Уравнения и система уравнений в школьном курсе

Уравнения в курсе математики средней школы»
методическая разработка по алгебре по теме

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/

Скачать:

Предварительный просмотр:

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

Четина Таисия Филипповна

МОУ «СОШ № 64» города Перми

1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………. 5

1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5

1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….…. 9

1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9

1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9

2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

2.2 Разложение на множители………………………………………14

2.3 Линейные уравнения с двумя переменными…………………. 15

2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17

2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21

2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26

2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27

3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29

3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32

3.3 Показательные уравнения……………………………………….34

3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35

3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38

3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов : слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу : « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

Добавили – 20 слив.

Записываем решение задачи:

Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим и решим уравнение.

Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах  вх)∙с=d, (ах  вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать . Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

Например , дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

При изучении темы «Проценты » обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач :

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4

Девочек – 40% — 20 чел.

Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего : 100% — 220 км.

1 день: ? % — 33 км.

Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

х=15; 15% пройдено в первый день.

Эти задачи решаем и по действиям.

К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.

1.3 После изучения темы «Модуль » мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10

х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ

Ответ:  5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ

Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ

х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ

1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ах  b)(сх  d)=0 , то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Обучение общему приёму решения систем уравнений

Разделы: Математика

В настоящее время образовательные стандарты стали все больше обращаться к компетенциям как к ведущему критерию подготовленности учащихся к эффективной деятельности в определенной сфере. Одна из компетенций – умение ориентироваться в информации, умение ее получать, анализировать и т.д., т.е. учащиеся должны владеть определенными общими приемами деятельности. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс) мы рассмотрим один из таких приемов, касающийся анализа данной системы и построения (выбора) способа ее решения в зависимости от ее вида. При этом закладывается такое важное качество знаний, которое называется обобщенностью.

Основные общие методы решения систем уравнений отрабатываются в средней школе при изучении темы “Системы линейных уравнений” в 7-ом классе. Это метод подстановки, метод сложения, уравнивания коэффициентов. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс по учебнику С.М. Никольского и др.) обычно предполагается тренировка тех же методов на системах другого вида и иногда введение дополнительных общих методов решения систем. В реальной практике, когда ученик сталкивается с системой уравнений, ему необходимо самому сориентироваться и выбрать способ ее решения, но анализ учебных пособий показал, что в них процесс анализа системы и выбора способа решения не делается предметом специального усвоения, а лишь тренируется умение применять изученный метод к данной системе. В итоге учащиеся не всегда владеют полной системой знаний и умений, ориентируясь на которые можно выбрать (построить) адекватный, наиболее эффективный способ решения заданной системы. Нами была сделана попытка формирования такой системы знаний и умений. Ведь решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и пр. явлений и процессов.

Покажем на примере нескольких уроков для 8-го класса, каким образом мы планируем организовать совместную деятельность учащихся и учителя по выделению содержания названного умения на первом этапе. Так как одним из компонентов является анализ заданной системы на наличие решений, то один из первых уроков посвятим именно этому вопросу. Затем попытаемся выделить общий прием решения систем уравнений и связать с известными школьникам методами. Для этого нами разработаны рекомендации и специальная система заданий. Принципы построения системы заданий для первого этапа обучения следующие:

– порядок заданий фиксирован, он выполняет направляющую функцию, позволяя школьникам вместе с учителем выстроить ориентировочную основу деятельности по решению произвольной системы рациональных уравнений и создать в итоге схему ее решения,

– каждая следующая система связана с предыдущими заданиями и рассуждениями, но содержит в себе одну или несколько новых важных идей, логично развивающих тему,

– переменные в системах варьируются: не всегда привычные x и y (ведь при моделировании системами уравнений реальных задач из самых разных областей не всегда удобно вводить обозначения x и y),

– помимо заданий, где система уравнений задана, предлагаются и творческие задания, связанные с придумыванием тех или иных систем.

Материалы к урокам

1. Системы, не имеющие решений.

а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):

№ 1. Ответ: .

Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение. Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений системы:

и т.д. Ответ: .

