Уравнения и неравенства системы уравнений двумя переменными

Системы неравенств с двумя переменными

п.1. Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными

Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Множество решений – сегмент круга, отсекаемый отрезком AB. Сам отрезок в множество решений не входит.

п.2. Примеры

Пример 1. Найдите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Выразим y(x) в явном виде

Строим прямые, заштриховываем области над ними, находим пересечение.

Выразим y(x) в явном виде

Заштриховываем область под первой параболой и над второй параболой.

Выразим y(x) в явном виде

Строим гиперболу и прямую. Заштриховываем области под гиперболой и над прямой.

Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй.

Находим пересечение – кольцо.

Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами
A(2; 3), B(4; 4), C(3; 0)
Уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:

Алгебра

План урока:

Уравнения с двумя переменными

Порою в ур-нии содержится не одна, а две переменных. Такие ур-ния мы уже изучали в 7 классе. Приведем несколько примеров уравнений с двумя переменными:

В абсолютном большинстве таких задач для обозначения переменных используют буквы х и у. Решение указывают в виде пары чисел, причем на первом месте пишут значение х, а на втором – значение у. Например, несложно убедиться, что пара чисел (– 1; 3) является решением ур-ния

Для этого надо лишь вместо х подставить (– 1), а вместо у – число 3:

Получили верное равенство. Заметим, что пара (– 1; 3) является не единственным решением ур-ния. Например, пара (2; 0) также обращает ур-ние в верное рав-во:

У ур-ний с двумя неизвестными, как и у ур-ний с одной неизвестной, можно определить степень. Для этого надо представить их в таком виде, когда слева записан многочлен, а справа – ноль. Тогда степень ур-ния будет равна степени многочлена. Так как ур-ние содержит две переменных, то для обозначения такого многочлена используется запись Р(х; у).

Пример. Определите степень уравнения

Решение. Раскроем скобки слева, а потом перенесем все слагаемые в одну сторону:

х 3 + ху – х – 1 = 0

В левой части стоит многочлен третьей степени (подробнее об определении степени полинома можно узнать из этого урока). Поэтому и степень ур-ния равна 3.

График уравнения с двумя переменными

Очень часто ур-ние с 2 переменными имеет бесконечное число решений. Их удобно изображать в виде графика, ведь каждой паре чисел (х₁; у₁) соответствует точка на координатной плоскости с координатами х₁ и у₁.

Проще всего строить график уравнения с двумя переменными в том случае, когда удается выразить переменную у через х. Например, пусть надо построить график ур-ния

Выразим неизвестную величину у через х, то есть попытаемся получить ф-цию у = у(х):

Построим график ф-ции у = 3 – 2х. Он одновременно будет являться и графиком ур-ния 6х + 3у = 9:

Не всегда можно так преобразовать ур-ние, чтобы получилась ф-ция у = у(х). Действительно, по определению функции, каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение ф-ции. Однако рассмотрим пример ур-ния

Можно убедиться, что его обращают в верное рав-во пары чисел (1; 1) и (1; – 1):

Получается, что одному значению х(х = 1) соответствует сразу 2 значения у (у = 1 и у = –1). Это значит, что графиком такого ур-ния не может являться ф-ция у = у(х)

В данном случае возможно выразить х через у. Перенесем слагаемое у 2 вправо:

Получили «перевернутую ф-цию» х = х(у), где не у зависит от х, а х от у. Ф-ция является квадратичной, а потому ее графиком будет парабола:

Так как х и у в ф-ции поменялись местами, то ось параболы стала не вертикальной, а горизонтальной.

Встречаются случаи, когда из ур-ния невозможно получить ни ф-цию у(х), ни ф-цию х(у). Рассмотрим ур-ние

Его решениями являются пары чисел (0; 5) и (0; – 5). То есть значению х = 0 соответствует два значения у (5 и – 5), поэтому не получиться записать ф-цию у(х). С другой стороны, решениями ур-ния являются также пары (5; 0) и (– 5; 0), то есть значению у = 0 также соответствует два значения х (– 5 и 5), поэтому и записать ф-цию х(у) не удастся. Вообще данное ур-ние является частным случаем ур-ния

где R– некоторое постоянное число, или параметр. Оно называется уравнением окружности, потому что его графиком как раз и является окружность.

