Уравнения и неравенства содержащие абсолютную величину

Элективный курс по математике «Абсолютная величина»

Разделы: Математика

Основное содержание курса

Абсолютная величина числа. Основные свойства (1ч).

Определение абсолютной величины числа или модуля. Аналитическая запись определения. Геометрический смысл. Основные свойства. Историческая справка.

Основная цель – систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме “Абсолютная величина”, полученные ими в 6 и 8 классах; рассмотреть геометрический смысл абсолютной величины и основные свойства; дать историческую справку о введении термина “модуль” и “знак модуля”; рассмотреть примеры, решение которых основано на определении модуля.

Решение уравнений с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных уравнений с модулями, а также уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель – геометрическая интерпретация выражения и использование ее для решения уравнений вида ; рассмотреть решение линейных уравнений, основанных на определении модуля; решение квадратных уравнений, содержащих знак абсолютной величины, а также графическое решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Решение неравенств с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных неравенств с модулями, а также неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель – выработать умения решать линейные неравенства с модулем различными способами (используя геометрический смысл, возведение неравенства в квадрат, с помощью двойного неравенства); квадратные неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя схематический набросок графика квадратной функции, а также метод интервалов; дать представление о решении неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Метод интервалов (2ч).

Решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, методом интервалов.

Основная цель – научить школьников решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину, методом интервалов; сформулировать теорему, на которой основано отыскание интервалов знакопостоянства; нахождение нулей модуля.

Неравенства вида , , решаемые посредством равносильных переходов (2ч).

Решение неравенства вида посредством равносильных переходов к совокупности неравенств , а неравенства — к системе неравенств .

Основная цель – закрепить понятие равносильности, известное учащимся из 8 класса; сформулировать (а в “сильном” классе доказать) свойство равносильного перехода от неравенства к совокупности и от неравенства к системе .

Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств (1ч).

Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины.

Основная цель – повторить при необходимости основные свойства модуля; научить обучающихся решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины; показать графические приемы при записи ответа; расширить класс уравнений с модулем (рассмотреть уравнение с двумя переменными).

Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (1ч).

Решение линейных уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Основная цель – повторить формулу расстояния между двумя точками А(х₁) и В(х₂) координатной прямой; научить обучающихся решению уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Модуль и преобразование корней (1ч).

Применение понятия модуля при оперировании арифметическими корнями. Преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

Основная цель – выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратный корень, при которых используется модуль.

Модуль и иррациональные уравнения (2ч).

Решение иррациональных уравнений с использованием метода выделения полного квадрата или введения новой переменной.

Основная цель – повторить известное обучающимся из 8 класса определение иррациональных уравнений; показать на примерах решение иррациональных уравнений, связанных с необходимостью использования модуля.

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема	Количество часов	Форма проведения занятий	Форма контроля	Наименование образовательного продукта
1	Абсолютная величина числа. Основные свойства.	1	лекция	—	—
2 4	Решение уравнений с модулями: -с параметрами.	1 1	практикум изучение нового материала	решение контрольных заданий решение контрольных заданий проверка рабочих тетрадей	—
5 7	Решение неравенств с модулями: -с параметрами.	1 1	практикум изучение нового материала	проверка домашнего задания ответы на вопросы проверка рабочих тетрадей	—
8 9	Метод интервалов.	1 1	комбинированный урок урок-соревнование	ответы на вопросы урок взаимопроверки	—
10 11	Решение неравенств вида , , решаемые посредством равносильных переходов.	1 1	изучение нового материала закрепление изученного материала	проверка конспектов математический диктант	—
12	Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.	1	обобщение и систематизация знаний	устный опрос	—
13	Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.	1	обобщение и систематизация знаний	самостоятельная работа	—
14	Модуль и преобразование корней.	1	практикум	работа в группах	—
15 16	Модуль и иррациональные уравнения.	1 1	проверка и коррекция ЗУН консультация	домашняя контрольная работа ответы на вопросы	—
17	Зачет.	1	контрольная или тестовая работа	—	составление опорного конспекта

Список литературы для учителя

• Голубев В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих ВУЗов страны).- Львов: Квантор, 1991.
• Голубев В. Эффективные методы решения задач по теме “Абсолютная величина”.- М.: Чистые пруды, 2006.
• Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике.- М.: 5 за знания, 2006.
• Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике “Выпускной, вступительный, ЕГЭ на 5+”.- М.: ВАКО, 2006.
• Смыкалова Е.В. Математика (модули, параметры, многочлены), предпрофильная подготовка, 8-9 кл.- Санкт-Петербург: СМИО-Пресс, 2006.

