Алгебра 9 класс Задачник Мордкович часть 2
; б) 25а^ — 20a2fo + 4fo2; г) 15а® + 15Ь\ 15. а) X® — х^у — хг/^ + г/®; в) 7П® — 2п — т — 4п^ б) (Р — 16d + 55; г) П® н- 16п + 39. 16. а) б) 17. а) б) Сократите дробь: 6а + 66 18. а) 7а+ 76 та^ — т^а т — та 6-7 6^-146 + 49’ 125/+1 1-51/ + 25/’ 2Г — 27* 2р-4д, ^ 16д-8р’ ху* — zy* zf / 9® + 9’^ + 9® ’ Упростите выражение: в) г) б) — 2ху + / ’ 4f^ -2f+ 1 +1 8“ — 8*® — 8® 415 _ _ 4 14 ^13 б) 20. а) б) 1 X- 2 2 ^ х^ л: b) 1 — d — 5 1 r) d® d^ X + г/ 5с + х-у 4с + 6с-6 Зс + 3 2с^-2’ Зс + 2 — 4с + 4 с — 2 2тп + 2т 2 2 т — п т — п За(16 — За) 3(1 + 2а) 2- 9а в) ^ + г) 21. а) б) 22. а) 23. а) 9а^ — 4 / + 4 1 2 — За За + 2 / + 8 у+2′ /-/ 31/ b) y? “ lOx + 25 2x- 10 • « Zxy X- 1/ > 3x+ 12 ‘ x^-16’ c® — 49 2c + 14, r) 1® + 8 41+9 lOcd 5d > 121^ + 271 1® -2^+4’ ^a + 6 2^7 ^ • (a + b); 6) fl 1^ 0
a a V a + b j ab ^ m -i- \ n mn . — 25 1 — mn /П® — mn j m-\- n у > a + 3 + 5a а + 5 Решите систему уравнений; 24. а) |5х — Зг/ = 14, [2х + у = 10; в) б) J3a + 4f) = 55, \la-b = 56; г) 25. а) |4х + 5i/ = 1, [2х + 2,5г/ = 5; б) 26. Вычислите: 4х — 7г/ — 30, Ах — Ъу = 90; \-2а + гь = 18, Зй + 2Ь = — 1, 4х — Зу = 12, 4 . -X — V = 4. 13 ^ а) 5-Н liiL 7 V 169 в) 4 V 49 б) 165^ — 124′ 164 г) 145,5^ — 96,5^ 193,5^
31,5^ * 27. Вынесите множитель из-под знака корня: а) .JT2; в) J
AM; г) 7^* б) 28. Внесите множитель под знак корня: а) 2 7^; в) 7^/^; б) &/3, если Ь 0. Упростите выражение: 29. а) 2^1^+2v^-2^^; в) 5^ — 2^48 + 2^/^; б) — ^25а — ^Зба; г) ОД^Убт — ^/0,45т + 2^80т. 30. а) J(^-2) +J(s/7-3) ; б) J(^
4) -2p-^J 31. а) 0,4а’Ь , если а > О, Ь 0. Ь V а» а V Ь 8 Упростите выражение; 32. а) (2+ Тб)(3,/2- 2V3); б) + 7^); в) (275-73)(73+375); г) (с + л/5)(с^ — c,fd + с?). 33. а) 1 — л/а 3 — J и 2Ja
4 3 Ja — 6 в) 1 — а а + 4 Tab + 4Ь 4у[а + sTb 3 — Зу[а б) г) , фЫ + d ^Jcd + с х^’ + хф2 х» + 2 JC л/2 л: — Тз л: + 7^ 34. а) (х-2 — у-2) : (х
^); б) (с-2 — d-2) . (d — с)-2; в) (й — /)-2 • (&-1 — (-1); г) (а-* — Ь-*) : (&-2 — а»2). 35. Упростите выражение 1 + ^-2п ^ у-2п Л-2 И найдите его зна- Q 3 1 чение при х = 6^ у = —, /г = —. Решите уравнение: 36. а) 2х^ + Зх + 1 = 0; в) Зх^ Н- 5х — 2 = 0; б) 5х» — 8х + 3 = 0; г) 14х» — 5х — 1 = 0. 37. а) (а2 — 5)2 — (2а + 3)^ = 0; б) (Зх — 1)(2х — 2) = (х — 4)2 + 7; в) (d^ — 13)2 _ _ 77)2 ^ 0; г) 2х — (X + 1)2 = 3×2-5. 38. Разложите на множители: а) х2 — 17х + 60; в) 2х^ — 297х + 295; б) 3×2 35^ _ 33. J,) ^2 + 26х + 105. 39. Сократите дробь: Зх^ — 10х + 3 а) б) х’ — 9 5х^ + X — 4 Х^ + X в) г) 2х^ — 9х + 4 х^ — 16 2х^ + 5х — 3 х^-9““» Решите уравнение: 10 X х^ -2х 2 1 1 + 2х X- 2 12 40, а) —н ^ ___^ х^ — Эх X + 3 х^ — 9х 41. а) х» — 17×2 + 16 = 0; б) X® — 9×2 + 8 = 0; в) г) х-2 I X +1 = 10 14 х»^ “ 4х + 4 X — 3 х^ — 5х 5-х в) 9х^ — 40×2 + 16 = 0; г) X® — 7×2 — 8 — 0. Решите следуюш,ие задачи (выделяя три этапа математического моделирования). 42. Пешеход рассчитывал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 1,2 ч. Но он шел со скоростью, превышаюш,ей запланированную на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 1 ч. Найдите длину пути. 43. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно из них навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок. 44. Из города А в город В выехал велосипедист. Спустя 44 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Через 36 мин после своего выезда мотоциклист, обогнав велосипедиста, был на расстоянии 7 км от него. Найдите скорость велосипедиста. 45. Расстояние между пунктами А и В грузовой автомобиль должен был преодолеть за 3 ч. Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч и поэтому в конечный пункт прибыл на 12 мин раньше, чем предполагалось. Найдите первоначальную скорость автомобиля. 46. На одно платье и три сарафана пошло 9 м ткани, а на три таких же платья и пять таких же сарафанов — 19 м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и на один сарафан? 47. Велосипедист проехал 15 км с определенной скоростью и еще 6 км со скоростью на 3 км/ч меньше первоначальной. На весь путь он затратил 1,5 ч. Найдите скорости велосипедиста, с которыми он ехал. 48. Расстояние между пунктами А и Б по реке равно 2 км. Лодка совершает путь из А в Б и обратно за 35 мин. Най- 10 дите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. 49. Завод по плану должен был к определенному сроку изготовить 180 станков. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план? 50. При испытании новых двигателей было установлено, что первый израсходовал 320 г горючего, а второй — 270 г. Первый двигатель расходовал в час на 2 г горючего меньше, чем второй, и подвергался испытаниям на 5 ч больше. Определите расход горючего в час для каждого двигателя. 51. Груз массой 30 т планировалось перевезти машиной определенной грузоподъемности. Однако для перевозки удалось использовать машину, грузоподъемность которой на 2 т больше, чем предполагалось, поэтому полностью загруженной машиной было сделано на 4 рейса меньше, чем намечалось. За сколько рейсов был перевезен груз? 52. Токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок. Однако он делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь? 53. В двух школах поселка 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй — на 20%, в результате общее число учащихся стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально? •54. Швея получила заказ сшить 60 сумок к определенному сроку. Она шила в день на 2 сумки больше, чем планировалось, поэтому уже за 4 дня до срока ей осталось сшить только 4 сумки. Сколько сумок в день шила швея? 55, Из города А в город Б, расстояние между которыми 120 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город Б на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов. *5(к Из города А в город Б, расстояние между которыми равно 30 км, выехал грузовик. Через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что он приехал в город Б на 5 мин раньше грузовика. 11 57. Два туриста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу. Расстояние между А и В равно 50 км. Встретившись через час, туристы продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в Б на 50 мин раньше, чем второй в А. Определите, с какой скоростью ехал каждый из них. 58. Катер должен был пройти 36 км за определенный срок, но был задержан с отправлением на 18 мин, а потому, чтобы прибыть вовремя, шел со скоростью на 6 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. С какой скоростью шел катер? 59. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите плош;адь этого треугольника. ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 1.1. Является ли данное число а решением данного неравенства: а) 2х — 5 > 9; а = -1, а = 3; б) 2
6х 17; а = -2, а = 5? Решите неравенство: 1.2. а) 4а — 11 7 + 6с; г) 3 — 2х 5 — За; б) у <^у - 4) - 6у(у + 4) >96; в) 3х(3х — 1) — 9х^ 0; в) -Х“ + 6х — 5 0; г) х2 + 2х — 48 0; в) 6×2 — 7х — 20 0. м1.7. а) Зх^ + X + 2 > 0; в) 5×2 . — 2х + 1 0; г) -7×2 + 5х — — 2 0; б) 25х^ + 40х + 16 0; г) 9х^ + 12х + 4 0их^-4>0; б) 2х + 1 10 и х^ “ 14х + 40 6; б) I X — 11 > 8; 01.19. а) 11 — XI > 2; б) 1-2 — х| 3; г) IX + 4 I > 5. в) I 3 — X i > 3; г) I -5 — XI 0; б) 3 — Х“ х^ ч ^“1 . х^+х-4 0,5х^+1 1.21. а) ——-!———-> х^ — 5 б) — + 4 X +1 > 2; . х^ + Зх X — 1 ,3 — 2х в) —-:— 4 2 7х-3 1.22. а) |4х + 3| > 5; б) 6 -I Зх + 11 > 0; в) I 3 — 2х I > 9; г) 4 — I 3 + 2х I О содержатся: а) четыре целых числа; в) два целых числа; б) два натуральных числа; г) одно целое число. 1.25. Найдите такое натуральное значение параметра р, при котором во множестве решений неравенства (7 — х)(р — х) 0; б) (х + 3)(х — 0,5) 0; в) X — -4 (х + 4) > 0; г) л X — 9 г V X — 3 0; г) t(t + 8)(^ — 1,2) 0; б) 2х + х^ 0; г) 5х + х^ 0; б) х(х^ — 9) 0; г) х(х“ — 64) 225; б) 0; б) (х — 3)(5х — 6)(х + 6) 0. 02.7. а) (х — 4)(3х^ + х) > 0; б) (2х + 3)(х^ — 1) 0; г) (4х — 1)(х^ — 4) 1 4 16 Решите неравенство; 02.8. а) (2 — х)(3х + 1) <2х - 3) >0; б) (2х + 3)(1 — 2х)(х — 1) 0. о2.9. а) б) (>2.10. а) б) х<х - 2) X + 3 + 6х X