Докажем это утверждение. Пусть на координатной плоскости есть точка А с произвольными координатами (х; у):

Опустим из А перпендикуляр на ось Ох в точку В. Получили прямоугольный треугольник ОАВ. Его катет ОВ равен у, а катет АВ = х. По теореме Пифагора можно найти длину гипотенузы ОА, которая и является расстоянием от О до А:

ОА 2 = ОВ 2 + АВ 2 = х 2 + у 2

Окружность радиусом R– это множество точек, удаленных от центра на расстояние R. То есть расстояние ОА равно R, то точка А лежит на окружности радиусом R c центром в О:

х 2 + у 2 = ОА 2 = R 2

Таким образом, координаты любой точки, лежащей на расстоянии Rот центра, удовлетворяют ур-нию

В частности, графиком ур-ния

является окружность с радиусом 5 (так как 25 = 5 2 )

Система уравнений с двумя переменными

Рассмотрим задачу. Разность двух чисел равна единице, а сумма их квадратов составляет 25. Чему равны эти два числа?

В задаче неизвестны два числа. Поэтому обозначим их за неизвестные величины х и у. Первое условие задачи, «разность чисел равна 1», можно записать ур-нием:

Второе условие записывается так:

Нам надо найти такие х и у, которые удовлетворяют одновременно обоим условиям задачи. То есть необходимо решить систему уравнений с двумя переменными:

Напомним, что в 7 классе мы уже изучали сис-мы ур-ний, однако рассматривались только случаи, когда все они являлись линейными. В рассматриваемом случае второе ур-ние линейным НЕ является (потому что переменные величины стоят во второй степени).

Для каждого ур-ния построим отдельный график. Точки их пересечения и будут соответствовать решениям сис-мы. Ур-ниех 2 + у 2 = 25 задает окружность. Ур-ние х – у = 1 будет совпадать с графиком линейной ф-ции у = х – 1:

Графики пересеклись в двух точках: (4; 3) и (– 3; – 4). Подставив их в сис-му, можно убедиться, что именно эти пары чисел являются решениями этой сис-мы.

Конечно, графический метод решения сис-м не всегда точный. Однако он позволяет оценить количество корней и их примерное расположение. Также графики помогают при изучении сис-м, содержащих параметры.

Пример. Найдите с помощью графиков решение сис-мы ур-ний

Решение. Построим графики каждого ур-ния. График первого ур-ния представляет собой параболу, а второй график – это прямая у = 4 – х:

Видно, что графики пересеклись в двух точках: (– 1; 5) и (4; 0). Убедиться в точности построения можно, просто подставив эти значения в решаемую сис-му.

Пример. При каком а сис-ма ур-ний

имеет ровно 3 решения?

Решение. Преобразуем 2-ое ур-ние сис-мы:

График ур-ния х 2 + у 2 = 9 представляет собой окружность радиусом 3. График у = – х 2 + а является параболой с ветвями, смотрящими вниз. Покажем на плоскости различные варианты взаимного расположения этих графиков при различных значениях параметра а:

Видно, что 3 точки пересечения у параболы и окружности может быть только в случае, если вершина параболы касается окружности в точке (0; 3). Для этого парабола должна определяться ур-нием у = – х 2 + 3. Это значит, что только при значении а = 3 сис-ма имеет 3 решения.

Метод подстановки

Конечно, решать сис-му ур-ний графическим способом не очень удобно, так как часто можно получить лишь приближенный ответ. При изучении систем линейных уравнений с двумя переменными мы познакомились с двумя универсальными способами их решения: методы подстановки и сложения. К сожалению, для нелинейных сис-м нет универсальных методов их решения. Однако тот же способ подстановки иногда может помочь.

