Уравнения и неравенства содержащие переменную

Уравнения и неравенства, содержащие переменные под знаком модуля

Уравнениями с модулем называются уравнения, которые содержат переменную под знаком модуля (абсолютной величины).

При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно:

\(1)\left| \right| = f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \ge 0\quad \quad 2) \left| \right| = — f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \le 0\) .

Простейшие уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуля:

• \(1)\;\left| \right| = k\; \Rightarrow \;f(x) = \pm k\;(k > 0);\\ 2)\;\left| \right| = 0\; \Rightarrow \;f(x) = 0;\\ 3)\;\left| \right| = k\; \Rightarrow \;x \in \emptyset \;(k
• \(\left| \right| + af<>^2(x) = k\; \Rightarrow \;\left| \right| + a\left| \right|^2 = k.\\Замена:\;y = \;\left| \right| \Rightarrow \;y + ay^2 = k.\)
• \(\left| \right| = \left| \right|\;\; \Rightarrow \;f^2 (x) = g^2 (x).\)
• \(\left| \right| = \left| \right| \Leftrightarrow \left[ \beginf(x) = g(x); \\ f(x) = — g(x). \\ \end \right.\)
• \(\left| \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \beging(x) \ge 0, \\ \left[ \beginf(x) = g(x) \\ f(x) = — g(x). \\ \end \right. \\ \end \right.\)

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют и такие методы:

1. раскрытие модуля по определению;
2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;
3. метод интервалов.

Пример 1. Решить уравнение: \(|x+1|+|x-5|=20\) .

Решение: Будем решать это уравнение методом интервалов. Найдем значения, которые обнуляют модули: \(|x+1|=0 \Rightarrow x=-1; \ \ x-5=0 \Rightarrow x=5\) . Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \((-\infty;-1]; (-1;5];(5;+\infty)\) . Решим уравнение на каждом из этих промежутков.

1. \(x\in(-\infty;-1]\) . На этом промежутке \(|x+1|=-x-1; \ |x-5|=-x+5\) и уравнение примет вид:

\(-x-1-x+5=20 \Rightarrow \ -2x=16 \Rightarrow x=-8\) . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку, поэтому \(x=-8\) является корнем исходного уравнения.

2. \(x\in(-1;5]\) . На этом промежутке \(|x+1|=x+1; \ |x-5|=-x+5\) и уравнение примет вид:

\(x+1-x+5=20 \Rightarrow 0\cdot x=14 \Rightarrow x\in \varnothing\) . На рассматриваемом промежутке решений нет.

3. \(x\in(5;+\infty)\) . На этом интервале \(|x+1|=x+1; \ |x-5|=x-5\) и уравнение принимает вид:

\(x+1+x-5=20 \Rightarrow 2x=24 \Rightarrow x=12\) .

Этот корень принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому \(x=12\) является корнем исходного уравнения.

Ответ: \(x_1=-8, \ x_2=12\) .

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем, нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Решение неравенства, содержащего абсолютную величину, основано на переходе к равносильной системе неравенств, в которых абсолютная величина не содержится:

• \(\left| \right| \le a \Leftrightarrow \left\< \beginf(x) \le a; \\ f(x) \ge — a. \\ \end \right.\)
• \(\left| \right| — a. \\ \end \right.\)
• \(\left| \right| \ge a \Leftrightarrow \left[ \beginf(x) \ge a; \\ f(x) \le — a. \\ \end \right.\)
• \(\left| \right| > a \Leftrightarrow \left\< \beginf(x) > a; \\ f(x)
• \(\left| \right| \le g(x) \Leftrightarrow \left\< \beginf(x) \le g(x); \\ f(x) \ge — g(x). \\ \end \right.\)
• \(\left| \right| \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \beginf(x) \ge g(x), \\ f(x) \le — g(x). \\ \end \right.\)

Пример 2. Решить неравенство: \(|x + 5| + |2x – 3| .

Решение: Корни подмодульных выражений: \(x = -5 \ и \ x = 1,5\) . Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах.

Последовательно решим три системы неравенств:

1. \(\begin x -4 \\ \end \) интервалы не пересекаются, решений нет.

2. \( \(\begin -5\le x -2 \\ \end \Rightarrow -2\)

Объединим найденные решения: \(–2; \(8 \over 3\) )

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Неравенства с переменными, их частные и общее решение

Неравенства, содержащие переменную, занимают основную долю в общем объеме изучения темы «Неравенства» школьной программы математики и алгебры. Данная статья содержит базовый материал: определение понятия неравенства с переменными и их решений, способ записи решений неравенств. Также для наглядности приведем решение практических задач.

Определение неравенств с переменными

Числовые неравенства мы разобрали в соответствующей статье, выяснив что числовыми неравенствами являются два числовых выражения, между которыми располагается какой-либо из знаков неравенства. Заменив хотя бы одно из числовых выражений выражением с переменной, мы получим неравенство с переменными. Такое определение дано по виду записи подобных неравенств. Выделяют неравенства с одной, двумя, тремя и большим количеством переменных по числу переменных, использующихся в записи неравенства.

Неравенства с одной переменной

Неравенство с одной переменной – это неравенство, в записи которого используется одна переменная.

К примеру, k 7 – неравенство с одной переменной k ; 8 ≥ d 2 – 3 – неравенство с одной переменной d . При этом возможно, что переменная будет участвовать в записи несколько раз, например:

( ( 2 · x — 5 · t 2 ) · ( t — 1 ) 1 t или t — 1 + 4 ≥ 1 t — t 3 t + 3

Неравенства с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными – это неравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

Например, m 3 + 1 5 · n 2 > 13 – неравенство с двумя переменными m и n ;

( f + 2 · g ) 3 7 + 3 7 — f f 2 + 1 – неравенство с двумя переменными f и g .