2 Зх-2 2х -3 X + 3 х — 2 в) х(х + 1) > 0; X — 9 > 0 3; в) X + 2 > 1; г) 7х-5 х^; (>2.12. а) х^ + 6х + 9 > 0; б) -4х^ + 20х > 25; 02.13. а) 4х^ + X + 1 > 0; б) 7х^ + 3 0; в) -х^ — 10 0. в) 49×2 + 14JC + 1 16. в) 3×2 + 4 0. в) -6×2 + 5х — 8 > 0; г) -3×2 + 4д: _ 5 0; б) (2х + 1)(1 — 2х)(х — 1)(2 — Зх) > 0; в) (Зх — 2)(5 — х)(х + 1)(2 — х) 0; б) х^ -9 х(х^ -16) х^ -9 о, 17 Решите неравенство: 2,17. а) — б4х > 0; б) х^ 0; (2х + 3)(2х +1) (х-1)(х-4) ^ в) х^ > х; г) х^ — 10х 3; X в) X + — 2. X 2.20. а) (х — 1)(х2 — Зх + 8) 0; в) (х — 7)(-х2 — Зх — 18) > 0; г) (х + 1,2)(х2 + 5х + 14) 0; в) х^(х + 3) > 0; б) (х + 2)2(х + 4) 0; в) (х + 3)2(х2 — 10х + 21) > 0; г) (х — 1)(х2 — 7х + 6) > 0. 2.23. а) (х2 + 4х + 4)(6х — х^ + 7) 0; в) (х2 — 6х + 9)(6 — 5х — х2) > 0; г) (х — 4)3(7х — х^ — 10) 0. 18 Решите неравенство: 2.25. а) ^44^ > 2; б) + 9л: + 8 2д:^ + д: — 16 д:^ + д: -1; 0; б) 16 — 9х^ 4х^ — 4х + 1 > 0; г) 9£l±^ ^ 0. 25 — х^ 2.27. а) (х2 + X + 2)(х — 4) 0; в) (х + 8)(х2 + 2х + 5) > 0; г) (3×2 + 10х + 3)(х2 + Зх + 4) 0; ^ 9х^ — 25 + X — 1 в) г) б — X х^ + 2х + 5 Зх^ — 2х + 1 5х^ — X > 0; г) Зх^ + 10х + 3 х^ + 8х + 15 19 2.32, а) б) Решите неравенство: 12 3 х + 1 2 х-1 + > JC + 3 X + 2 ’ 1 X +1 > -3; , X + 1 —3 в) —— > ——- X — 2 X — 2 . X — 4 ^ X — 3 г) —— > ——-, X — 3 X — 4 2.33. а) (16 — х^)(х^ + 4)(х^ + х + 1)(х“ — х — 12) 0; X Зх г) 4 — 5-х + х^ -25 0; в) 2х^ — 7х + 3 0. 2.35. Дано выражение у = Дх), где Дх) = х(х — 2)-(х + 1)Дх + 5), Найдите значения переменной, при которых: а) Дх) > 0; б) Дх) 0; г) Дх) 0; в) Дх) > 0; б) Дх) 0 содержит: а) два целых числа; в) три целых числа; б) четыре целых числа; г) пять целых чисел. 20 § 3. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 3.1. Множество задано словесным описанием. Задайте это множество, перечислив его элементы: а) цифры, которые больше 5; б) целые отрицательные числа, которые больше -7; в) четыре последние буквы русского алфавита; г) различные цифры года рождения и года гибели М. Ю. Лермонтова. 3.2, Множество задано перечислением своих элементов. Приведите какое-нибудь его словесное описание: а) <О, 2, 4, 6, 8>; в) <3, 6, 9, . , 27, 30>; б) <2, 3, 5, 7>; г) <А, Б, С, А . , X, У, Z>. ОЗ.З. Запишите заданное множество в виде числового промежутка: а) <х|
13 — Зх > 0>; в) <х|х^ - 1 1 ; г) и - бд: + 10)(л: + 2) ^ ^ (х^ + 1)(4 - X) 3.4. Верно ли, что: а) -5 е N; б) -5 е Z; в) V2 е Q; г) 2,(45) е Q? 03.5. Докажите, что заданное множество состоит из одного числа (элемента), и найдите это число: а) <х I 1 ; г) 1,001 е \х х^ - 6х + 5 4-х 5>;б) <х| 18(х^ + 1) 3.24. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9-го класса читал книги А, Б, С. Результаты опроса выглядят так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу Б — 22 ученика, книгу С — 22 ученика; одну из книг А или Б прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг Б или С — 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников; а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не читали ни одной из указанных книг? >3.25. Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, Б или С. При этом спектакли А, Б, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе? 24 а) б) §4. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 4.1. Является ли число 5 решением системы неравенств: 4х-3 х + 11; [4х-1>5х-3; 2х + 5 Зх-11; |l9-2x>x + 3? 4.2. а) Какое из чисел -2; 0; 5; 6 является решением системы неравенств Зх-22 3? б) Какое из чисел -3; 1,5; 4,8 является решением системы неравенств 4х — 7 5? Решите систему неравенств: X > 5, X > 7; 4.3. а) X > о. 4.4. а) 04.5. а) б) 04.6. а) б) 04.7. а) б) X ^ 3, X 12; 7-2t >0, 5i-20 0; 0,4х — КО, 2,3х > 4,6; 1,5К4,5 -1; 3 б) ^ лЛ/’ X L 2 г) б) 1 [х > 3, [х -5; г) в) г) в) г) в) 8у 0, 2х>8. 2К4 О, 3t-6>0. 0,3х > 4, 0,2х -н 1 12. X 4. 1 ъ 1 1 -2 > 1-. 19 3 25 04.8. а) б) 04.9. а) б) Решите систему неравенств: Ьх-7 > -14 + Зл:, -4х + 5 > 29 + 2х; Зх + 3 ^ 2х + Ij Зл: — 2 О, л;2 — 7л; +12 15, + л: — 6 7; -Зл:^ + 2л:-1 3(л: +1) -1; Зл:^ + л: + 2 > О, л:^ О, л:^ 0, 2х-1>0; (.X + 5)(л: — 1) ^ Q X 10х -1 О, x^-7x + 12>0; 9л:»-1 0; х^ -5х + 4> О, 2х^ — 5х + 2 О, — 6х + 8 > 0; в) г) в) г) в) г) в) г) в) г) в) г) в) г) 1-12х 4 + 4х; 4х + 2 > 5х + 3, 2 — Зх 0; Зх-10 > 5х-5, х^ + 5х + 6 О, х^ > 16; -5х^ + X -1 > О, х^ > 81. 25-х» X 35; (х — 2)(л: + 3) ^ х(х + 7) 20х > 20. — 6х + 8 0; 49х^-1 О. х^ — 9х +14 > О, х^-7х-8 /бх^^18 + ^х +1. Решите систему неравенств: J7X + 3 >5(х-4) + 1, 4.21. а) [4д; + 1 4(7-х), (х + 2)(х — 5) > (х + 3)(х — 4); 5(х + 1) — X > 2х + 2, 4(х + 1)-2 7(2х-4). 27 Решите систему неравенств: 4.22. а) б) X X „ — + — 2, 4 х-1 х-2 —+ -г- > 1; в) 1 ^ 1——> X, 4 X — 4 . X———> 1; г) 5 х-1 X — X ^ — 1, 4.23. а) х-1 Х-2.Х-3 ———>——X, б) 2 3 4 1-х > 0,5х-4; 2х-1 х + 2 х-8 ^ +———> X -1, в) 6 3 2 2-2х > 0,5 + 0,5х; 4.24. а) 2х + 1 х-2 Зх + 2 б) 2х-3 7-Зх 2 — 5х 2х + 1 13х-3 Зх-4 4.25. а) б) 2; 4; >1 5-х ‘ 2’ > 16; 4д:2 1; 4.26. а) б) 1-5х (д: + 2)(д:-1) 2х х^-7х + 12>0; V -10х+9 3; 2. >1 3-2х 2’ У 81. У-4д: + 3 2, в) х^ — Х^ + X -1 2х + 3 1 2 х + 1 х + 3 х + 2 б) x + :i ,х — 3 X — 4 г) Х^ + Х^ + X 9х^ — 25 1 2 + >0, ^^ + 0,5(х + 3). 29 4.32. а) Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств о 3-7х х + 1 7 + 8х 10 2 2 7(Зх-5) + 4(17-х)>18- 5(2х-6) б) Найдите наименьшее и наибольшее целые числа, удовлетворяющие системе неравенств X Зх -1 ^ 2 — X х + 1 о ————^——————1- ^ 3 6 12 2 5х — 4 Зх -1 к X >———————2,5. 10 4.33. Найдите все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: а) 0,2х > -1, — > 1; I 3 в) 1-0,5х > о, X + 5 . —— —— 13 7 Решите систему неравенств: 4.34. а) X-1J 5; в) |x + 5| 4; б) |х-5| 2; г) |х — 3| 1. 4.35. а) |2х + 4| -1; в) |3х +1| 3; г) ^ х^ > 1, |5х-1| 0; в) vx^+3x + 4 ■ (х — 2) > 0; г) (5 — х)^(х “ 1)(х + 5) > 0. 4.37. а) > 0; в) — 6х ^ 4х^ -16 ^ б) 0. X 4.38. При каких значениях параметра р система неравенств имеет решения; не имеет решений: а) X р; б) х р; в) X р; г) X 2? 4.39. Укажите все значения параметра р, при которых решени- fx > 3, ем системы неравенств является промежуток: а) (5; +оо); б) [3; +00); в) (3; Н-оо); г) [2; +оо). •4.40. При каких значениях параметра р неравенство (р — 2)х^— (р — 4)х + (Зр — 2) > 0: а) не имеет решений; б) выполняется при любых значениях х? Домашняя контрольная работа № 1 Вариант 1 1. Множество М состоит из всех двузначных чисел, которые при делении на 11 дают остаток 7. Задайте множество М, перечислив все его элементы. 2. Приведите какое-нибудь словесное описание множества М = <1, 4, 9, 16, 25, . , 81>. 3. Для множеств А = [1; 5), Б = [4; 6] и С = (-3; 2] найдите множество (А и Б) П С. 31 4. Решите неравенство |2х + 4| 0. 8. Решите систему неравенств 2х^ + 5х- 7 > о, Зх-4 .2х + 6 -(х-1) 9 5 3 Вариант 2 1. Множество М состоит из всех двузначных чисел, которые можно записать в виде + 10, где п — натуральное число. Задайте множество М, перечислив все его элементы, 2. Приведите какое-нибудь словесное описание множества М = <10, 19, 28, 37, 46, . , 91>. 3. Для множеств А = [1; 4), В = [2; 5] и С = (3; 7] найдите множество (А П Б) и С. 32 4. Решите неравенство Зх\> 6. 5. Найдите область определения выражения ^JSx — 15х^ — 1, 6. Решите неравенство — 4,5х
3 ^ J 5 — 2,5jc ^ 7. Дано выражение у = /(х), где /(х) = (2х-ЗГ(Зх + 1)(х-3) х(2 — х) Найдите значения переменной, при которых /(х) 3. 9. Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства 4х-7 2 6: в) 12 — Зх — 2^ 0. .5.23. а) ху > 0; в) ху 2. . 5.24. а) (X — 2У + (У + 3f 9; г) (х
3)^ 4- (у- 4)2 > 16, 1)5.25. Составьте уравнение окружности: а) с центром в точке (-5; 2), касающейся оси у; б) с центром в точке (12; -5), проходящей через начало координат; в) с центром в точке (-4; -6), касающейся оси х; г) с центром в точке (2; 1), проходящей через точку (-4; -7). о5.26. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если; а) А(-4; 7), В(6; -3); б) А(-1; -6), ВЦ; 0). Г)5.27. Составьте уравнение окружности: а) с центром на оси х, проходящей через точки (“4; 4) и (-2; 0); б) с центром на оси у, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2). Постройте график уравнения: 5.28. а) (Зх + I/ + 9)(5х + i/ — 5) = 0; б) (ху — 4)(х + 2у) = 0; в) (4х + Зг/ — 12)(2х — 9i/ + 18) = 0; г) (х — Ьу)<2у - х^) = 0. •5.29. а) х^ + 1/^ + 8х = 0; в) х^ + - 10у = 0; б) х^ Ч- - 6х Н- 2^ = 6; г) х^ + 1/^ = 6i/ - 4х - 4. 39 Найдите целочисленные решения уравнения: •5.30. а) 2х - 3^ = 7; в) 5х + Зг/ = 13; б) 2х + Зр = 1; г) 4г/ - 5х = 19. •5.31. а) 9х^ " 4г/^ = 5; б) - 9z/2 = 7. •5.32. а) ху