Его суть заключается в том, что в одном ур-нии надо выразить одну переменную через другую. В результате получится ф-ция у(х) или х(у), и ее можно будет подставить во второе ур-ние и тем самым получить ур-ние с одной неизвестной. Иногда такое действие называют исключением переменной.

Пример. Найдите решение сис-мы уравнений методом подстановки:

Решение. Сразу видно, что во втором ур-нии можно выразить у через х:

Подставим выражение у = х 2 – 6 в первое ур-ние:

2х 2 + х – 3у – 16 = 0

2х 2 + х – 3(х 2 – 6) – 16 = 0

Получилось ур-ние, в котором уже нет у! Его достаточно легко решить, ведь оно сводится к квадратному ур-нию:

2х 2 + х – 3(х 2 – 6) – 16 = 0

2х 2 + х – 3х 2 + 18 – 16 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•(– 1)•2 = 1 + 8 = 9

Получили два возможных значения х. Теперь выполним обратную подстановку:

Итак, имеем две пары чисел, (– 1; – 5) и (2; – 2), которые являются решениями сис-мы ур-ний.

Ответ: (– 1; 5); (2; – 2)

Пример. При каких х и у справедлива сис-ма

Решение. Попробуем найти решение методом подстановки. Из второго ур-ния следует, что ни одна из переменных не равна нулю, ведь иначе бы произведение ху равнялось бы не 7, а нулю. Поэтому можно поделить второе ур-ние на х:

У нас получилось выразить у через х. Подставим полученное выражение в первое ур-ние:

Заменим переменную х 2 на t:

Умножим ур-ние на t. Так как х ≠ 0, то и t≠ 0,поэтому мы можем смело производить подобное умножение:

t 2 – 50t + 49 = 0

Получили квадратное ур-ние. Можно честно решить его, однако мы поступим проще. По теореме Виета, произведение корней ур-ния должно равняться 49 (свободный член ур-ния), а в сумме они должны давать 50 (второй коэффициент ур-ния с противоположным знаком). Под эти условия подходят числа 1 и 49:

На всякий случай подставим их в квадратное ур-ние и убедимся, что они действительно являются его корнями:

1 2 – 50•1 + 49 = 1 – 50 + 49 = 0

49 2 – 50•49 + 49 = 2401 – 2450 + 49 = 0

Итак, имеем два корня: t₁ = 1 и t₂ = 49.

Теперь произведем обратную замену:

х 2 = 1 или х 2 = 49

Имеем два квадратных ур-ния. Корнями первого являются числа

У ур-ния х 2 = 49 корни – это числа

Получили четыре значения х. Для каждого из них можно вычислить соответствующее значение у по формуле у = 7/х:

при х = –1; у = 7/ – 1 = – 7

при х = 1; у = 7/1 = 7

при х = – 7; у = 7/– 7 = – 1

при х = 7; у = 7/7 = 1

В итоге имеем 4 пары решений: (– 1; – 7), (1; 7), (– 7; – 1) и (7; 1).

Ответ: (– 1; – 7), (1; 7), (– 7; – 1), (7; 1).

Метод сложения

Очевидно, что не всегда в ур-нии можно выразить одну переменную через другую. Такую ситуацию можно, например, наблюдать в сис-ме

Однако здесь в каждом ур-нии есть слагаемое 6у 2 , взятое с разными знаками. За счет этого сис-му можно решить методом сложения, ведь при сложении левых частей ур-ний слагаемые 6у 2 и (– 6у 2 ) сократятся, что позволит исключить переменную у из ур-ния. Для этого надо сложить по отдельности левые и правые части ур-ний и получить новое ур-ние:

(3х 2 – 6у 2 + 3х) + (– 2х 2 + 6у 2 ) = –18 + 22

3х 2 – 6у 2 + 3х – 2х 2 + 6у 2 = 4

Получили ур-ние, не содержащее у. Его можно решить как обычное квадратное ур-ние:

D = b 2 – 4ас = 3 2 – 4•1•(– 4) = 9 + 16 = 25

Нашли два значения х. Подставляя его второе ур-ние, получим

– 2•(– 4) 2 + 6у 2 = 22

Имеем 4 решения сис-мы (– 4; 3), (– 4; – 3), (1; – 2), (1; 2).