Список литературы для обучающихся

• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1988.
• Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по Математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1973.
• Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа,1974.
• Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной сложности по алгебре и началам анализа.- М.: Просвещение, 1990.
• Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издательство “Наука”, главная редакция физико-математической литературы.- М.: Наука, 1975.
• Круликовский Н.Н. Математические задачи для абтуриентов.- Томск: изд. Томского Университета, 1973.
• Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике.- М.: Наука, 1986.
• Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов, Москва, “Дрофа”, 1995.

Методические материалы

Занятие №1: Определение абсолютной величины числа (модуля числа), его геометрический смысл и основные свойства.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Модуль числа а обозначается так:. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения:

=

Модулем числа называется также расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. В этом состоит геометрический смысл модуля. Т.о. используются термины “модуль”, “абсолютная величина” или “абсолютное значение” числа. В соответствии с приведенным определением = 5, = 3, =0. Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и – а.

Историческая справка: термин “модуль” (от лат.modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (1682—1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897), в 1841 г.

Основные свойства модуля:

1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: 0.
2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. —а.
3. Если число a 0 и для числа х справедливо одно из неравенств ха или х-а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству а. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству а, удовлетворяет одному из неравенств ха или х-а.
4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству -аха, то модуль числа х удовлетворяет неравенству а. Если а, то справедливо неравенство:-аха.
5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: +,
6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел —.
7. Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: =.
8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: =:.
9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: n = причем если п=2к – четное число, то 2к =а 2к .
10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: =p(а,в). Из этого свойства следует важное равенство: =. В частности, =.
11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю.
12. Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: .
13. Квадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: =.

Рассмотрим примеры, решение которых основано на определении модуля.

№ 1. Решить уравнение =4.

По определению модуля; х=4 или х =-4.

№ 2. Решить уравнение: =3.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

№ 3. Решить уравнение: =-2.

По свойству 1: модуль любого действительного числа есть число неотрицательное, делаем вывод, что решения нет.

№ 4. Решить уравнение: =х–5.

По этому же свойству 1: х–50, х5.

№ 5. Решить уравнение: +х=0.

=- х, х0.

№ 6. Решить уравнение: =х+2.

В отличие от предыдущего примера в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что х +20,т.е. х-2. Тогда имеем:

Т.о. при х -2, имеем:

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

1. =х–3,
2. =х+2,
3. =,
4. -2=3,
5. 2=3х+1,
6. +х=9,
7. х+ =11,
8. + х+2=6,
9. х–4-=-2,
10. –=3,
11. +х+3=,
12. —=6х–1,
13. +3х=–18,
14. ++3х=2.

Занятие №2. Решение линейных уравнений с модулями.

При решении линейных уравнений используется или геометрический смысл модуля числа или раскрытие знака модуля. Рассмотрим на примере: решить уравнение

+ = 7.

а) Используем геометрический смысл модуля числа. Запишем уравнение в виде: +=7. Тогда d=х–5 — расстояние от точки х до точки 5 на числовой прямой, f =х–(-2) — расстояние от точки х до точки (-2) .По условию задачи сумма этих расстояний d+f=7. Нанесем точки 5 и -2 на числовую прямую. Легко проверить, что для любого числа из отрезка [-2;5] сумма расстояний d+f равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х 5 сумма расстояний d+f>7. Поэтому решением уравнения является интервал .

б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.

В интервале 1 (х 5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7, откуда х=5. Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.

Итак, решение данного уравнения: -2х5.

Упражнения для самостоятельной работы:

№1. х=+,

№2. ++=2,

№3. +—=2х+4,

№4. ++=11,

№5. -2=0.

Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.

Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:

№1. Решить уравнение

х 2 -6+8=0.

Введем замену =у, тогда при у 0 уравнение принимает вид:

№2. Решить уравнение:

+ = 0.

Уравнение равносильно системе: Откуда х=1.

№3. Решить уравнение:

= 2х – 1.

Уравнение имеет решение при условии, что 2х–10, а равенство возможно при условии: значения выражений х 2 +х–1 и 2х–1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: х0,5. Составим уравнения: х 2 +х–1=2х–1 или х 2 +х–1=-(2х–1); решая которые, получим

Ответ: .

№4. Найти корни уравнения: _.

Представим данное уравнение в виде: = х 2 – 1, откуда:

х 2 – 1,

или х – 1 = — (х 2 – 1).

