cos ( cos 6), которое выполняется при всех R Ответ: Пример 5 (ЕГЭ-, демонстрационный вариант, С5) Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений ( ) y, y имеет единственное решение Решение Заметим, что если пара чисел, ) является решением данной ( y системы уравнений, то пара (, y ) также ее решение Следовательно, для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось равенство, те Подставив это значение неизвестной в систему, получим:, y, y ; y, y Допустимыми значениями параметра являются лишь значения и Пусть Тогда исходная система y, уравнений примет вид: y Подставив y из первого уравнения системы во второе, получим ( ) или Это уравнение имеет три корня, и Следовательно, при данная в условии система уравнений имеет три пары решений ( ; ), ( ; ) и ( ; ) Пусть Тогда исходная система уравнений примет вид: ( ) y, y МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru или y, y 5
26 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Из первого уравнения полученной системы следует y, а из второго y Следовательно, если система имеет решение, то это пары вида (, ) Подставляя y в систему, получаем, Следовательно, при решение ( ; ) исходной системы уравнений единственное Ответ Пример 5 Найдите все значения параметра, при которых система уравнений ( ) y 9 y 8, имеет ровно три различных решения Решение Система имеет смысл при значениях параметра Поскольку переменная входит в каждое уравнение системы в четной степени, то заметим, что если пара чисел (, y ) является решением данной системы уравнений, то пара (, y ) также решение Следовательно, для того, чтобы система имела нечётное число решений необходимо, чтобы, те Подставив в систему, получим: ( ) y 9 8, y ; 9 8 Решив полученное уравнение относительно, найдем допустимые значениями параметра Рассмотрев целые делители свободного члена многочлена 9 8, заметим, что и есть его корни Используя схему Горнера, получим Отсюда следует, что 9 8 ( )( )( 5 ) ( ) ( )( ), те допустимыми являются значения, Значение не удовлетворяет условию Проверим, какие из полученных значений параметра являются достаточными Пусть Тогда исходная система уравнений примет вид:, y Полученная система будет иметь единственное решение ( ; ) Пусть Тогда исходная система уравнений примет вид: y 5 y, 5 5 y 5 ( 5), y 5, Полученная система имеет три решения ( ; ), ( 5; 5 5) и ( 5; 5 5) Ответ: Пример 5 (Пробный вариант 5 от ФЦТ, ЕГЭ, декабрь) Найти все значения параметра, при каждом из которых система 8 y, ( y )( y ) 8( ) имеет ровно 8 решений Решение -й способ Данная система равносильна следующей системе ( ) ( ) y, y МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru Заметим, что данная система уравнений обладает «симметрией относительно знака» переменной y Из равенства левых частей уравнений системы, при условии, что их правые части неотрицательны, следует 6
27 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений y y, y 5 y y, y 5 y, y Уравнение 5 y, 5 y 5 будет иметь четыре различных решения относительно y при выполнении условий 5 5,, Отметим, что значения y, получаемые в процессе решения при найденных значениях, будут удовлетворять условиям y, поскольку при этих из y 5 неравенства следует 5 y Для каждого полученного решения y такого, что y, уравнение ( ) y будет иметь два различных решения относительно, а, следовательно, исходная система будет иметь 8 решений Решение -й способ Покажем, что восемь различных решений это максимальное количество решений данной системы Действительно после исключения переменной из системы ( ) ( ) получим уравнение y, y МИЭТ «Абитуриенту» Подробная информация о довузовской подготовке и поступлении в МИЭТ — на сайте wwwbiturientru f ( t) t t, (*) где y t Квадратное уравнение (*) имеет максимум два различных корня при условии D ( ) Если корни положительны (при условии t t и t t ), то из уравнения y t получим четыре различных числа для переменной у Каждому из четырех значений y будет соответствовать максимум два различных значения из уравнения ( ) y при условии y или t, те f () t в Запишем все условия вместе ( ), D, t, t, f (), 6, t в 5, 5 Отсюда получаем ответ Ответ 5 5 ; ; преобразование ( ; y) ( y; х) При исследовании выражения F ( ; y) на «симметрию относительно перестановки переменных» для пары (, y) проверяется пара ( y, ) подстановкой в исходное выражение В некоторых выражениях наблюдается «симметрия» относительно и перестановки переменных и изменения у них 7
Уравнения и неравенства с параметром корянов
Данная тема выделена в самостоятельный раздел из раздела Литература по математике для поступающих в вузы(часть I) с целью разгрузить последний и упорядочить информацию в нем. Новые позиции отмечены голубым знаком NEW.
29-09-2011Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами — М.: Изд-во МГУ, 2003. — 368 с.
28-09-2011Горнштейн П.И., Полонский В. В., Якир М. С. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., доп. 2005, 328 стр.
 | |
 | |
 | Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. М.: Научный мир, 2011. — 316 с: 262 ил. ISBN 978-5-91522-257-0 Книга посвящена решению задач с параметрами, которые для многих школьников традиционно являются задачами повышенной трудности. Задачи классифицированы как по типам, так и по методам решений, начиная от простейших задач до трудных, встречающихся на олимпиадах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ. Для учащихся 8-11 классов, учителей школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов. За книгу большое спасибо loa (Ольге Александровне) с форума Ларина Скачать (djvu, 2.46 Мб) ifolder.ru || narod.ru |
 | |
 | NEW Новое издание. Горнштейн П.И., Полонский В. В., Якир М. С. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., доп. Серия: Кладовая школьной математики, 2005, 328 стр., ISBN: 5-89237-021-6 Книга содержит более 700 задач с параметрами, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы. Материал пособия, помимо деления на главы и параграфы, разбит на пункты, посвященные определенным типам задач или приемам их решения. Ко всем упражнениям приведены ответы, наиболее сложные задачи снабжены подробными указаниями. Для преподавателей математики, студентов педагогических вузов, слушателей подготовительных отделений, абитуриентов, старшеклассников. Обложка от издания 2007 года. За книгу большое спасибо loa (Ольге Александровне) с форума Ларина Скачать (djvu, 3,7 Мб) narod.ru || onlinedisk.ru |
 | |
 | |
 | Иванов С. О. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5 / С. О. Иванов, Е. А. Войта, А. С. Ковалевская, Л. С. Ольховая; под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 48с. — (Готовимся к ЕГЭ). ISBN 978-5-91724-075-6 Предлагаемое пособие «Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5» адресовано учащимся 10— 11-х классов, а также их преподавателям. Оно состоит из вариантов тестовых заданий по отдельным темам: «Алгебраические выражения», «Уравнения», «Неравенства» и др., которые являются традиционными в курсе математики и поэтому входят в ЕГЭ. Согласно спецификации ЕГЭ-2011, задание С5 является уравнением, неравенством или системой с параметром. Однако начинать подготовку к ЕГЭ с решения задач подобного уровня неразумно из-за высокого уровня их трудности. В связи с этим авторы предлагают подготовительные тесты по основным темам, материал которых используется при решении задач с параметрами. Последняя глава содержит задачи, аналогичные заданиям С5 на предстоящем ЕГЭ. Помимо подготовки к ЕГЭ, пособие может быть использовано для промежуточного контроля по теме «Задания с параметром» при изучении математики на профильном уровне. Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 600dpi+ocr, 603.46 кб) ifolder.ru || mediafire.com |
 | |
 | |
 |