2у = 26; X = г/^ х +I/ = 6; в) г) X = г/ + 3, — 2х = 9; у = х^ X — у = -6. 6,4. а) б) у^ -ху = 12, Зу — X = 10; 2х^ -у^ ^ 32, 2х-у = 8; р р X -у ху — у =11, X — 2z/ = 1; + л: — Зг/ = 15, X + ^ = 5; 2х^
ху — 33, 4х — г/ = 17; х^ -у^ = 24, 2у — X = -7. в) г) х^ + хг/ — X — г/ = 2, X” г/ = 2; х^ + г/^ + Зх^ = ”1, X + 2г/ = 0. 41 06.5. Решите систему уравнений методом подстановки: 111 i + i — Ё а) У б’ 2у-х = 1; в) ‘ у X 3 х-2у = 2; + Ё = б) у х-у
3 =0; г) ^ — — — + — — 1 X ху у х-у = 1. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: 06.6, а) б) а + Ь = 3, а — Ь = 1; а + 2& = 5, -а + 76 = 13; в) г) 2а + 36 = 3, 2а — 36 = 9; За + 56 = 8, -За + 6 = -2, Об,7, а) б) <4Qm + Зп = -10, \2Qin -1п- -5; Зт + 2а = 0,5, 2т + 5а = 4; в) г) 5ог + 2а = 1, 15о1 + За = 3; 4т + 7а = 11, 5т - 2а = 3. 06,8. а) б) + у^ - 61, [х^
1; б) VxT3 = -1-jc; 9.11. Функция задана формулой s = 2^^ + 4f, где s — путь (в км) и t — время (в ч). а) Найдите s(l), s(2,5), s(4); б) найдите t, если s = 240 км; в) найдите s, если ^ = 45 мин; г) найдите t (в мин), если s — 645 м. 9.12. Функция задана формулой V = —S/i, где V — объем пира- о МИДЫ (в м^), S — площадь ее основания (в м^), h — высота пирамиды (в м). а) Выразите каждую переменную через две другие; б) найдите значение V, если s = 2 м^, = 140 см; в) найдите значение S, если У = 45 дм^, h = 0,4 м; г) найдите значение h, если F = 5 м^, S = 2500 см^. 9.13. Задайте формулой у = ах^ Ьх + с функцию, график которой изображен: а) на рис. 37; в) на рис. 39; б) на рис. 38; г) на рис. 40. Рис. 37 Рис. 38 68 т 3 \ \ 1 \ V \| О 1 2 X Рис. 40 9.14. Функция у = f(x) задана на множестве всех натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие целая часть квадратного корня из числа X. Найдите: а) Я1); б) Я8); в) /(15); г) /(22). 9.15. Функция у = fix) задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа х. Найдите: а) /(73); б) /(-6); в) /(-3); г) /(12). 9.16. Функция у = fix) задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа х. Найдите область значений этой функции, •9.17. Задайте аналитически (придумайте возможный вариант) функцию, график которой изображен: а) на рис. 41; б) на рис. 42, •9-18. Постройте график функции: а) I/ = [х], X € [0; 6]; б) i/ = [х], х б (-6; 0). •9*19. Постройте график функции: 69 у’ 5 L 4 У = f(x) \ 3 \ 2 1 Ч VI — 4 2 — 1 о 1 ^ 7 t ) X Рис. 42 § 10. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает: 10.1. а) I/ = 5х; б) у = 2х +3; 10.2. а) у = х^; б) I/ = 2х^; ОЮ.З. а)у = х^, х^О; б) У = , л: 0; X в) у г) у
-Зх^, JC 0; в) У = — , д: > 0; X г) У= — , X 0; б) У = -Зд: + 1, д: 0; О10.9. а) у = -х^- + 4д: — 5, д: > 0; б) у = д:^ — 4д: + 1, д: ^ 0; в) у=^; г) «/ = I д; I, -4 0; г) у = -Зд:^ + бд: + 2, д: 0. 010.15. у = 4 — 2х^ у если -1 0. fix) = а) Найдите: /(-3); /(0); /(5); б) постройте график функции у = fix); в) перечислите свойства функции. ОЮ.17. Дана функция у = f
2х^ х, х>0. V + 3 — в) I/ = •:——-, д: > 1; 10.19. а) у = ^, л: >-3; _ , JC + 3 1 — д: 3-2х ^ ^ . 6-4:с 1-:с 2-д: Докажите, что функция убывает: 10.20. а) у = -х^ — 2х; в) у = х»^ — 5х, д: ^ 0; б) у = х^ — 0,5дг, д: А; в) I/ = 1 ’ ^ > 1; д: -1 2-Зх 6-Зл: 6) I/ = 2 + х’ ^ У = л » л: —3. 3 +л: 110.25. Исследуйте функцию на ограниченность: в) у — — 2х; -1 а) у = yjx^- 6jc + 8; 1 б) I/ = г) I/ = 10.26. 1/ = \jx^ — 6:с + 8 — 2х Постройте и прочитайте график функции: 2, если -3 О, Определите характер монотонности функции при X 0. Определите характер монотонности функции при JC 0. Определите характер монотонности функции при X 0. Определите характер монотонности функции при X о. Можно ли утверждать, что она при д: 0. Можно ли утверждать, что она при д: О, Можно ли утверждать, что она при д: 0. Можно ли утверждать, что она при д: 0. 2 + д:, если д: 0. 011.19. f(x) = X? ч если д: 0. 11,20. Исследуйте на четность функцию: а) I/ = ^х + 1; в) у= yJx-5-, б) У = х-2 х^-1 г) I/ = х + 2 х^ -16 77 11.21. Исследуйте на четность функцию: а) I/ = 4л: — 2х^ + 6х^; в) у = >/х ; х-2 У=——7 X + 4: :с — 9 11.22, Представьте функцию у — f 3\х +4; г) у = ^ X •11.32. а) у = -д: 1 д: 1; б) У =2^;; в) У = 2х\х\\ г •11.33. а) У = ^/Н; в) у = б) у = -i/Й + 2; г) У = yj\x — 3. •11.34. а) У = ■J(kl — в) У = 2 — д: — l)^ ; б) у = 4^- +1; г) у = Vl — — 2. § 12. ФУНКЦИИ у = X» (пем), их СВОЙСТВА и ГРАФИКИ 12,1. Постройте график функции: а) у = в) у = (х — 1)®; б) у = -х^; г) у = -х^ + 1. 79 012.2. Постройте график функции у — /(х), где /(х) = (х + 2)^ — 1. С помощью графика найдите: а) /(-1), /(-3), /(0); б) корень уравнения /(х) = -9; в) решение неравенства /(х) х; в) х^ > -8; г) х^ 0; -X, если X 0; С X , если X 1; L X х^, если X \х\-2; б) х^ 1. X 1, если -3 ^ X ^ -1; X , если -1 1. в) х^ — 1; г) у = -(X + ЗУ + 2. 12.29. у = 12.30. у = 1 , —, если X 1. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график: 12.31. а) у = X б) у = 12.32. а) I/ = (|х| — 2)^ в) у = —; X г) у = х2|х|. 6)у = -(|х| + 1)^ 83 12.33. Докажите, что уравнение не имеет корней: а) л:‘‘ + + 1 = 0; в) — 2х + 3 = 0; б) X® — X + 3 = 0; г) X® — ^х — 1 = 0. 12.34. Дана функция у — fix), где /(х) = х’’. Докажите, что /(2х) ■ f = (Ял:))^. 12.35. Дана функция у = fix), где fix) = -х*. Докажите, что ^ х^ Я4х)-/ — =ifix))\ 4, 12.36. Дана функция у = fix), где fix) = х’®. Докажите, что fix»‘)- fix ^) = fix). 12.37. Дана функция у = fix), где fix) = -х®. Докажите, что ifix)f : / ^ 1 ^ 1 4 —X 2 -Я2л:’). / § 13. ФУНКЦИИ у = X » (п 6 N), ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 013,1. Какая из точек А, В принадлежит графику функции У — fix), если: а) fix) = х“*, А ,В б)/(х) = хЛ Д(0; 0), В(-1;-1); в) fix) = X”®, Д. Hi ,В -;64 2 г)/(х) = хЛ А(-1;1), В(1;-1)? 13.2. Постройте и прочитайте график функции: а) I/ = —; 6) у = л:’®; в) I/ = х»®; г) у =— X* х» 84 Постройте и прочитайте график функции; 013.3. а) I/ = (х + 3)“^; б) I/ = — — 1; г) у = х»^ + 4. X’ 013.4. а) у = + 1; (X +1)’ 6)у = (х- 2)-^ + 3; в) 1/ = Т-2; (X — 3)’ г) I/ = (х + 4)-2 — 1. 013.5. Постройте график функции у = (х — 2)“^. Найдите промежутки убывания и возрастания функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот. 013.6. Постройте график функции у = х ^ — 1, Найдите область значений функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот. 013.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции У = х ^: а) на отрезке 1 ; в) на полуинтервале (-3; -1]; б) на луче (-оо; -2]; г) на луче [3; +оо). 013.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = а) на отрезке [-2; -1]; б) на луче -оо;-_ в) на полуинтервале г) на луче [2; +оо). 013.9. Найдите точки пересечения графиков функций: , 1. а) у = х и у = 3; в) у = X-’’ б) I/ = х-^ и у = -2; , 1 г) I/ = — X 013.10. Решите графически уравнение: в) х; г) х»^ = д/х. а) х»^ = х; б) = х^; X 85 Ol3.ll. Определите число решений системы уравнений: а) б) У У X 2; = X» 5 ’ У у = 3- 2х^; в) г) У У у у -1: = X -7 = у[х. Постройте и прочитайте график функции: 013.12. у = X если X 0. 013.13. у — X , если X 1, ^ ^ ^ . -2(х + 1)^ + 2, если -2 О, 013.15. Чему равно п, если известно, что график степенной функции у = х ^ проходит через заданную точку: а) б) 2; V 256 -2; — —» 32 в) г) 7; 343 -;625 5 013.16. Исследуйте степенную функцию у = х”^ на четность и ограниченность, если известно, что ее график проходит через заданную точку: а) (-1; 1); в) (1; 1); б) (-1; -1); г) (1; -1). 13.17. Пусть Р — наибольшее значение функции у = — 1 (X + 2У на отрезке [-1; 1], а Q — наименьшее значение функции I/ = х^ на отрезке [-1; 1]. Что больше: Р или Q? Сделайте графическую иллюстрацию. 86 Определите число решений системы уравнений: .-4 13.18. а) У = лr■^ у = х^ 4-, в) У = х у = 4-х*; б) У У X 2 ’ = 2 — ; г) У = —, X I/ = + 3. 013.19. Не выполняя построения графика функции у = (х + 2) ^ — 1, укажите: а) область определения и область значений функции; б) промежутки монотонности и промежутки знакопо-стоянства функции; в) уравнения асимптот; г) координаты центра симметрии графика функции. 13.20. Не выполняя построения графика функции у = (х — 1)“^ — 2, укажите: а) область определения и область значений функции; б) промежутки монотонности и промежутки знакопо-стоянства функции; в) уравнения асимптот; г) уравнение оси симметрии графика функции. 