Мы рассмотрели простейший случай использования метода сложения уравнений, когда ур-ния сис-мы можно сложить сразу. Однако порою их надо сначала умножить на какие-то числа, и лишь потом складывать.

Пример. Укажите решение для сис-мы:

Решение. Сразу складывать эти ур-ния нет смысла, потому что при этом не исчезнет ни одна переменная. Напомним, что обе части любого ур-ния можно умножить на число, не равное нулю, и в результате получится равносильное ур-ние. Поэтому второе ур-ние умножим на (– 2):– 4х 2 + 2у 2 = – 2

А вот теперь есть смысл сложить его с первым ур-нием, так как у них есть слагаемые 2у 2 с противоположными знаками:

(3х 2 – 2у 2 ) + (– 4х 2 + 2у 2 ) = 1 – 2

Полученные значения х будем подставлять в другое ур-ние, например, в 2х 2 – у 2 = 1 (на самом деле можно выбрать любое другое из ур-ний сис-мы).

Теперь подставим х = 1:

В итоге получаем 4 решения: (– 1; – 1), (– 1; 1), (1; – 1) и (1; 1)

Ответ:(– 1; – 1), (– 1; 1), (1; – 1), (1; 1).

Порою метод сложения и метод подстановки следует использовать одновременно.

Пример. Решите систему методом сложения:

Решение: постараемся избавиться от слагаемых с буквенной частью ху. Для этого умножим второе ур-ние на (– 2):

– 2х – 2у – 2ху = 12

Сложим его с первым ур-нием:

(3х + у + 2ху) + (– 2х – 2у – 2ху) = – 6 + 12

исключить переменную не удалось, однако мы получили линейное ур-ние. Выразим из него у:

Теперь можно подставить это выражение, например, во второе ур-ние системы:

х + (х – 6) + х(х – 6) = – 6

х = 0 или х – 4 = 0

Подставим полученные результаты в выражение у = х – 6

Получили два решения: (0; – 6) и (4; – 2).

Ответ: (0; – 6) и (4; – 2).

Разложение левой части уравнения на множители

Если нельзя использовать ни метод подстановки, ни способ сложения, то могут помочь другие методы. Например, иногда в одном ур-нии справа можно оставить ноль, а слева – разложить многочлен на множители.

Пример. Решите систему:

Решение. В верхнем ур-нии можно выполнить следующие преобразования:

9х 2 – у 2 = 3х – у

(3х – у)(3х + у) = (3х – у)

(3х – у)(3х + у) – (3х – у) = 0

Можно заметить, что в левой части находится разность двух выражений, содержащих множитель (3х – у). Этот множитель можно вынести за скобки, при этом вместо второго выражения останется только единица, ведь его можно переписать как (3х – у)•1 (при умножении на единицу любое выр-ние остается неизменным):

(3х – у)(3х + у) – (3х – у)•1 = 0

(3х – у)(3х + у – 1) = 0

Вспомним, что произведение равно нулю, если один из его сомножителей нулевой. Поэтому

3х – у = 0 или 3х + у – 1 = 0

у = 3х или у = 1 – 3х

Получили два возможных варианта выражения для у. Будем подставлять их во второе ур-ние:

х = 0 или – 2х + 3 = 0

Найдем значение у, учитывая, что у = 3х:

Имеем решения (0; 0) и (1,5; 4,5). Далее рассмотрим второй случай, когда у = 1 – 3х:

х 2 + (1 – 3х) = х(1 – 3х)

х 2 + 1 – 3х = х – 3х 2

Перенося слагаемые влево, получаем квадратное ур-ние:

х 2 + 1 – 3х – х + 3х 2 = 0

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•4•1 = 0

Получаем, что у квадратного ур-ния есть лишь один корень:

Найдем соответствующее ему значение у:

Получили третье решение: (0,5; – 0,5).

Ответ: (0; 0); (1,5; 4,5);(0,5; – 0,5).