Обращаем внимание школьников на то, что каким бы в данном случае ни было второе уравнение системы, решений она иметь не будет (вспомним определение решения системы уравнений).

№ 2. Ответ: .

Первое уравнение системы имеет решения. В левой части второго уравнения сумма двух неотрицательных чисел, а в правой – отрицательное число. Противоречие. Отметим, что достаточно хотя бы одного противоречивого уравнения, чтобы дать ответ.

№ 3. Ответ: .

Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении формулу квадрата разности. Далее аналогично номеру 1.

Задание школьникам: составьте еще системы, не имеющие решений.

№ 4. Ответ: .

Если сразу заметить или вспомнить, что дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю, то ответ очевиден. Если же заменить в условии ноль на ненулевое число, то решения системы могут появиться.

№ 5. Ответ: .

Результат деления отрицательного числа на отрицательное не может быть отрицательным, поэтому первое уравнение (а значит и система) не имеет решений.

б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):

№ 6. Ответ: .

В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не существует ни при каких значениях x. Вспоминаем определение решения системы уравнений и делаем вывод о том, что система несовместна, т.е. не имеет решений. Таким образом, решение этой системы (и ряда других) нужно начинать с ОДЗ. Ведь если становится ясно, что ОДЗ пусто (как в данной системе), то и множество решений будет пусто.

Эта система не является системой рациональных уравнений, т.е. не входит в рассматриваемую тему, но она содержит принципиально важную идею, поэтому ее полезно дать и на данном этапе. К тому же это позволит повторить и закрепить определение системы рациональных уравнений. Определение и свойства арифметического квадратного корня восьмиклассникам уже известны.

Обсуждение: Как еще можно “построить” противоречивое уравнение? Какие ограничения на значения выражений могут быть? Из этой части урока делам вывод о том, что уравнение (а значит и соответствующая система уравнений) не имеет решений, когда:

а) не может выполняться равенство из-за тех или иных свойств:

ограничения по знаку: , , ,

дробь при ,

комбинации: , , при и и т.п.

б) какое-то входящее в него выражение не определено (т.е. не существует, не имеет смысла) (см. задание № 4):

не существует при ,

не существует при .

Здесь стоит провести параллель с заданиями, опирающимися на те же идеи. Это задания найти ОДЗ переменных в выражении, область определения функции (ООФ), множество значений функции (выражения).

в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:

№ 7. Ответ: .

Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.

№ 8. Ответ: .

Если разделить второе уравнение на 4 и перенести все члены каждого уравнения в одну сторону, то станет видно, что уравнения противоречат друг другу.

Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами. Ответ получится сам собой, если все делать верно и понимать про вырожденные уравнения (0=0, 4=0 и т.п.), при встрече с которыми многие школьники теряются, как показывает школьная практика. Поэтому для преодоления возможных затруднений здесь важно обратить внимание учащихся на то, что при решении любых уравнений или систем вопрос ставится всегда один и тот же: “При каких значениях неизвестной верно равенство?” или соответственно “При каких парах (тройках, четверках, …) переменных верны одновременно все равенства системы?”. Помня это, нетрудно понять, что если в ходе решения получилось что-то вроде 0=4, то решений у этого “уравнения” и у исходной системы нет; а если же получилось, например, 0=0 и нет других противоречий, то решений у системы бесконечно много.

Задание школьникам: придумайте еще несколько систем, не имеющих решений, таких чтобы при замене в ней одного числа или знака на другое решения у нее появлялись. Придуманные системы по парам занесите в таблицу:

Таким образом, результатом первичного анализа системы может быть один из трех важных выводов:

1) (–) система не имеет решений дальнейшее решение не нужно,

2) (+) система имеет решение (решения) нужно решать,

3) (?) система может иметь решения (а может и не иметь) нужно решать и помнить про сказанное выше.

После этой части урока вместе со школьниками делается вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся важности предварительного анализа ситуации, объекта, явления.

На данном материале идет отработка важного навыка “всматривания” в систему и ее составные части – уравнения. Заметим, что тот же навык может отрабатываться и при решении уравнений (например, методом замены неизвестной). Он же пригодится и при решении систем, имеющих решение.