13.21. Постройте и прочитайте график функции: а) у = -1, если х 1; б)у = х-^ , если X 1. 13.22. Решите графически неравенство: а) х»^ > 2х — 1; в) х»^ у[х. •13.23. Даны функции у = f -^х + 2, р = 3. 14.23. Решите уравнение: а) + ^ = 6; 14.24. Решите неравенство: а) ^ > 1; в) ^ 2 — х; г) ^ 1, 14.26. Постройте график функции у = /(х), где 2(х + 4)^, если -6 2, у — ^ > 0; б) ху + I > о, у — ^ 0. Задайте h(x), если известно, что у = f 4л -1 — 94 Составьте одну из возможных формул л-го члена последовательности по первым пяти ее членам: 015.15. а) 1, 2, 3, 4, 5, . ; в) 6, 7, 8, 9, 10, . ; б)-2, -1, 0. 1, 2, . ; г) —1, —2, —3, —4, —5, . . о15.16. а) 1, 3, 5, 7, 9, . ; в) 4, 6, 8, 10, 12, . ; б) 3, 6, 9, 12, 15, . ; г) 4, 8, 12, 16, 20 о15.17. а) 1, 4, 9, 16, 25, . ; в) 2, 5, 10, 17, 26, . ; б) 4, 9, 16, 25, 36, . ; г) 1, 8, 27, 64, 125 015.18. Докажите, что число А является членом последователь- ности (yj, если: а) Уп = ^ в)Уп= Чп + 2)-\ А = ±; tl -г X О б) 1/„ = 2^» — А = 128; г) У^ = <п- - 1, А = 342. 015.19. Является ли членом последовательности (yj данное число В? Если является, то укажите номер соответствующего члена последовательности: а) Уа + 3, Б = -240; + 4л + 45 б) Уп = = 1,8; л» + 25 в) у^ = ^ 15л + 16, В = -40; г) Уг. = 243. Выпишите первые шесть членов последовательности (х^), заданной рекуррентно: 015.20. а) х^= 1, х^ = -х^_^ + 5 (л = 2, 3, 4, б) -5, х^ = + 10 (л = 2, 3, 4, . ); в) 1) х^ 2 “Ь ^п-1 2 б) Ь„ = 3,5 • , А = 14; в) Ь = г-б»-!, А = 1250; 2/ г) = (4з) , А = 32,4. 114 17.38. Укажите номера всех тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа А: а) 1, 3, 9, 27, . , А = 729; б) 3, 1,5, 0,75, . ,А = в) 243, 81, 27. г) 16, 8-Д, 8, . ,А = 1. 17.39. В конечной геометрической прогрессии указаны первый член знаменатель q и сумма всех ее членов. Найдите число членов прогрессии: a) = 5, g = 3, = 200; 6) bj — -1, g — —j 2 64 b) = 3, g = 2, = 189; r)5, = 3, = 17.40. a) Дана возрастающая геометрическая прогрессия (b^). Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если = Д, Ь^ = 81 л/з. б) Дана убывающая геометрическая прогрессия (Ь^). Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если Ь^ = 375, bg = 15. 17.41. а) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (Ь^). Найдите знаменатель прогрессии и сумму ее первых пяти членов, если Ь^ = 5, bg = 80. б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (Ь^). Найдите знаменатель прогрессии и сумму ее первых семи членов, если Ь^ = 1, bg = 8. 17.42. Первый член возрастающей геометрической прогрессии (Ь^) равен 4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. Найдите g и Ь^^, если известно, что прогрессия возрастающая. 17.43. Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. 17.44. Разность между вторым и третьим членами геометрической прогрессии равна 18, а их сумма 54. Определите первый член и знаменатель прогрессии. 115 17.45. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14, а трех последних 112. 17.46. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объем параллелепипеда равен 216 м^, а сумма длин всех его ребер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда. 17.47. Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии (6Д: а) 6^ — 3, ^ — yj 2\ в) bj = 9y[s, q = б) = ^/5, g = 7б; г) = ^12, q = (V2) \ Найдите сумму: 17.48. а) 1 + 2 + 22 + . + 2»; ч 1 1 , 1 в) — н—^ + . н— 3 3^ 3® б) 1-1+4-2 2^ . + »10 ’ г) 1 — 3 + 32 — 3^ + . — 39. 17.49. а) 1 + JC + + . + в) + jc® — . — б) JC + r) i + . +-^, X ^ 0. X X 17.50. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей четное число членов, отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знаменателю прогрессии. 17.51. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следую-пщх 20 минут делится опять на две и т. д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. 17.52. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в пер- 116 вый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвертый — 8 к. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? ) 17.53. Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию, Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9. ) 17.54. Сумма трех чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24, Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. >17.55. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000. ‘17.56. Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометрической прогрессии или как первый, второй, седьмой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа. 17.57. На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов, В результате во вторник вечером цена акции составила 99% от ее первоначальной цены в понедельник утром. На сколько процентов менялась котировка акции в понедельник и во вторник? 17.58. В результате трехкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз? 117 Домашняя контрольная работа № 4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Вариант 1 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа -/б : а) по недостатку; б) по избытку. 20 Постройте график последовательности у. =——, « + 2 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии. Составьте формулу п-го члена арифметической прогрессии (а^), если Пд = 64, — 22. Для прогрессии, приведенной в задании 4, найдите сумму всех ее положительных членов. Докажите, что если последовательность 6^ образует геометрическую прогрессию, то и последовательность . , 6^, . также образует геометрическую прогрессию. Дана геометрическая прогрессия (6^). Найдите если л/з L i г = -, Гз грессии Найдите сумму первых пяти членов геометрической про- ^ ^ ^ 2 ’ 4 ’ 8. Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна “28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры сотен вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. 118 Вариант 2 1. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа ^7 : а) по недостатку; б) по избытку. 2. Постройте график последовательности 3 3. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 7. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии, 4. Составьте формулу л-го члена арифметической прогрессии (aj, если 40, a^g = -22. 5. Для прогрессии, приведенной в задании 4, найдите сумму всех ее отрицательных членов. 6. Докажите, что если последовательность 6^, . , 6^, . об- разует геометрическую прогрессию, то и последовательность bf, &|, . , 6^, . также образует геометрическую прогрессию. 7. Дана конечная геометрическая прогрессия (6^). Найдите 1 4 если q = -3, Ьд = 8. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии л/З, -1, . . 7з 9. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. 10. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ §18. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ 018.1, Найдите количество всех: а) двузначных чисел; б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр; в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16; г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2. 018.2. Из цифр 4, 6, 7 составляют различные трехзначные числа без повторяющихся цифр. а) Найдите наибольшее число. б) Найдите наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7, в) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 7, можно составить? г) Сколько всего чисел можно составить? 018.3, Из цифр О, 1, 4, 8, 9 составляют двузначное число (повторения цифр допускаются), а) Найдите наибольшее число. б) Найдите наименьшее число, которое кратно 9. в) Сколько четных чисел можно составить? г) Перечислите все числа, которые кратны 8. 018.4. Для завтрака на кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу. Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака, б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток? в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром? г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на черный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром? 120 018.5. В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре черных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов. б) В скольких случаях в урне останется девять шаров? в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров? г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза, 018.6. В коридоре три лампочки. а) Сколько имеется различных способов освещения коридора, включая случай, когда все лампочки не горят? б) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что лампочки № 1 и № 2 горят или не горят одновременно? в) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что при горящей лампочке № 3 лампочка № 2 не горит? г) Сколько имеется различных способов освещения коридора, когда горит большинство лампочек? 