Системы ур-ний часто используются при решении геометрических задач.

Пример. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см 2 . Известно, что один из его катетов больше другого на 5 см. Каков периметр треугольника?

Решение. Традиционно катеты обозначают буквами а и b. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Отсюда следует ур-ние:

Будем считать, что катет а больше, чем b. Тогда из условия можно записать

Итак, получается система:

Очевидно, что систему можно решить подстановкой а = 5 + b

b 2 + 5b – 300 = 0

Решая это квадратное ур-ние, легко получить два значения b: 20 и (– 15). По смыслу задачи длина катета должна измеряться положительным числом, а потому b = 20. Второй катет на 5 см меньше, то есть он равен 20 – 5 = 15 см. Длину гипотенузы с можно найти по теореме Пифагора:

с 2 = а 2 + b 2 = 20 2 + 15 2 = 625

Периметр треугольника – это сумма его сторон, она равна 25 + 20 + 15 = 60 см.

Линейное неравенство с двумя переменными

Изучение неравенств с двумя переменными начнем с простейших из них – линейных неравенств. Их можно получить из линейных ур-ний, поставив вместо знака «=» один из четырех знаков сравнения.

Приведем примеры линейных неравенств с двумя переменными:

– 18,4x + 45,325y + 54,36 0

Пример. Отметьте на координатной прямой все решения неравенства с двумя переменными

Решение. Рассмотрим ур-ние

Перенеся часть слагаемых вправо, можно получить функцию

Построим ее график. Он представляет собой параболу, которая разбивает плоскость на две области:

Для определения того, выполняется ли нер-во в той или иной области, достаточно рассмотреть по одной точке в каждой из областей. Начнем с внутренней области. К ней относится начало координат, точка (0; 0). Подставив х = 0 и у = 0 в нер-во, мы увидим, что оно выполняется:

Во второй области выполняется обратное нер-во у – х 2 + 5 2 + 5 4 + 2х 2 у + у 2 > 0

Решение. Изучим ур-ние

х 4 + 2х 2 у + у 2 = 0

В левой части стоит квадрат суммы слагаемых х 2 и у:

(х 2 + у) 2 = (х 2 ) 2 + 2х 2 у + у 2 = х 4 + 2х 2 у + у 2

С учетом этого ур-ние можно переписать так:

Построим график и определим, какое нер-во выполняется в полученных областях. В области I возьмем точку (0; – 1). При ее подстановке в исходное нер-во получаем:

0 4 + 2•0 2 (– 1) + (– 1) 2 > 0

Однако и в области II выполняется то же самое нер-во. Это можно увидеть на примере точки (0; 1):

0 4 + 2•0 2 •1 + 1 2 > 0

Получается, что решениями нер-ва являются точки обеих областей. То есть надо заштриховать всю координатную плоскость, кроме самой кривой у = – х 2 , которую мы покажем из-за этого штрихпунктирной линией:

Отдельно отметим, что возможны случаи, когда график ур-ния разбивает плоскость не на две, а на большее кол-во областей. В качестве примера можно привести нер-во

Ему соответствует ур-ние ху – 5 = 0

Из него можно получить функцию у = 5/х, графиком которой является гипербола. Этот график образует 3 области. Будем действовать как и раньше – выберем из каждой области по одной точке и посмотрим, выполняется ли на нем нер-во ух – 5 > 0. Из области I возьмем точку (– 5; – 5):

ху – 5 = (– 5)•(– 5) – 5 = 25 – 5 > 0

Из II области выберем точку (5; 5):

ху – 5 = 5•5 – 5 = 20 > 0

Наконец, из III области возьмем точку (0; 0):

ху – 5 = 0•0 – 5 = 0 – 5 2 + у 2 = 9 является окружность радиусом 3, то решением первого нер-ва является круг:

Нер-во х – у > 0 является линейным. Его решением будет полуплоскость:

Теперь совместим два полученных решения. Решением системы нер-в будет пересечение заштрихованных областей. Ведь именно здесь оба нер-ва системы будут выполняться одновременно. Это пересечение представляет собой полукруг (он заштрихован квадратиками):