Стоит обратить внимание школьников на различные термины, употребляющиеся по отношению к уравнениям и системам, не имеющим решений (несовместным, противоречивым). Это важно для понимания математических задач и текстов, взятых из различных источников.

Для закрепления материала, в том числе терминологии, и проверки результатов этой части урока ученикам предлагается небольшое задание: заполнить следующую таблицу (в каждой ячейке проставьте знаки +, – или ? в зависимости от того, характеризует ли указанное в заголовке столбца данную систему). Столбцы таблицы: система | имеет решения | ответ: ? | не определено какое-то выражение | противоречива | несовместна | совместна.

2. Случай, когда одно из уравнений содержит лишь одну неизвестную.

№ 9. Ответ: и .

Очевидных противоречий в данной системе нет (в отличие от предыдущих). Можно заметить, что в первом уравнении системы присутствует только одна переменная (d), поэтому первое уравнение мы можем сразу решить. Его корни: -1 и 2. Подставляем эти значения по очереди во второе уравнение и находим другую неизвестную – z. Здесь вспоминаем, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными являются пары чисел.

При решении данной системы у школьников возникает разумный вопрос: “В каком порядке записывать в ответе числа, ведь здесь не x и y?”. Ответ: в алфавитном (как и в случае с x и y).

3. Случай, когда в явном виде имеется общее выражение в нескольких уравнениях, т.е. обобщенная подстановка, приводящая к ответу, уже подготовлена.

Вспоминаем стандартный метод подстановки, известный школьникам с 7-го класса. Отмечаем, что он работает в любых системах уравнений, не только в системах линейных уравнений.

Рассматриваем идею о том, что подставлять в другое уравнение можно не только переменную, но и некое выражение. Для этого должны иметься одинаковые выражения в нескольких уравнениях системы. В данном случае это так. Здесь же может возникнуть разумный вопрос: “Что делать, если одинаковых выражений в уравнениях нет?”

Таким образом, переходим к обобщенному методу подстановки и затрагиваем идею о выражении как обобщенной переменной (отсюда берет начало метод замены неизвестной, используемый при решении уравнений и систем.). В данной системе можно заменить на новую переменную z. Тогда система примет вид элементарной системы линейных уравнений. Анализ учебных пособий и методов решения систем уравнений показал, что очень широкий класс систем, предлагаемых в школьном курсе математики, решается с помощью обобщенного метода подстановки, который можно назвать центральным, главным методом. Попробуем этим методом решать все предлагаемые далее системы.

Тут два варианта проведения обобщенной подстановки: b 2 и b 2 + u 2 . Второй в данном случае удобнее, хотя чтобы его применить, исходную систему надо “подготовить”: разложить левую часть второго уравнения на множители. Первый требует больше алгебраических преобразований, следовательно, вероятность ошибок при решении возрастает. Таким образом, иногда подстановку придется подготовить (прежде чем выполнять).

Здесь начнем выявлять и фиксировать приемы, позволяющие выделять общие выражения в двух уравнениях. В данном примере – прием разложения на множители. Какие еще могут быть приемы? Их может быть очень много. Эту область можно назвать “творческой”, т.к. здесь нужно “изобрести” способ сделать так, чтобы появились одинаковые выражения, причем удобные для дальнейшего решения системы. “Творческая” область весьма обширна.

Здесь тоже два варианта выполнения подстановки. В указанном выше варианте используется другой прием – домножение обеих частей одного из уравнений системы на неизвестную. Тонкий момент: домножать на ноль нельзя . Но именно такова здесь ОДЗ!

4. Случай, когда в уравнениях нет подходящих общих выражений для подстановки, но они легко могут быть выделены.

На примере этой системы можно “изобрести” новый для 8-классников метод – метод почленного деления. Эта система решается методом деления и решается методом обобщенной подстановки, который в данном случае фактически дублирует в неявном виде метод деления.

№ 17.

Здесь сталкиваемся с тем, что решений у системы не конечное, а бесконечное количество. Как записать ответ в этом случае? У школьников часто возникают сложности в таких случаях.

5. Переход к методу сложения.