018.7. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага прямоугольник, разделенный на четыре вертикальные полосы одинаковой ширины разных цветов: белого, синего, красного, зеленого. У каждой страны — свой флаг. Сколько всего стран: а) могут использовать такие флаги; б) могут использовать флаги с первой белой полосой; в) могут использовать флаги с третьей не зеленой полосой; г) могут использовать флаги с синей и с красной полосами, расположенными подряд? 018.8. В книжке-раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры — в разные цвета, а) Сколько существует способов раскрашивания? б) Сколько среди них тех, в которых круг — оранжевый? в) Сколько среди них тех, в которых треугольник — не красный? г) Сколько существует способов раскрашивания в холодные цвета? 121 018.9. На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: -3, -1, 1, 2, 7 (повторения допускаются). а) Сколько всего таких точек? б) Сколько точек лежит левее оси ординат? в) Сколько точек лежит выше оси абсцисс? г) Сколько точек лежит в круге радиусом 5 с центром в начале координат? 018.10. Известно, что х = 2’*3*5‘’ и а, 6, с — числа из множества <О, 1, 2, 3>(совпадения допускаются). а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет четных чисел? г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем? Вычислите: 018.11. а) 7!; б) 8!; 018.12. а) кч -iiL- 51 • 61’ 018.13. Делится ли 11! на: а) 64; б) 25; 018.14. Сократите дробь: п\ (я — 1)1’ п\ в) 6! — 51; ч у в) 491’ г) 7J, в) 81; г) 49? — 2)!’ 14! <2k + 1)!. <2k-l)V <4т - 1)! (4т-3)!‘ 018.15. Решите в натуральных числах уравнение: а) п1 = 7<п - 1)!; в) (к - 10)! = 77<к - 11)!; б) (т + 17)! = 420(т + 15)!; г) (3jc)! = 504(3jc - 3)1. 018.16. К хозяину дома пришли гости А, В, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. а) Сколько существует способов рассаживания? б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно? 122 в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя С следует посадить рядом с гостем А? г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем Z)? 18.17. Из цифр О, 2, 8, 9 составляют различные трехзначные числа (повторения цифр допускаются). а) Найдите наименьшее число. б) Укажите все числа, которые меньше 250, в) Укажите все нечетные числа, которые больше 900. г) Укажите все числа, которые кратны 40. 18.18. На дне портфеля лежат неразличимые на ощупь карандаши: два простых и три цветных. Ученик вынимает их по одному. Ему нужны цветные карандаши, и вынутый простой карандаш он отправляет обратно на дно портфеля, а цветной оставляет на столе. Такая операция повторяется трижды. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов. б) В скольких случаях все вынутые карандаши будут простыми? в) В скольких случаях все вынутые карандаши будут цветными? г) В скольких случаях среди вынутых карандашей цветных будет больше, чем простых? 18.19. В таблице собрана информация о выходе новостей на четырех телеканалах. 1-й выпуск 2-й выпуск и далее Канал № 1 (федеральный) 6-00 9-00 и далее через каждые 3 часа Канал № 2 (федеральный) 8-00 11-00 и далее через каждые 3 часа Канал № 3 (региональный) 6-00 10-00 и далее через каждые 4 часа Канал № 4 (городской) 9-30 11-30 и далее через каждые 2 часа Вы хотите выбрать один выпуск новостей. Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора в период: а) с 6-00 до 11-45; в) с 15-00 до 19-45; б) с 12-00 до 15-45; г) с 18-00 до 23-45. 123 •18.20. Учительница подготовила к контрольной работе четыре задачи на решение линейных неравенств, пять текстовых задач (две на движение и три на работу) и шесть задач на решение квадратных уравнений (в двух задачах дискриминант отрицателен). В контрольной должно быть по одной задаче на каждую из трех указанных тем. Найдите общее число: а) всех возможных вариантов контрольной; б) тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение; в) тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будет хотя бы один корень; г) тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней. 18.21. На контрольной будет пять задач: по одной из пройденных пяти тем. По каждой теме учитель составил список из десяти задач. Известно, что на контрольной будут задачи именно из этих списков. По каждой теме ученик умеет решать восемь задач и не умеет решать две задачи. Найдите; а) общее число всех вариантов контрольной; б) число вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач; в) число вариантов, в которых ученик не решит ни одной задачи; г) число вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой. •18.22. Известно, что х = и а, Ь, с — различные числа из множества <О, 1, 2, 3>. а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет нечетных чисел? г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12? 18.23. а) Точки (0; 0), (2; 0), (3; 2) являются вершинами треугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами А, В, С? б) Точки (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) являются вершинами трапеции. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами К, L, М, Л^? 124 в) Точки (1; -3), (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами Р, S, Т, Q? г) В скольких случаях в задании в) PR будет одной из сторон? 18.24. В волейбольной команде шесть человек, а на площадке шесть позиций (номеров) для их расстановки. а) Сколькими способами команда может расположиться на площадке? б) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится на подаче? в) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится не на подаче? г) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится или на подаче, или на месте разыгрывающего? 18.25. Упростите выражение: (п + 2)1<п^ - 9). а) б) в) г) (п + 4)! п - п (п - 2)! (л + 1)1’ 25/л^ - (5т + 1)1 1^5 (5т - 2)1) (Зк + 3)!- kl . (к + 3)!(3fe + 1) (3^)! • 31()^ + 5^ + 6) ‘ § 19. СТАТИСТИКА — ДИЗАЙН ИНФОРМАЦИИ 19.1. Укажите общий ряд данных следующих измерений: а) веса (в кг) взрослого человека; б) длины слова (количество букв в слове) русского языка; в) числа страниц в ежедневной газете; г) текущих отметок в школьном дневнике. 19.2. Укажите общий ряд данных следующих измерений: а) результатов прыжков в высоту (с точностью до 5 см) среди мальчиков 9-го класса; б) площади (в м^) кухни в городской квартире; в) высоты потолков (в дм) в городской квартире; г) суммы отметок в выпускном школьном аттестате за знания по русскому языку, литературе и математике. 125 019.3. Продавец записывал вес каждого проданного арбуза (с точностью до 0,5 кг). У него получились такие данные; 8 5 6 7 5 8 8 12 6.5 7 8.5 9 11 10,5 7 8 9,5 L0 8 10 10 8 8,5 7 11 12 7 6 8,5 8 11 10,5 8 10 9 11 6 7 9 8 7 7 6 8 8 6,5 8 6 9 10 7 10 10,5 8 10 12 11 9 И 8 а) Сколько арбузов он продал? б) Каков общий ряд данных измерения веса арбуза? в) Укажите наименьшую и наибольшую варианты этого измерения. г) Какова кратность варианты 5, варианты 8, варианты 12? д) Приведите пример числа из общего ряда данных, которое не является вариантой этого измерения. 019.4. Результаты измерения роста (в см) девятиклассников представлены в таблице: 162 168 157 176 185 160 162 158 181 179 164 176 177 180 181 179 175 180 176 165 168 164 179 163 160 176 162 178 164 190 181 178 168 165 176 178 185 179 180 168 160 176 175 177 176 165 164 177 175 181 а) Каков общий ряд данных измерения роста девятиклассников? б) Укажите наименьшую и наибольшую варианты проведенного измерения, в) Какова кратность варианты 168, варианты 179? г) Приведите пример числа из общего ряда данных, которое не является вариантой этого измерения. 019.5. Ценники в продуктовом магазине распределили по ценовым категориям. Получилось такое распределение (граничную цену относят к более высокой категории): Цена, р. 0—20 20—50 50—100 100—150 150—200 >200 Кол-во ценников 31 52 47 38 19 13 а) Найдите объем измерения, т. е. количество распределенных ценников. б) Какова частота варианты «от 100 до 150 р.»