По записи неравенства с двумя переменными схожи с неравенствами с параметром и одной переменной. Но тогда, как правило, в условиях всегда указывается, какие буквы служат обозначением параметров, поэтому вопрос о том, сколько переменных в заданном неравенстве, обычно не возникает.

Неравенства с тремя или больше переменными

Неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными – это неравенства, в записи которых используются три, четыре и т.д. переменных.

В школьной программе подобные неравенства встречаются редко, но тем не менее существуют. Например, шар, радиус которого равен 2 и центр которого совпадает с началом координат, возможно определить неравенством с тремя переменными: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .

Решения неравенства: частное, общее и простое решение

Решение неравенства с одной переменной – такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

В качестве примера возьмем простое неравенство вида y > 9 . Пусть y = 13 . Подставим это значение в исходное неравенство и получим числовое неравенство 13 > 9 . Оно является верным, а значит 13 является решением исходного неравенства y > 9 . А вот число y = 5 не станет решением данного неравенства, поскольку, подставив такое значение переменной, мы получим неверное числовое неравенство: 5 > 9 .

Логичным следствием является вопрос о возможном количестве решений конкретного неравенства. Отметим, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное количество решений или иметь бесконечно много решений. Мы рассмотрим это утверждение, имеющее большую значимость в практике, более детально в изучении самого процесса нахождения решений неравенств.

• неравенство может не иметь решений. К примеру: z 2 — 2 . В самом деле, при любом действительном значении переменной z , мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше — 2 .
• неравенство может иметь лишь одно решение. Например, неравенство f = 1 ≤ 0 имеет решение f = 1 , и оно единственно;
• неравенство может иметь конечное количество решений: три, шесть и т.п. Как пример, рассмотрим неравенство | x 2 — 1 | ≤ 0 , решений которого существует ровно два: 1 и — 1 ;
• неравенство может иметь бесконечно много решений. Например: t > 5 . Решением данного неравенства станет любое действительное число, большее 5 : 13 , 87 , 601 , 8 2 5 и т.п.

Все вышесказанное верно и для неравенств с двумя, тремя и более переменными.

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений заданных переменных, при которых исходное неравенство с переменными преобразуется в верное числовое неравенство.

В качестве примера рассмотрим неравенство с двумя переменными y и z : y + 1 > 2 · z . Пара значений переменных y и z : 1 и 0 соответственно, являются решением заданного неравенства, поскольку подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 + 1 > 2 · 0 . В то же время пара значений y = 2 , z = 4 не будет служить решением исходного неравенства: их подстановка создаст неверное числовое неравенство 2 + 1 > 2 · 4 .

Пара значений переменных зачастую записывается в скобках наподобие координат точек в прямоугольной системе координат. Например, для вышеуказанного примера решение запишется так: ( 1 , 0 ) .

Все вышесказанное верно и для неравенств с большим количеством переменных.

Решение неравенства с тремя, четырьмя и более переменными – это тройка, четверка и т.п. значений заданных переменных, при которых исходное неравенство преобразуется в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим неравенство с четырьмя переменными a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 36 . Четверка значений этих переменных, такие как: a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 , являются решением исходного неравенства, поскольку, подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ≤ 36 .

Также рассмотрим такие понятия как «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Частное решение неравенства – это некоторое отдельно взятое решение исходного неравенства.

К примеру, 17 – частное решение неравенства m 101 . Еще одним частным решением указанного неравенства будет число 7 .

Общее решение неравенства – множество всех частных решений исходного неравенства.

Рассмотрим на том же примере: m 101 . Общим решением этого неравенства будет множество чисел, меньших 101 .

Несмотря на частоту использования указанной терминологии, все же намного чаще применяют понятие решения неравенства без неких уточнений, наделяя при этом смыслом общего решения. В случае, когда необходимо определить отдельное решение, в исходном задании так и указывают.

Способ записи общего решения неравенства

Навык записи общего решения неравенства нужен для формирования ответа при решении задач. Сначала разберем принятые правила записи на примере решений неравенств с одной переменной.

Напомним, что решение неравенства с одной переменной – это либо число, либо множество чисел, т.е. числовое множество.

Когда равенство не имеет решений, пишут буквально – «нет решений», либо применяют знак пустого множества ∅ .

Когда общее решение – одно число, так его и записывают: 2 , — 1 , 15 ли 8 17 . А также можно заключить его в фигурные скобки.

Когда общее решение – несколько чисел (при этом их немного), нужно либо записать их по очереди, отделив запятой или точкой с запятой, либо – через запятую, заключив в фигурные скобки. Например: 6 , 12 , 4 5 или < 6 , 12 , 4 5 >.

Наконец, когда общее решение включает в себя бесконечно много решений, то применяют общепринятые обозначения множеств натуральных чисел ( N ) , целых чисел ( N ) , рациональных чисел ( Q ) , действительных чисел ( R ) , а также числовых промежутков, множеств отдельных чисел и т.п. В практике чаще встречаются простейшие неравенства и числовые промежутки. Пусть, решением некоторого неравенства станут: число 3 , полуинтервал ( 5 ; 9 ] и луч [ 13 ; + ∞ ) , тогда ответ запишется так: 3 , ( 5 , 9 ] , [ 13 , + ∞ ) , или: 3 ꓴ ( 5 , 9 ] ꓴ [ 13 , + ∞ ) , или: x = 3 , 5 x ≤ 9 , x ≥ 13 .

Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, d – любое целое число, s равно 0 или 1 , t = — 3 , m = 17 .

Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: 2 · х — у ≥ 5 ; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: у = 2 · х — 5 .

Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.