№ 18. . Ответ: .

Можно выполнить обобщенную подстановку (2 варианта подстановки), а можно сложить уравнения. Вспоминаем метод сложения (метод вычитания). Отметим, что метод сложения в данном случае фактически дублирует метод обобщенной подстановки, лишь немного упрощая выкладки.

Кстати, в данном случае на уровне обыкновенной логики можно было сразу сделать вывод, что решений у системы нет.

6. Случай, когда есть несколько вариантов подстановки.

№ 19.

Есть выбор: иметь дело с целыми числами (если подставлять r 2 ) или с дробными (если подставлять j 2 ). Удобнее и надежнее работать с целыми числами, поэтому лучше выбрать первый вариант, хотя к ответу приведут оба. Можно здесь сделать замену, но необходимости нет.

Можно ли к данной системе применить метод сложения? Сразу к исходной системе бессмысленно, т.к. обе неизвестные останутся. Но если домножить уравнения на подходящие числа, то сложение полученных уравнений может избавить от одной из неизвестных, что поможет решить систему. Получаем обобщенный метод сложения или метод уравнивания коэффициентов (в литературе называется по-разному).

7. Случай, когда удобна замена неизвестной

№ 20.

Нетрудно заметить одинаковые выражения в уравнениях, их замена на новые неизвестные позволит упростить систему. Приходим к методу замены неизвестной.

8. Система трех уравнений с тремя неизвестными.

№ 21. Ответ: и .

Обобщенный метод подстановки здесь по-прежнему работает, однако подстановку нужно будет выполнить несколько раз. А что если попробовать сложить все уравнения? Получится a = 1. Т.е. в данном случае метод сложения весьма удачен.

Из очередной части урока делаем вывод:

Обобщенный метод подстановки позволяет решить широкий спектр систем уравнений. Для решения этим методом нужно выделить подходящие общие выражения в нескольких уравнениях, выразить из какого-то уравнения одно из выражений через остальные переменные и подставить в другие равенства системы для того, чтобы свести систему к уравнению с одной неизвестной. При этом стандартный метод подстановки является частным случаем обобщенного, а методы сложения (вычитания), уравнивания коэффициентов, почленного деления, замены неизвестной являются “помощниками” обобщенного метода подстановки, позволяющими несколько упростить выкладки.

9. Дополнительные задания.

Рассуждаем далее: метод сложения, вычитания, деления был. А как же с методом умножения? Есть ли он? Полезен ли он? Да. Пример:

№ 22. подставляем.

Обобщенный метод подстановки здесь “напрашивается”, т.к. имеются общие выражения (x 2 y), но не помогает. Зато хорошо работает метод умножения одного уравнения системы на другое.

№ 23.

Из первого уравнения системы можно найти и x и y, однако это не пара, которая войдет в ответ.

Придумайте и нарисуйте схему, отражающую предлагаемый вами алгоритм решения произвольной системы уравнений с учетом всего рассмотренного и сказанного на уроках. Так чтобы если дается система уравнений и ваша схема, то, пользуясь последней как подсказкой, человек решил бы данную систему.

На следующих уроках – проверка этого задания, обсуждение предлагаемых схем и создание одной общей для класса схемы, отражающей всю полноту ориентировочной основы деятельности по анализу и решению данной системы уравнений. Дальнейшая работа будет направлена на организацию усвоения выявленной и зафиксированной совместно со школьниками схемы решения систем уравнений.

Системы уравнений в школе

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Июня 2012 в 16:36, курсовая работа

Краткое описание

По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.
Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Содержание

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.
Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.
1) Основные определения.
2) Алгебраические системы.
2.1 Системы уравнений первой степени
2.2 Нелинейные системы уравнений
3) Неалгебраические системы.
3.1 Системы, содержащие показательные уравнения
3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

Вложенные файлы: 1 файл

Курсовая работа 2.docx

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.

Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.

1) Основные определения.

2) Алгебраические системы.

2.1 Системы уравнений первой степени

2.2 Нелинейные системы уравнений

3) Неалгебраические системы.