? в) Какова процентная частота варианты «больше или равно 200 р.»? г) Дополните таблицу строкой частот вариант и строкой их процентных частот. 126 о19.6, В специализированном спортивном магазине продается 50 видов велосипедов. Они распределены по цене (граничную цену относят к более высокой категории): Цена, тыс. р. До 3 3—6 6—9 9—12 12—15 >15 Кол-во видов 3 8 19 ? 11 2 а) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р,? б) Какова частота очень дорогих (> 15 тыс. р.) велосипедов? в) Какова процентная частота относительно дешевых ( 2; г) |л: + 4| /7; SVS; 2^11 в порядке возрастания. 1) 5>/3; 3>/7; WE; 2^/П; 3) 3>/7; 4л/Е; 5>/3; 2N/il; 2) 2n^; 3n/7; 5>/3; 4^/5; 4) 2л/П; ЗЛ; 4ч/Е; 5>/3. 29. Расположите числа 7-УЗ; 8^2; 4>/7; 5>/б в порядке убывания, 1) 4>/7; 5^/6; 7ч/3; 8n/2; 3) 5>/б; 7л/3; 8>/2; 4V7; 2) 8л/2; 7V3; 5л/б; 4%/7; 4) 5л/б; 8>/2; 7л/3; 4>/7. 30. Вычислите: (-SVE) -ь J4—. V 31. Вычислите: J5 — (0,2>/l0) . V 16 32. Вычислите: Vll3^ — 112^ -i- (>/7 -i- б)(у/7 — б). „„ „ V2442 — 2402 33. Вычислите: _ 4)(^ + 4)’ 34. Вычислите: 3\/б4 — (-0,2\^) . 35. Вычислите: (-3^0,2) + 0,5^216. 36. Вычислите: (5>/2) + (-2>/з)^. 37. Вычислите: (2Vs) — (?\/2) . 38. Найдите значение выражения V? — л/й» ■ V? + 39. Найдите значение выражения 7б + 2л/б. 40. Найдите значение выражения >/(5 — л/^) + д/(4 — . 41. Найдите значение выражения д/(б — + д/(7 — >/41У . 42. Найдите значение выражения ^9 + 4>/5 — Vs. 43. Найдите значение выражения — V?. 145 Алгебраические выражения 1, Кинетическая энергия вычисляется по формуле Е разите из этой формулы скорость о. mV . Вы- 04 2£. 2)v= J—; V ш 4) . = if I . 2. При равноускоренном движении ускорение вычисляется по формуле а = ^ • Выразите из этой формулы начальную скорость Vq. 1) Oq = a^ — о; 3) Oq = о — at; V 2) Uq — j — а; 4) Oq = О + at. 3. Упростите выражение 1) а®; a‘^ ■ а“® 2) а-з; 3) / д4ЧЗд-12 4. Упростите выражение ^д^-5д? • 1) 0; 2) а^; к Л7- (2af ■ 4а-2 5. Упростите выражение —(4^зр—• 3) а-^; -2 4) а-“. 4) 1) 2а-‘»; 2) 2а-“; 3) 8а-^; ^ ,, 36-‘ ■ (Эб’О’ о. Упростите выражение — (do ) 513 1) Т’ 2) 276′»; 3) 96’“; 4) 276″. 7. Упростите выражение (Зхг/)^ ■ (Зх ^ : (9д:^г/^). Зл:»г/’ 2) 3) |х»у»; 4) oX^Y- 8. Упростите выражение (Ттг^п^) : (7тп»п’‘)-» ■ (49тп-‘п'»)-‘. 1) 343ffi»‘n^ ’ 2) 49ffi» 3) 9 18 ’ 4)^ TV 146 „ (6ab^r-3a-^ 9. Упростите выражение —(2a ^bf— 1)81Ь®; 2) 3) — 4)126*. 10. Упростите выражение is*» • ‘ 1) jL. 5л:*’ 2) 3) -6,,6 Г. 25 ’ 11. Найдите значение выражения —при х X X 1) 4; 2) 9; 3) -9; л, 4) • 1 3’ 4) 1. 12. Найдите значение выражения ^у-у при у = l)-l|; 2)-з|; 3) 27? 4) 4а^ — 25 13. Найдите значение выражения _ g— при а = 0,05. 1) -1,7; 2) -0,2; 3) -2; 4) 1,7. -15Х-40 2 14. Найдите значение выражения при л: = —д. 1) 2) -0,5; 3) 0,5; 4) -|. , к ТТ Ч. — 16а +64 п А 15. Найдите значение выражения —j g-— при а = -0,4. 1) -1,5; 2) 0,15; 3) 1,5; 4) 1,05. 36 — у* 3 16. Найдите значение выражения ^2 _ i£y + за У при х = 2’ I У=Ъ‘ „ „ 2п + Зт 9т- 2п 2 Найдите значение выражения ——Qnfn ™ “ 3’ I л = 2- 29. Найдите наименьшее значение выражения 2х^ — 8х — 7. 148 25. 26. 27. 28. 30. Найдите наибольшее значение выражения 3х^ — бх + 5. ^ 3 ^0 ^ 2 31. Упростите выражение _ 2q 2х — 8′ с — 6 2с — 7 32. Упростите выражение g ^ ^2с ” 15с + 10* 10^ 5 33. Найдите значение выражения Jq _ ^ — 4 х = 1, о. XX . 6 , 12а 34. Найдите значение выражения ^ ^ + ^2 _ 49 при а = -5, 3i/ 35. Найдите значение выражения ^ ^ при лс= 1, г/ = -1,5. 36. Найдите значение выражения с2 — 49 2с + 14 lOcd bd при с = 0,5. X ^ и ^ 37. Найдите значение алгебраической дроби —если “ =0,2, у 38. Найдите значение алгебраической дроби X У у 2 , если ^ = 5. 39. Зная, что ——^ = 6, найдите —. У У 40. Зная, что ——= -2, найдите —. X у 41. Сколько существует натуральных значений п, при которых алгебраическая дробь -—является целым числом? 42. Сколько существует натуральных значений п, при которых алгебраическая дробь —является целым числом? 43. Сколько существует натуральных значений п, при которых алгебраическая дробь ^ является натуральным числом? 44. Найдите сумму натуральных значений п, при которых алгеб- 30-7п раическая дробь п является натуральным числом, тт « ,ffi+l ffi-l\. 2т 45, Найдите значение выражения ” т 11 5т — 5 1 т=д. 149 46. Найдите значение выражения при а — -0,2, Ь = 0,3. 47. Найдите значение выражения 3 + V 4 81- f 48. Найдите значение выражения 2 — а — Ъ а + & 3 — yfx + 2аЬ + 6^ (л: — 6\fx + 9) при 2^ ^ 4х — 2 8 X — 4 при х = 2,56. Функции и графики 1. Укажите функцию, графиком которой является прямая. 1) О, & > 2) а > О, & > 46. На рисунке у — ах^ + Ьх 1) а 2) а О, Ь > 2) а > О, Ь > 72 изображен график квадратичной функции + с. Определите знаки коэффициентов а, 6 и с, О, с > 0; 3) а > о, Ь 0; О, с О, О, с > 0; О, с 0. 74 изображен график квадратичной функции -h с. Определите знаки коэффициентов а, Ь и с, О, с > 0; 3) а > О, 0; О, с О, Ь О, с 0, с > 0; 2) а 0. 49. Укажите функцию, графиком которой является гипербола. 2)j/=f; 3) г/ = ^; 4) г/ = 50. Укажите уравнение, графиком которого является гипербола. 1) х^ + 2у = 1; 3) xi/ + 2 = 0; 2) Зд; + i/ = -2; 4) х^ + у^ = 1. 51. Укажите функцию, графиком которой не является гипербола. 1)У^ х-1 2)у=^ -1; 3)у = х-^; У = х-1 52. Функция задана формулой У = Определите значение коэф- фициента к, если известно, что график функции проходит через точку (-0,3; -2,1). 1) 6,3; 2) 7; 3) 0,63; 4) f fC 53. Функция задана формулой у = —]—т* Определите значение ко- эффициента если известно, что график функции проходит через точку (-8; 2,4), 1) -9,6; 2) -0,6; 3) 28,8; 4) -15,2. к 54. Функция задана формулой у ——27. Определите значение коэффициента А, если известно, что график функции проходит через точку (6; -87). 1) -19; 2) -10; 3) -684; 4) -360. к 55. Функция задана формулой у = ^ + 24. Определите значе- ние коэффициента А, если известно, что график функции проходит через точку (-9; -6). 1) 450; 2) 2; 3) -450; 4) 6. 56. Определите точки, принадлежащие графику функции у = — если а(-; -17б], в(-15^/2; бТз), c(loV5; зТб), D \ 1) А, В; 2) А, С; 3) В, В; 4) С, D. -1|; 80 159 324 57. Определите точки, принадлежащие графику функгщи у —— X — oU если А(-6; -9), В(6; 13,5), С(18; -27), £)(29,5; -648). 1) А, В, С; 2) А, С, D\ 3) В, С, D; 4) А, В, D. 58. Определите точку, которая н£ принадлежит графику функции 192 У = + 54. X 1) А(6; 22); 2) С(-12; 70); 3) D(48; 58); 4) Б(4,8; 14). 59. Определите точки, принадлежащие графику функции 144 У = д: + 5 — 84, если А(-11; 60), В(13; -76), С(-3; 12), £)(-6,5; -180). 1) А, Б; 2) В, С; 3) С, Б; 4) В, D. 60. Найдите область определения функции у = х-4’ 1) (-оо; 4); 2) (-оо; 4) и (4; +оо); 3) (-оо; +оо); 4) (4; +оо). 61. Найдите область определения функции у = ——^ + 1. «Г О 1) (-оо; -3) и (-3; +оо); 3) (-оо; +оо); 2) (-3; +0О); 4) (-оо; 1) и (1; +оо). 62. Найдите область определения функции у = 2(д: + 9)“’. 1) (-9; +0О); 3) (-оо; 0) U (0; +0О); 2) (-оо; -9) и (-9; +оо); 4) (-оо; +оо). 63. Найдите область определения функции у = -3(д: — 5)“^ — 7. 1) (-оо; 7) и (7; +оо); 3) (-оо; +оо); 2) (5; +СХЗ); 4) (-оо; 5) U (5; +оо). 64. Укажите множество значений функции у = — +2. X 1) (“Оо; +оо); 2) (-оо; 2) и (2; +оо); 3) (-оо; 0) и (0; +0О); 4) (2; +00). 65. Укажите множество значений функции у = 2х^. 1) (-оо; +00); 3) (0; +оо); 2) (-оо; 0) и (0; +0О); 4) (-оо; -2) U (-2; +оо). 66. Укажите множество значений функции у = 1) (-оо; 0) и (0; +0О); 2) (-оо; +00); д: + 2 3) (-оо; -2) и (-2; +оо); 4) (1,5; +00). 160 Рис. 76 Рис, 77 4 67. Укажите множество значений функции у = ^ _ g 3) (-схз; 6) и (6; +оо); 4) (-схз; -6) и (-6; +СХЗ). — 6. 1) (-схз; +СХЗ); 2) (-схз; 8) и (8; +схз); 68. Укажите множество значений функции у = (х — 2) ^ + 8. 1) (-схз; 2) и (2; +СХЗ); 3) (8; +схз); 2) (-схз; 8) и (8; +схз); 4) (-схз; +схз). 69. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 76. 1) ху ^ 1; 2) у = (х — 2)-*; 3) ху = 2; 4) ху = 4. 70. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 77. 1) д:г/ + 3 = 0; 3) д:р — 3 = 0; 2) ху — 1 = 0] 4) р = + 3. 71. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 78. д: + 1. 1) 0? 1) (-2; 2); 2) (6; 7]; 3) (-2; 2) U (6; +оо); 4) (6; +оо). 