Пример. Постройте решение системы нер-в

Решение. Построим графики ур-ний х 2 – у = 2 и у 2 – х = 2. Первый из них будет являться параболой у = х 2 – 2. Второй же будет выглядеть, как парабола, повернутая на 90°. Это будет функция х = у 2 – 2:

В том, что мы выбрали правильную область на плоскости, можно убедиться, просто подставив одну из ее точек, в частности (0; 0), в систему:

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ПРАКТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ 9 КЛАССА ПО ТЕМЕ»УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Работа учителя математики

Ершова Елена Владимировна

Высшая категория ДНР Горловская ОШ №17

по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

I. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

1.Равенство, которое содержит две переменные называют уравнением с двумя переменными.

2.Решение уравнения с двумя переменными х и у -это упорядоченная пара ( х; у), преобразующая уравнение в верное равенство.

3.За степень целого уравнения с двумя переменными, левая часть которого –многочлен стандартного ,а правая часть –нуль, принимается степень этого многочлена (5 +4ху -7 =0-уравнение третей степени).

4.Графиком уравнения с двумя переменными х и у –это множество точек координатной плоскости с координатами ( х ;у ),где пара ( х ;у )является решением данного уравнения с двумя переменными.

5 . Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными:

-Если уравнение можно привести к виду (х-ɑ) 2 (у-b) 2 ,где ɑ,b-произвольные числа, а R0,то графиком этого уравнения будет окружность радиуса R с центром (ɑ;b).

-В других случая(если нет модуля)выражаем у через х и строим график полученной функции у = f (х )

6.Графики некоторых уравнений

— х=ɑ+ bу +с — парабола, с вершиной(с- ; ),если ɑ 0,ветки направлены вправо,ɑ0,ветки направлены влево

— |х|+|у|=1 -квадрат с центром (0;0),диагонали квадрата лежат на осях ОХ и ОY

Системы уравнений с двумя переменными .

Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение

7.Решением системы уравнений с двумя переменными называется такая пара значений переменных (х ;у ),которая является решением каждого из уравнений системы.

8.Решить систему уравнений с двумя переменными значит, найти все ее решения или доказать, что их нет.

9.Если система не имеет решений, ее называют несовместимой.

10 . Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными х и у графическим способом:

-Выполняем равносильные преобразования системы ,чтобы было удобно строить графики уравнений системы;

-строим графики каждого из уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

-находим координаты точек пересечения графиков .Эти координаты и есть решение системы.

Пример. Решим графически систему уравнений:

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

Следовательно, исходная система уравнений равносильна системе:

Графиком первого уравнения является окружность с центром и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 1.

Графиком второго уравнения является уравнение прямой, проходящей через точки и Строим окружность радиуса 5 с центром в точке и проводим прямую через точки и Эти линии пересекаются в двух точках . Значит решение системы:

Рис.1

Ответ. ;

Пример. Решим графически систему уравнений:

Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений и найдем координаты точек пересечения этих графиков. Построим на координатной плоскости окружность с центром в точке и и параболу у = х 2 +х–2 с вершиной в точке и точками пересечения графика функции и оси Графики уравнений представлены на рисунке 2. Видим, что окружность и парабола не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Рис.2

Ответ. Система не имеет решений.

11 . Алгоритм решения систем способом подстановки:

-из одного уравнения системы выразим одну переменную через другую;

-найденное значение подставим в другое уравнение системы, получив равносильное уравнение с одной переменной;

-решаем полученное уравнение и находим значение этой переменной;

-подставляем найденное значений переменной в уравнение для первой переменной, получаем значение этой переменной. Записываем ответ.

Пример.Решить систему уравнений способом подстановки:

12. Алгоритм решения систем способом сложения:

-уравняем коэффициенты возле одной переменной путем почленного умножения обоих частей уравнения на подобранные множители;

-складываем (вычитаем ) почленно уравнения системы, исключая одну переменную;

-решаем полученное уравнение с одной переменной;

-находим значение второй переменной подстановкой. Записываем ответ.