х 2 – 1 при х — 1 и х 1.Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1, из второго: х=-2 и х=1.

№5. Найти целые корни уравнения: = .

Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х 2 –1 и 2х+3–х 2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.

№6. Решить уравнение: =2х 2 –3х+1.

Обозначим выражение 3х-1-2х 2 буквой а. Тогда данное уравнение примет вид: =-а. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х 2 0, решая которое, получим ответ: х0,5 и х1.

Упражнения для самостоятельной работы.

№1.=х 2 + х–20.

№2. + 3х -5=0,

№3. =(х–1)(х+1),

№4. х 2 –6+5=0,

№5. х 2 +8=9,

№6.=х 2 –6х+6,

№7. х =-8.

Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром

3–х=.

Построим графики функций у=3–х и у=. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у=получается из графика фукции у=, зависит от параметра а. Поэтому рассмотрим 3 случая:

Этот случай, как видно из рисунка, будет при а 0 , проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д х =(а + 3)/2.

Этот случай имеет место при а=3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х 3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы:

№1.=а,

№2. а=3,

№3. (а–2)=а–2,

№4. а 2 х 2 +а=0.

Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:

>4.

Первый способ: Имеем: >4,

>4,

>2.

Геометрически выражение означает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, — это точки из промежутков х 4,5.

Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат: 2 >4 2 .

Применив метод интервалов, получим: х 4,5.

Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №2.Решить неравенство: 2,

№3. —>-2.

Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.

Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: +х–2 2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х1; х2.

из второго: 2х 2 –5х+20, или 0,5х2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.

Т.о. 0,5х1 и х=2. Это решение первой системы.

Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1 2 -3х+2)2х–х 2 , или – х 2 +3х–2–2х+ х 2 0, или х2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1 2 -3+2>0,

№5. х 2 -х 2 -6х+7- 2 –7>0,

№8. >.

Занятие № 7. Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах 2 +4+а+3 2 +4х+а+3 2 -12а 2 +3а-4>0; а 1;

абсцисса вершины параболы х₀=-в/2а=- 4/2а=-2/а 0, откуда а 2 –4х+а+3 -а,

№2. (х–а) 2 >2+5 не имеет решений?

Занятия №8 — 9. Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения

—+3-2=х+2.

Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.

Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений

х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:

Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:

Последняя совокупность приводится к виду:

Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; х2.

Использованный прием называется методом интервалов. Он применяется и при решении неравенств.

Решить неравенство: +х–2 2 -3х.

2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х 2 -3х на каждом интервале:

3) Раскроем модуль:

Решение первой системы: , решение второй . Решение данного неравенства: .

Упражнения для самостоятельной работы:

№1

№2

№3

Занятие №10 — 11. Решение неравенств вида , посредством равносильных переходов.

Рассмотрим неравенства вида и . Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств а неравенство равносильно совокупности неравенств

Рассмотрим пример: решить неравенство:>х+2.

Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:

Система и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х.

Упражнения для самостоятельной работы:

№1. х+3,

№4. 3 -1)(2–х 3 )0, решением которого является числовой отрезок

Пример №2. Решите систему уравнений:

Заметим, что Следовательно, по свойству 5 ху0, т.е. х и у принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:

или

Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, (0,5; 0,5), (1/6; 5/6).Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна – 1. Например, (0,8;-0,2).

Пример №3.Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел а, в, с, d отлично от нуля.

Ответ:

Пример №4. Дано: 0, в0 получим:

№2. Вычислите значение выражения:

А= при х=0,5, где а>0, в>0.

1) Преобразуем выражение для х:

х=0,5=.

2) Вычислим значение корня:

.

3) Вычислим значение знаменателя:

.

4) Вычислим значение выражения А:

А=

Упражнения для самостоятельной работы:

№1.

№2. ;

№3. ;

№4.

Занятие № 15-16. Модуль и иррациональные уравнения.

Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении иррациональных уравнений.

Решите уравнение: +=1.

Обозначим через у, где у 0.

Тогда х+1=у 2 ; х+5=у 2 +4; х+10=у 2 +9.

Данное уравнение примет вид:

или , решая которое методом интервалов получим совокупность:

или

Т.о., 2у3, т.е. 23, откуда х принадлежат отрезку [3;8].

Упражнения для самостоятельной работы:

При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используйте модуль.

№1. х 2 —5—6=0,

№2. =10,

№3.