93. На рисунке 91 изображен график функции у = f(x). При каких значениях х выполняется неравенство f у = -21. 69. Найдите значение выражения где пары чисел (Xi\ r/J, yi У2 (Xg; У2) являются решениями системы уравнений ху = 60, X — £/ = -11, 70. Найдите значение выражения x^i/i + X2I/2) где пары чисел (Xii Ух), (Ха; У2) являются решениями системы уравнений Х^ + XI/ = 6, [7х — XI/ = 2. 71. Найдите значение выражения х^ух + Х2У2, где пары чисел (Xii Ух), (Xg; У2) являются решениями системы уравнений ху -1/2=7, ху + 5у = 13. 72. Определите, сколько решений имеет система уравнений х’^ + 4х = у — 2, X + у + 2 = 0. 73. Определите, сколько решений имеет система уравнений х^ + у = 2х + 2, у — 3 = 0. 180 74. Определите, сколько решений имеет система уравнений + 1/2 = 16, 9х-11. 1) (-°о; -6); 2) [-6; +СХ)); 3) (-6; +сх.); 3. Решите неравенство 0,3 + 0,2х > 0,6х — 4,1. 1) [11; +00); 2) (-оо; 11]; 3) (-00; Ц); 4. Решите неравенство 2,2х — 0,1 ———х. 6 8 12 4 1) L3’ 2) (1,5; +0О); 3) (|; +оо); 4) (-1,6; +оо). — ^ 11 + Зх ^ 8х — 2 7. Решите неравенство ——— > 12 1) (-оо; -9); 2) (9; +оо); Q О 15 + Зх 8. Решите неравенство 15 3) (-оо; 9); 7л: — 9 4) (-9; +00). 20 32 1) (-оо; -15]; 2) [-15; +оо); 3) [15; +оо); 9. Решите неравенство \2х — 4\ > 1, 1) (-оо; 1,5] и [2,5; +00); 3) [2,5; +оо); 2) [1,5; 2,5]; 4) (2,5; +оо). 10. Решите неравенство |5 — х| > 4. 4) (-оо; 15]. 1) (-1; 1); 2) (-оо; 1); 3) (-оо; 1) и (9; +оо); 4) (1; 9). 11. Решите неравенство х^-7х+12 9х. 1) (-оо; 0] и [2,25; +оо); 3) [2,25; +оо); 2) [0; 2,25]; 4) (-оо; -1,5] U [1,5; +оо), 18. Решите неравенство 4х 196. 1) [14; +0О); 3) [-14; 14]; 2) (-оо; -14) и (14; +оо); 4) (-оо; 14] и [14; +оо). 21. Решите неравенство (х — 2)(х + 3)(8х — 2) 0. 1) -4; I и [6; +00); 3) [-6; -4) и +оо]; 2) [-4; 3] и [6; +оо); 4) (-оо; -4) U б). 23. Решите неравенство х(х + 7)(3 — 6х) > 0. 1) [-7; 0] и [0,5; +оо); 3) (-оо; -7] U [0; 2]; 2) (-оо; -7] и [0; 0,5]; 4) [-7; 0,5]. 24. Решите неравенство (2х — 1)(4 — 12х) <х + 9) 0. 0. 1) (-1,5; 0); 3) (-1,5; +оо); 2) (-оо; -1,5) и (0; +00); 4) (-1,5; 0) U (0; +оо). 34. Решите неравенство (х + 3)^(х - 2) 0. 1) 0 и (2; +оо); 3) [2; +00); 2) (2; +00); 4) (-оо; 0] и (2; + 00). X + 2 >0. 38. Решите неравенство 1) [-2; 4) и (4; +сх>); 3) [-2; 4]; 2) (-00; -2] и (4; +оо); 4) [-2; +оо). __2х + 1 39. Решите неравенство ————- 0. — 9х 1) (0; 9); 2) (-00; 0) и (9; +00); 3) (-оо; -3) и (3; +00); 4) решений нет. .FT + 2л: + 5 ^ л 47. Решите неравенство —г——2— 0. 1) (-1; 1); 3) решений нет; 2) (-оо; -1) и (1; +00); 4) (-оо; 1). 49. При каких значениях переменной выражение V56x Y имеет смысл? 1) (-8; +00); 3) [-8; +оо); 2) +оо); 4) —; +00 . L 8 / 50. При каких значениях переменной выражение имеет смысл? 1) (0,4; +00); 3) [0,4; +00); 2) [2,5; +0О); 4) (2,5; +00). При каких значениях переменной выражение имеет смысл? 1) (|; +ooj; 3) (-00; 1) • > 2) (-00; 1); 4) (-00; 1 • 52. При каких значениях переменной выражение л/х^+бх имеет смысл? 1) (-оо; -6) и (0; +оо); 2) [-6; 0]; 3) (-оо; -6] и [0; +00); 4) (-6; 0). 187 53. При каких значениях переменной выражение име- ет смысл? 1) (-оо; -6) и (6; -Юо); 3) (-00; -6] U [6; -1-00); 2) (-6; 6); 4) (-6; 2] U (6; +оо). 54. Найдите область определения функции у = -Jbx + 1. 1) д: > -5; 2)х -0,2; 4) х > -0,2. 1 ‘5х — 2 ■ 4) х > 0,4. 55. Найдите область определения функции у = 1) д: > 2,5; 2)х> 0,4; 3) х > 2,5; 56. Найдите область определения функции у = •v/(l-T0xp^. 1) д: 0,1; 3) д: 10. 57. Найдите область определения функции у = ‘Jx^ — 49. 1) [7; +00); 3) [-7; 7]; 2) (-00; -7) и (7; +оо); 4) (-00; -7] и [7; +оо). 58. Найдите область определения функции у = yj(x^ — 169)”*. 1) (-со; -13) и (13; +00); 3) (-13; 13); 2) (13; +00); 4) (-00; -13] и [13; +оо), 59. Найдите область определения функции у = V225 — х^. 1) (-оо; -15] и [15; +00); 3) [-15; 15]; 2) (-15; 15); 4) (-оо; 15]. 60. Найдите область определения функции у = 7(196 — д:^)»^. 1) (-14; 14); 3) (-оо; -14) U (14; +оо); 2) [-14; 14]; 4) (-оо; 14). 61. Найдите область определения функции у = -Jx^ — 6д — 7. 1) (-оо; -1) и (7; +оо); 3) (-оо; -7] U [1; +00); 2) [-1; 7]; 4) (-оо; -1] и [7; +оо). 62. Найдите область определения функции у = + 5д: + 4)“^. 1) (-оо; -4) и (-1; +оо); 3) (-оо; 14) U (4; +оо); 2) (-4; -1); 4) (-оо; -4] U [-1; +оо). 63. Найдите область определения функции у = V8 + 2д — д^. 1) (-°о; -2] и [4; +оо); 3) [-2; 4]; 2) (-оо; -4] и [2; +оо); 4) (-2; 4). 188 64. Найдите область определения функции у = >/(12 — х — х^)’^. 1) (-3; 4); 2) [-4; 3]; 3) (-оо; -4) и (3; +0О); 4) (-4; 3). 65. Решите систему неравенств 1) [2; 6]; 2) (-оо; 6]; 66. Решите систему неравенств 1) (-СХ); 3); 2) (3; 5]; 16х — 96 о, 9 — Зх 0. 1) [ 7; -4); 2) (-оо; -4); 3) решений нет; 4) (-оо; -7], 68. Решите систему неравенств ■ 1) (-оо; -7]; 2) [-7; +оо); 69. Решите систему неравенств ■ -28 — 4л: 5л: — 1. 1) [-1; 2] и (6; +00); 3) (-оо; -1] и [2; 6); 2) [-1; 2]; 4) решений нет. 70. Решите систему неравенств 1) (2; 5); 2) (-С»; -2) и (5; 6); -3 7л: + 3. 71. Решите систему неравенств |_Л 1) [1; 6]; 2) (-оо; 3); 3) [1; 3); 4) (3; 6]. 72. Решите систему неравенств 1) (-1; 0]; 2) [0; 4); -4 0. 1) (-00; -7] и [9; 10); 3) [9; 10); 2) [-7; 9] и (10; +оо); 4) (-оо; -7]. 75. Решите систему неравенств • О, 1 — Зх > -9. 1) (-оо; -0,3); 2) (-оо; -8); 76. Решите систему неравенств 1) (-11; -9] и [5; +оо); 2) (11; +00); 3) (-8; у) и (5; +00); 4) (5; +0О). х^ + 4х — 45 0. 91. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее нера- 17 венству ‘_»4 0- 92. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее нера- Зд:- 11 / л венству ^ g ч о, 93. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее нера- -25 ^ п венству ^ ^ g ч 0. 94. Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства -5 о? 192 104. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству 9х^ — 5х- 4^ о? 105. Сколько целых чисел не удовлетворяют неравенству -4×2 + 5х + 9 о, X + 3 2х + 6 4. 112. Сколько целых чисел содержит решение неравенства 113. Сколько целых чисел содержит решение неравенства yJSx + 18 1 — X > о? 114. При каких значениях п квадратное уравнение х2 -h (л — 2)х — (л — 5) = о имеет два корня? 115. При каких значениях п квадратное уравнение х2 — (л + 1)х — (л — 2) = о не имеет корней? 7 Мордкович, 9 кл., ч. 2 193 Задачи на составление уравнений или систем уравнений 1. После рекламной кампании спрос на товар увеличился в 4 раза. На сколько процентов увеличился спрос на товар? 1) 400%; 2) 25%; 3) 300%; 4) 75%. 2. Во время сезонной распродажи цена на товар уменьшилась в 4 раза. На сколько процентов уменьшилась цена на товар? 1) 400%; 2) 25%; 3) 300%; 4) 75%. 3. В связи с инфляцией цена на товар возросла на 150%. Во сколько раз возросла цена на товар? 1) в 1,5 раза; 2) в 2,5 раза; 3) в 2 раза; 4) в 150 раз. 4. Цена на товар была сначала снижена на 10%, а затем еще на 20%, На сколько процентов была снижена цена товара по сравнению с первоначальной? 1) 30%; 2) 72%; 3) 18%; 4) 70%. 5. Цену товара сначала повысили на 50%, а затем понизили на 20%. Во сколько раз изменилась цена товара? 5 1) в 0,2 раза; 2) в 0,3 раза; 3) в 1,2 раза; 4) в g раза. 6. Цена на товар была снижена на 10%, а затем повышена на 10%. Как изменилась цена на товар? 1) цена на товар осталась без изменения; 2) товар стал дороже на 0,1 %; 3) товар стал дешевле на 0,01%; 4) товар стал дешевле на 1 %. 7. Цену на товар понизили на 20%. На сколько процентов необходимо повысить цену товара, чтобы она стала первоначальной? 8. В первый день туристы прошли 30% всего пути, во второй день — 120% пути, пройденного в первый день, а в третий — остальные 34 км. Сколько километров составлял весь путь? 9. Руда содержит 72% железа. Сколько тонн железа получится из 360 т руды? 10, Рубашка дешевле пиджака на 80 %, а пиджак дороже брюк на 100%. На сколько процентов рубашка дешевле брюк? 11, Сливки составляют 20% всего молока, а сливочное масло — 25% сливок. Сколько литров молока необходимо взять, чтобы получить 180 г сливочного масла? (Масса 1 л молока равна 1 кг.) 194 12. К 180 г воды добавили 20 г соли. Определите процентное содержание соли в полученном растворе. 13. К 30%-му раствору серной кислоты добавили 60 г воды и получили 10%-й раствор. Найдите массу первоначального раствора серной кислоты. 