3.1 Системы, содержащие показательные уравнения

3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

Тема «Системы уравнений» в школьной программе достаточна важна как для самой математики, так и для других наук.

По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.

Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний.

А в последние годы, когда экзамены принимаются в форме ГИА и ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Анализ сдачи экзаменов в такой форме за прошлые годы показывает, что с решением систем уравнений справляются не более 25 % выпускников; особые затруднения вызывают у них те системы, которые можно решить только графическим способом. Кроме того, с каждым годом усложняются системы уравнений, которые даются в части «С» и требуют полного развернутого ответа.

Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.

На основании этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.

Для достижения цели поставлены задачи:

изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;

Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;

Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики.

Работа состоит из трёх глав. В первой главе затронуты вопросы повторения и систематизации систем уравнений, а также приведён обзор рассматриваемой темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.

I. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ.

Тема: «Системы уравнений» занимает одно из ведущих мест в учебниках алгебры 7-11 классов у различных авторов.

Все школы нашего района большинство работают по учебнику алгебры авторов Ш.А. Алимова и др., поэтому в своей работе я в большей степени ссылаюсь на данный учебник.

Изучение систем уравнений в основной школе в учебнике авторов Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. распределяется между курсами 7,8,9 классов.

В курсе 7 класса на изучение главы: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными» отводится 15 часов.

Основная цель: научить учащихся решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными различными способами и использовать полученные навыки при решении задач.

На тему «Системы уравнений» отводится 2 часа.

Цель первого урока: ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Изложение новой темы начинается с рассмотрения задачи в учебнике:

Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?

Вводится понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы двух уравнений с двумя неизвестными, приводятся примеры. Далее формулируется определение решения системы двух уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений. При закреплении материала отрабатываются навыки выражения одной неизвестной через другую, решаются примеры на проверку, является ли данная пара решением системы. На втором уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения более сложных упражнений, а также проверяется усвоение учащимися данной темы.

На изучение темы: «Способ подстановки» отводится 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы линейных уравнений способом подстановки.

Вначале в устной работе рассматриваются упражнения, которые помогут учащимся при изучении нового материала:

P Выразите переменную у через :

P Является ли линейной функция, заданная формулой:

P Назовите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения . Сколько таких решений имеет данное уравнение?

Далее рассматривается решение задачи из учебника:

решить систему уравнений

Вводится алгоритм решения системы уравнений методом подстановки, рассматривается решение задачи по учебнику:

решить систему уравнений:

При закреплении материала отрабатывается метод на примере систем, у которых в одном из уравнений коэффициент при одном из неизвестных равен единице.

На втором уроке продолжается отработка способа подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, при этом рассматриваются системы уравнений, содержащие дроби, скобки; проводится первичная проверка знаний по теме в виде самостоятельной работы обучающего характера.

На третьем уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений, проводится проверка усвоения учащимися материала.

На тему «Способ сложения» отводится также 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы двух линейных уравнений способом сложения, в необходимых случаях приводя предварительно уравнения системы к виду:

где – целые числа.

Изучение нового материала начинается с рассмотрения решения задач из учебника:

P решить системы уравнений: ,

Затем вводится алгоритм способа алгебраического сложения, далее рассматриваются решения задач в учебнике:

P решить системы уравнений: ,

Второй и третий уроки проводятся аналогично урокам из предыдущей темы; на них проводится выработка навыка применения способа алгебраического сложения к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и проверка знаний по данному вопросу.

На тему «Графический способ решения систем уравнений» отводится 3 часа. Учащиеся из предыдущей главы «Линейная функция и её график» знают определение линейной функции, умеют строить её график, проводить сдвиги графика вдоль оси ординат, читать график. Но в устной работе в начале первого урока по теме, а также на предыдущих уроках полезно включать упражнения типа:

P Принадлежит ли графику линейной функции точка А(0;0); В(0;4); С( ; 0)?

P Проходит ли через точку А(2;6) прямая: ; ; ?

P Известно, что точки А(0;…); В(…;0); С(…;4) принадлежат графику уравнения . Назовите пропущенные координаты.

P Приведите пример линейной функции, график которой параллелен графику функции, заданной уравнением .