В качестве домашнего задания обучающимся можно предложить домашнюю контрольную работу. Приведем примерный вариант такой работы:

№1. Решите уравнение:

а) =2(3-х);

б)

№2. Решите неравенство:

а)

б)

№3. Упростить выражение:

а)

б)

№4. Решите уравнение:

а)

б)

№5. Решите систему уравнений:

Занятие №17. Зачет.

Зачетное мероприятие возможно в виде контрольной или тестовой работы, возможны также и другие, даже комбинированные, формы диагностики. В качестве зачетных предлагаются задания из разделов “Задания для самостоятельной работы” или подобные им. Большая подборка таких заданий в учебном пособии для учащихся 8-9 классов Е.В.Смыкаловой “Модули, параметры, многочлены”, издательство “СМИО Пресс”, г. Санкт — Петербург, 2006.

Для определения рейтинга данного элективного курса возможно проведение анкетирования (см. приложение).

Решение уравнений и неравенств содержащих знак абсолютной величины

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Занятия 1,2,3 элективного курса в 10 классе по теме «Решение уравнений, неравенств, построение графиков, содержащих знак абсолютной величены».

Подготовила и провела учитель математики МБОУ Косицынская СОШ Мудрая Антонина Константиновна.

Тема: Уравнения, неравенства, функции, содержащие знак абсолютной величины.

Цель: научиться решать более сложные уравнения, неравенства, содержащие знак модуля, а так же уметь строить графики любой сложности с модулем.

Занятие 1 «Решение уравнений»

1. Изучение теоретического материала.

Первое знакомство с определением модуля произошло в 6 классе.

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

Т.е. расстояние ОА равно2, и расстояние ОВ равно 2, то =2; =2.

Второе знакомство с понятием модуля было в 9 классе, т.е. решение уравнений вида

= с, где a , b и c – некоторые числа.

a , a >0

И решение с использованием определения = — a , a

т.е. 2 x + 1 = 3 и 2 x + 1 = -3

2 x + 1 > 0 2 x + 1

2 x = 2 2 x = -4

x = 1 x = -2

x > — x —

Ответ: x 1 = 1, x 2 = -2.

Более углубленное изучение темы « Решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины» проходит на уроках элективного курса в 10 классе.

При решении уравнений, содержащих переменные под знаком модуля (абсолютной величины), чаще всего применяют следующие методы:

1. Раскрытие модуля на основании его определения:

2. Возведение обеих частей в квадрат;

3. Метод разбиения на промежутки (метод интервалов).

Решение уравнений 1 способом рассматривалось на уроках алгебры в 9 классе.

а) 5 x – 2 > 0 б) 5x – 2

5x – 2 = 8 5x – 2 = -8

Из системы а) находим x 1 = 2;

а из системы б) находим x 2 = -1,2

2 способ:

Возведем обе части в квадрат:

Получим равносильное уравнение: = 64

Решая его, найдем x 1 = 2, x 2 = -1,2

Ответ: x 1 = 2, x 2 = -1,2

Пример 2: Уравнение вида удобнее рассмотреть вторым способом (возведение обеих частей в квадрат).

(5x – 2 + x + 10) (5x – 2 – x – 10) = 0

(6x + 8) (4x – 12) = 0

Решить самостоятельно следующие уравнения:

1) (первым способом)

2) (первым способом)

3) (первым способом)

4) (вторым способом)

5) (первым способом)

Сделали вывод , что проще решать первым способом, что не каждое уравнение можно решить вторым способом. Но есть и такие, которые сложно решить и первым и вторым способом.

Например, если уравнение имеет вид:

где … — некоторые функции.

Решать такие уравнения предыдущим способом очень громоздко,

поэтому уравнения такого вида проще решать методом интервалов.

3 x – 8 =0 3x – 2 = 0

Таким образом, данное уравнение (1) равносильно совокупности трех систем:

-(3x – 8) + (3x – 2) = 6 -(3x – 8) — (3x – 2) = 6 (3x – 8) — (3x – 2) = 6

6 = 6 -6x = -4 -6 = 6

Решением первой системы являются все числа из промежутка

Вторая и третья система решений не имеют.

Решить самостоятельно следующие уравнения:

2)

Занятие 2 «Решение неравенств»

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются, в зависимости от типа, разными способами. Обычный путь решения неравенств с модулем состоит в следующем:

Неравенство вида, равносильно двойному неравенству

или системе а≤ b

Например: | x | ≤ 2

Неравенство вида равносильно объединению неравенств

Рассмотрим способы решения неравенства:

x – 2 ≥ 0 x – 2 x – 2|

x – 2 x – 2 > -3 неотрицательны, то = >

x ≥ 2 x

x x > -1

x 2 = 2 – 3 = -1

Заметим, что геометрически | x – 2| можно рассмотреть на числовой прямой между точками x и 2. Следовательно, нам нужно найти все такие точки x , которые находятся от точки с координатой 2 меньше чем на 3 единицы.