Пример. Решить систему уравнений способом сложения:

13.Схема решения задач с помощью систем уравнений с двумя переменными

а) Выделяем в условии задачи две неизвестные величины (искомые или те, из которых можно выразить искомые величины)и обозначим их буквами х и у.

б) По условию задачи составляем два уравнения с переменными х и у

в) Решаем систему этих уравнений

г) Объясняем найденные решения в соответствии с условием задачи. Записываем ответ.

14.Таблица для решения задач на движение

15.Таблица для решения задач на совместную работу 16.Таблица для решения задач на процентный состав вещества Неравенства с двумя переменными

17.Неравенство вида f( х;у )0;f(х;у)0;f(х;у)0;f(х;у)0 называют неравенством с двумя переменными (у0,5х +4-содержит две переменные).

18.Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных (х;у), которая превращает неравенство в правильное числовое неравенство.

19.Графиком неравенства с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости с координатами (х;у),где эта пара является решение данного неравенства.

20. Алгоритм решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными:

а ) Строим график функции у = f (х), который разбивает плоскость на две полуплоскости.

б) Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполняемость исходного неравенства для этой точки .Если в результате проверки получается верное числовое неравенство ,то заключаем, что данное неравенство выполняется для всей области которой принадлежит выбранная точка. Таким образом ,множество решений неравенства -область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область ,которой выбранная точка не принадлежит;

в) Если неравенство строгое, то границы области, т.е.точки графика у= f(х),не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы графика функции у= f(х),включают в множество решений и границу в таком случае изображают сплошной линией.

21. Найдем полуплоскость, определяемую неравенством .

Решение. Построим прямую .Данная прямая не проходит через начало координат. Следовательно, в качестве контрольной точки для решения неравенства целесообразно взять точку .

Подставим координаты точки в неравенство, получим неверное числовое неравенство . Следовательно, точка не принадлежит области решений неравенства. Другими словами, полуплоскость, определяемая неравенством, не содержит точку . На рисунке 1. искомая полуплоскость заштрихована.

Рис.1

В общем случае множество решений системы неравенств представляет собой ограниченную или неограниченную область плоскости , линию, точку, пустое множество.

Пример.22 Решим графически систему неравенств:

Решение. Так как , то ; так как , то . Строим прямые и (Рис.2).

Множество решений неравенства состоит из точек плоскости, лежащих под прямой , а неравенство – из точек, лежащих над прямой (Рис.2), то есть множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.

Графически решение данной системы неравенств есть пересечение полуплоскостей, не включая границу (Рис.2).

Рис.2

23. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства .

Решение. Преобразуем неравенство к виду: . Построим на координатной плоскости параболу . Парабола разбивает плоскость на две области и . : ; ; (Рис. 3).

Решением неравенства является множество точек плоскости, лежащих выше параболы и поскольку неравенство нестрогое, то в решение неравенства входит множество точек плоскости, лежащих на параболе .

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 3.

24. Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решение. , .

Геометрически, решением системы неравенств , является множество точек первого координатного угла (Рис.4).

Решением неравенства поскольку , является множество точек лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции .

Решением неравенства является множество точек, лежащих ниже прямой и на прямой, служащей графиком функции .

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 4.

25. Решим графически систему неравенств:

Решение. Построим параболу и прямую . Множество, заданное системой неравенств, состоит из точек, лежащих на параболе или под ней и одновременно на прямой или над ней.

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 5.

Рис.5 Рис.6

26. Решим графически систему двух неравенств:

Решение. Решением первого неравенства являются точки полуплоскости с границей , включая эту прямую. Решением второго неравенства является внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным , включая точки окружности, которая является границей круга.

Решением системы неравенств является множество точек координатной плоскости, ограниченное дугой окружности и прямой . Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 6.

.Симметрические системы .Метод введения новой переменной.

Симметрическая система-система, все уравнения которой симметрические. Симметрические уравнения от двух переменных х и у – уравнения, которые не изменяются при замене х на у и у на х.