P Какие из указанных уравнений с двумя переменными являются линейными:

P В какой точке прямая пересекает ось ОХ? Ось ОУ?

После устной работы рассмотреть текст учебника на страницах 158-159, после чего учащиеся должны усвоить, что графиком любого уравнения является прямая, если хотя бы одно из чисел или не равно 0. Далее ввести правило решения системы графическим способом; обратить внимание учащихся на то, что при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное значение; рассмотреть три возможных случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы. В качестве примеров рассмотреть в учебнике решения задач:

P Найти координаты точки пересечения прямых:

P Решить систему уравнений:

P Показать, что прямые и совпадают.

При закреплении материала решаются задачи на нахождение координат точек пересечения прямых с осями координат, на построение графика уравнения, на графическое решение системы уравнений, в одном из уравнений которой выражена неизвестное .

На втором уроке продолжается изучение графического способа решения систем линейных уравнений, отрабатывается навык построения графиков линейных функций.

На третьем уроке закрепляются знания учащихся в ходе выполнения упражнений, требующих творческого отношения к работе; проводится проверка знаний по теме.

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа. На данный момент учащиеся умели решать задачи на составления уравнения с одним неизвестным, поэтому материал данного параграфа для них является новым. Изучение нового материала можно начать с решения следующей задачи:

P длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22 см. Найти длину и ширину прямоугольника.

Сначала решаем задачу с помощью одной переменной, при этом можно опираться на знания учащихся по данной теме. После этого, учитель объясняет учащимся, что при решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений, и показывает решение данной задачи вторым способом. В заключении дается схема решения задачи с помощью системы уравнений.

На втором и третьем уроках учащиеся закрепляют навыки решения задач методом составления системы уравнений. На этих уроках в устную работу полезно включать задачи такого типа:

P На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

P Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.

P Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?

P Чашка и блюдце вместе стоят 250 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найдите цену одной чашки и одного блюдца.

P Во сколько раз алюминиевый шар тяжелее деревянного шара того же объема, если масса 1 кубического сантиметра – 2,7 грамм, а масса 1 кубического сантиметра дерева – 0,9 грамма?

P Бригада выполнила заказ за 6 дней. Сколько дней потребуется бригаде для выполнения того же заказа, если она будет работать с производительностью труда в 1,5 раза большей; в 2 раза меньшей?

Итоговая проверка знаний по всей главе проводится в виде часовой контрольной работы.

В 8 классе в главе «Квадратные уравнения» продолжается изучение систем уравнений.

В главе на тему «Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени» отводится 3 часа.

Цель этих уроков: повторить способы решения систем уравнений; рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

В начале изучения нового материала необходимо повторить тот материал, который учащиеся знали из 7 класса. Необходимо вспомнить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными, особое внимание уделив способу подстановки.

Затем изучить материал на странице 137, разобрав решение задачи из учебника:

P гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты.

Далее учитель объясняет решение способом подстановки системы уравнений задачи из учебника :

P решить систему уравнений:

На закрепление материала рассматриваются системы уравнений, одно из которых линейное и имеющее коэффициент при каком-то неизвестном, равный единице. На этом же уроке рассматриваются простейшие задачи, типа: даны сумма и произведение чисел. Найти эти числа.

Цель второго урока: закрепить у учащихся знание решения систем уравнений второй степени способом подстановки и способом сложения.

На третьем уроке учащиеся упражняются в решении более сложных систем уравнений, а также использовании систем при решении задач. На этом же уроке проводится проверка знаний по данной теме.

В 9 классе в главе «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» продолжается изучение систем уравнений.

На тему «Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными» отводится 3 часа. Данная тема не является для учащихся новой. Из 7 класса они умеют решать системы линейных уравнений, знают различные способы решения систем. Из 8 класса учащиеся знакомы с системой уравнений, в которых одно уравнение линейное, а другое второй степени или оба уравнения второй степени. Поэтому начать первый урок по теме целесообразно с повторения данного материала, рассматривая это на конкретных примерах. Затем решить методом подстановки систему уравнений: .