Решить самостоятельно неравенства:

1) |4 x – 3| ≤ |2 x + 3| — способ возведения обеих частей в квадрат.

2) — способ возведения обеих частей в квадрат + метод интервалов.

3) — применение определения

а) x ² — 4 x + 3 ≥ 0 б) x ² — 4 x + 3

x ² — 4 x + 3 ≥ 0 x ² — 4 x + 3

x ² — 4 x + 3 ≤ 3 x — x ² x ² — 4 x + 3 ≥ x ² — 3 x

(2 x ² — 7 x + 3 ≤ 0) (- x + 3 ≥ 0)

Точки -1 и 2 разбивают числовую прямую на три промежутка:

Определим знаки на каждом промежутке для каждого выражения, стоящего под знаком модуля:

Составим три системы и решим их:

1) x ≤ x ≤ 2 3) x >2

Решений нет -1 ≤ x 2

Занятие 3. «Построение графиков»

При построении графиков функций, содержащих знак модуля, были рассмотрены знакомые из курса алгебры функции:

3) Функции обратной пропорциональности.

4) Функции, нуждающиеся в преобразовании.

x, x ≥ 0

2)

3)

y = 1, x > 0

6) y = | x | + 1

график y = | x | + 1 получен из графика функции y = | x |; поднимается вверх на 1 единицу.

7) y = | x + 1| — смещение графика функции y = | x | вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево.

8) y = | x + 1| + | x – 1| — можно использовать метод интервалов, рассмотрим три графика на трех промежутках:

x ≤ -1 -1 x ≤ 1 x >1

y = -2 x y = 2 y = 2 x

9) y = x ² — 5| x | + 4

y = x² — 5x + 4 y = x² +5x + 4

n = 6,25 – 12,5 + 4 = — 2,25

x² — 5x + 4 ≥ 0 x² — 5x + 4

y = x² — 5x + 4 y = -x² + 5x — 4

11) | x | + | y | = 4 12) | x | — | y | = 4

Рассмотрим значения x и y по четвертям:

І четверть: x > 0 x + y = 4

І V четверть: x > 0

y y = x – 4

12) ) | x | — | y | = 4 решить самостоятельно.

Выполнить презентацию следующих проектов:

Проект 1. «Тюльпан».

1) y = | x | + | x + 1| при -2 ≤ x ≤ 1 ;

2) y = -2 |x – 0,5| + 4 при 0 ≤ x ≤ 1 ;

3) y = -2 |x + 0,5| + 4 при -1 ≤ x ≤ 0 ;

4) y = -2 |x + 1,5| + 4 при -2 ≤ x ≤ -1.

Проект 2. « Человечек».

1) y² + x² = 36 ;

2) y = 3 при -3 ≤ x ≤ -1 и 1 ≤ x ≤ 3 ;

3) y = 1/2x² — 4 при -2 ≤ x ≤ 2 ;

4) |y| = 1 при -1 ≤ x ≤ 1 ;

5) |x| = 1 при -1 ≤ y ≤ 1;

6) |y| = 14 – x при 7 ≤ x ≤ 9 ;

7) |y| = x при 4 ≤ x ≤ 7 ;

8) |y| = x + 14 при -9 ≤ x ≤ -7 ;

9) |y| = -x при -7 ≤ x ≥ -4 ;

10) y = -x² + 10 при -2 ≤ x ≤ 2 ;

11) y = 6 при -3 ≤ x ≤ 3.

Проект 3. «Лицо».

1) y = 1/4 x ² — 5 при -6 ≤ x ≤ 6;

2) y = 1/4x² — 3 при -2 ≤ x ≤ 2;

3) y = -x² + 2 при -1 ≤ x ≤ 1;

4) y = 1/3(x + 3)² + 2 при -5 ≤ x ≤ -1;

5) y = 1/5(x – 3)² + 2 при 1 ≤ x ≤ 5;

6) y = 1/5(x + 3)² + 4 при -5 ≤ x ≥ -1;

7) y = -1/5(x – 3)² + 4 при 1 ≤ x ≤ 5;

9) (x – 3)² + (y – 3)² = 1;

10) y = -1/5(x + 3)² +5 при -5 ≤ x ≤ -1;

11) y = -1/5(x – 3)² + 5 при 1 ≤ x ≤ 5 ;

12) y = -15x² + 10 при -6 ≤ x ≤ 6.

1) y = 0,2 x ² — 6 при -4 ≤ x ≤ 7;

2) y = 0,5x² — 3 при -2 ≤ x ≤ 3;

3) y = -(x + 1)² -7 при -2 ≤ x ≤ 0;

4) y = -(x – 1)² — 7 при 0 ≤ x ≤ 2;

5) y = -(x + 5)² -2 при -7 ≤ x ≤ -4;

6) y = (x + 6)² — 6 при -7 ≤ x ≤ -4;

7) |x| = 2 при -8 ≤ y ≤ -5,7 ;

8) y = 7/11x – 5/11 при -4 ≤ x ≤ 7.

На этом работа по теме «Модули» не заканчивается, много интересных заданий и проектов нас ждет в 11 классе.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 120 человек из 43 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 236 человек из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 354 человека из 64 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 278 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 05.01.2021
• 171
• 0

• 05.01.2021
• 726
• 1

• 05.01.2021
• 743
• 53

• 05.01.2021
• 439
• 4

• 05.01.2021
• 281
• 7

• 05.01.2021
• 213
• 0

• 05.01.2021
• 499
• 2

• 05.01.2021
• 303
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.08.2020 210
• DOCX 2 мбайт
• 7 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Смирнова Ирина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 24453
• Всего материалов: 229

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Неравенства, содержащие знак абсолютной величины. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемЗоя Бутримова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Неравенства, содержащие знак абсолютной величины.» — Транскрипт:

1 Неравенства, содержащие знак абсолютной величины

2 Выполнила учитель математики МОУ Тимирязевская оош Дудкина Елена Петровна

3 При решении неравенств, содержащих знак абсолютной величины (знак модуля), следует разбить область допустимых значений неравенства на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве решать неравенство и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

4 Неравенства вида f(|x|) ˂ g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции, равносильно совокупности двух систем f(x) ˂ g(x) f(-x) ˂ g(x) х 0 х ˂ 0

5 Неравенство вида |f(x)| ˂ g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции, равносильно системе f(x) ˂ g(x) -f(x) ˂ g(x) Для тех х, при которых g(x)0, эта система, а значит, и данное неравенство решений не имеют. В частности, неравенство |f(x)| ˂ a при а 0 решений не имеет, а при а ˃ 0 оно равносильно системе f(x) ˂ a -f(x) ˂ a

6 Неравенства вида |f(x)| ˃ g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции, равносильно совокупности двух неравенств: f(x) ˃ g(x) f(x) ˂ -g(x) Все те х из ОДЗ неравенства, для которых g(x) ˂ 0, входят в множество решений неравенства и равносильной ему совокупности. В частности неравенство |f(x)| ˃ a равносильно совокупности f(x) ˃ a f(x) ˂ -a Если а ˂ 0, то неравенство |f(x)| ˃ a выполняется при любом допустимом значении х данного неравенства.

7 Неравенства вида |f(x)| ˂ g(x) Можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности двух систем |f(x)| ˂ g(x) |f(-x)| ˂ g(x) x0 x ˂ 0 А также равносильно системе неравенств f(|x|) ˂ g(x) f(|x|) ˃ -g(x). Выбор способа решения зависит от конкретного неравенства и от сложности функций f и g.

8 Неравенство вида |f(|x|)| ˃ g(x) можно решать двумя способами; оно равносильно совокупности неравенств f(|x|) ˃ g(x) f(|x|) ˂ -g(x) Также равносильно совокупности двух систем |f(x)| ˃ g(x) |f(-x)| ˃ -g(x) x0 x ˂ 0

9 Неравенство вида |f(x)||g(x)| решается при помощи разбиения области его допустимых значений на промежутки, каждый из которых является промежутком знакопостоянства как функции f(x), так и функции g(x). Затем на каждом из этих промежутков решается неравенство без знака абсолютной величины. Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ исходного неравенства, получаем множество всех его решений.

10 Неравенство вида h(x,|f(x)|) ˂ g(x) равносильно совокупности двух систем h(x,f(x)) ˂ g(x) h(x,-f(x)) ˂ g(x) f(x)0 f(x) ˂ 0. аналогично совершается переход к равносильным совокупностям систем и для неравенств вида h(x,|f(x)|) ˃ g(x) h(x,|f(x)|)g(x)