14. Какое количество воды надо добавить к 3 л 36%-го раствора соли, чтобы получить 24%-й раствор? 15. Один сплав содержит 55% цинка, а другой — 70% цинка. После переплавки получили 750 г нового сплава с 60%-м содержанием цинка. Сколько граммов цинка содержалось в первом сплаве? 16. Смешали два раствора соляной кислоты 15%-й и 7%-й концентрации, после чего получили 480 г раствора 10%-й концентрации. Найдите массу 7%-го раствора. 17. В конце года банк начисляет 9% к сумме вклада. Какую сумму получит вкладчик через 2 года, положив 30 000 р.? 18. В конце года банк начисляет 4% к сумме вклада. Какую сумму получит вкладчик через 3 года, положив 25 000 р.? 19. Швейная мастерская сшила всего 2600 детских спортивных костюмов, курток и комбинезонов. Комбинезонов сшито на 220 меньше, чем курток, а спортивных костюмов в 2 раза больше, чем курток. Сколько сшито спортивных костюмов? 20. Во время озеленения района было посажено всего 6780 деревьев. Из них лип посажено в 2 раза больше, чем кленов, а каштанов на 1200 меньше, чем лип. Сколько лип посажено в районе во время его озеленения? 21. Из пункта А в пункт В вышла моторная лодка со скоростью 12 км/ч. Через 4 ч вслед за ней вышла вторая моторная лодка, скорость которой 14 км/ч. Найдите расстояние между пунктами А и Б, если обе моторные лодки прибыли в пункт В одновременно. 22. Катер прошел расстояние между пунктами А и Б по течению реки за 4 ч 30 мин, а в обратную сторону за 6 ч 18 мин. Определите расстояние между пунктами А и Б, если скорость течения реки 2,4 км/ч. 23. Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 2 см, то его площадь увеличится на 126 см^. Найдите периметр прямоугольника. 195 24. Один катет прямоугольного треугольника на 17 см меньше другого. Найдите площадь этого треугольника, если гипотенуза равна 25 см. 25. Бассейн наполняется водой через одну трубу за 4 ч, а через вторую за 6 ч. Через сколько часов наполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно? 26. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить заказ за 3 ч 36 мин. Первый рабочий, работая один, может выполнить этот заказ за 6 ч. Сколько времени необходимо второму рабочему для выполнения заказа, если он будет работать один? 27. За 2,5 м шерстяной ткани и 4 м хлопчатобумажной ткани уплатили 2120 р. В конце сезона цена на шерстяную ткань снизилась на 20 %, а на хлопчатобумажную ткань повысилась на 10%, и такая покупка стала стоить 1882 р. Найдите первоначальную цену каждого вида ткани. 28. За 8 футболок и 10 спортивных маек уплатили 4560 р. Во время распродажи цена на футболки была снижена на 25 %, а на спортивные майки на 10% и такая покупка стала стоить 3780 р. Найдите первоначальную цену каждого вида товара. 29. Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, выехали одновременно два поезда и встретились через 4 ч. Если бы второй поезд выехал на 50 мин раньше первого, то они встретились бы через 3 ч 36 мин. Найдите скорость каждого поезда. 30. Катер может пройти 80 км по течению реки и 40 км против течения за 6 ч 30 мин, а 40 км по течению и 80 км против течения за 7 ч. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки. 31. Если длину данного прямоугольника увеличить на 8 см, а ширину на 6 см, то площадь прямоугольника увеличится на 632 см^. Если же длину уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 8 см, то площадь прямоугольника увеличится на 164 см^. Найдите периметр данного прямоугольника. 32. Скорость пассажирского поезда на 20 км/ч больше скорости товарного поезда, поэтому расстояние 700 км пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость товарного поезда. 196 33. Расстояние 36 км один лыжник прошел на 0,5 ч быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, если скорость одного из них на 1 км/ч больше скорости другого, 34. Расстояние между двумя пристанями 105 км катер проплывает по течению реки на 2 ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 18 км/ч, 35. Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторое задание за 6 дней. Одна бригада, работая отдельно, может выполнить это задание на 5 дней быстрее, чем вторая. За какое время может выполнить все задание вторая бригада, работая отдельно? 36. Две копировальные машины, работая одновременно, могут выпонить работу за 12 мин. Если будет работать только первая копировальная машина, то она может выполнить всю работу на 10 мин быстрее, чем вторая. За сколько минут всю работу может выполнить вторая копировальная машина? 37. Один асфальтоукладчик может выполнить задание на 15 дней быстрее, чем другой. После того как первый асфальтоукладчик проработал 10 дней, его сменил другой и закончил работу за 30 дней. За сколько дней могут выполнить всю работу два асфальтоукладчика, работая одновременно? 38. Один экскаватор может вырыть котлован на 10 ч быстрее, чем другой. После того как первый экскаватор проработал 10 ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за 15 ч. За сколько часов могли бы вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременно? Арифметическая и геометрическая прогрессии 1. Укажите последовательность чисел, которая является арифметической прогрессией. 1) 2; 3; 5; 8; . 3) 2; 4; 8; 16; . 2) 2; -2; -6; -10; . 4) 2; -1; 10; -7; 18; . 2. Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией. 1) 2; 3; 5; 8; . 3) 16; 8; 4; 2; . 2) 2; -2; -6; -10; . 4) 2; -1; 10; -7; 18; . 197 3. Укажите первые три члена арифметической прогрессии (а„), если Cl = 0,5; d = 1,5. 1) 0,5; 1,5; 2,5; 3) 0,5; 0,75; 1,125; 2) 0,5; -1; -2,5; 4) 0,5; 2; 3,5. 4. Укажите первые четыре члена арифметической прогрессии (а„), если = -3; d = -2,3. 1) -3; -2,6; -4,9; -7,2; 3) -3; -5,3; -7,6; -9,9; 2) -3; -0,7; 1,6; 3,9; 4) -3; 6,9; -15,87; 36,501. 5. Укажите первые пять членов геометрической прогрессии (6„), если = 0,3, q = 2. 1) 0,3; 0,6; 0,12; 0,24; 0,48; 2) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; 3) 0,3; 0,9; 0,27; 0,81; 0,243; 4) 0,3; 0,15; 0,075; 0,0375; 0,01875 6. Укажите первые четыре члена геометрической прогрессии (&„), если = 27, q = 1) 27; -9; 3; -1; 2) 27; -9; -3; -1; 3) 27; 2б|; 26^; 26; О О 4) 27; 9; 3; 1 . 7. Последовательность (а„), — арифметическая прогрессия. Най- 2 W 1 дите Пд, если Cj = д» о = —д- 1)3; 2)-l|; 3)-3; 4)-2. 8. Последовательность (а„) — арифметическая прогрессия. Най- ^ d-4’ ® — 4 4) 7. дите ад, если Ui = d = -f. 1)2|; 2) -з\; 3)5|; 9. Последовательность (bj — геометрическая прогрессия. Найдите &4, если bi = -3, Я 1) 0,375; 2) -0,5; 3) 4) -|. 10. Последовательность (6J — геометрическая прогрессия. Найдите если = V2, q -V2. 1) 2V2; 2) -8; 3) 8V2; 4) -4V2. 198 11. Найдите седьмой член арифметической прогрессии -24; -21; -18; . 1) -6; 2) -42; 3) -3; 4) 3. 12. Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии 12; 8; 4; . 1) 36; 2) -32; 3) 56; 4) -36. 13. Найдите шестой член геометрической прогрессии 6; 3; 1,5; . 2) 0,6; 3) 192; 4) 60. 16’ 14. Найдите седьмой член геометрической прогрессии -10; 20; -40; . 1) 1280; 2) 3) 4) -640. 15. Найдите разность арифметической прогрессии (а„), если 49. 1) 4; 2) 10; 3) -4; 4) 3,5. 16. Найдите разность арифметической прогрессии (aj, если С1^ — ”18, ^10 “ 13. 1) 0; 2) 4; 3) -4; 4) 3,6. 17. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (6„), если = -4, &б = 3* 1) 2) 3) -2; 4) 18. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (6„), если Ь, = 2, = 162. 1) 3; 2) -3; 3) ±3; 4) ±9. 19. Найдите первый член арифметической прогрессии (aj, если 5,1, d — “0,3. 1) 1,5; 2) 1,2; 3) 9; 4) 8,7. 20. Найдите первый член арифметической прогрессии (а^), если ^18 = “9,6, d = 0,8. 1) 4; 2) -23,2; 3) -24; 4) 4,8. 21. Последовательность (Ь^) — геометрическая прогрессия. Найдите если bs = 512, q = 2. 1) 0,5; 2) 0,25; 3) 4; 4) 2. 22. Последовательность (6„) — геометрическая прогрессия. Най- и ^ и 1 дите bi, если 63 = Ь^= > 2) f, 3) -f; ^)| 199 23. Найдите сумму первых 26 членов арифметической прогрессии (а^), если = -4, d = 3. 1) 871; 2) 1089; 3) 837,5; 4) 1037,5. 24. Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии (aj, если = 18, d = -2. 1) -175; 2) 1075; 3) 1050; 4) -150. 25. Найдите сумму первых пяти членов конечной геометрической прогрессии, если 6] = 6, ^ = 3. 1) 726; 2) 729; 3) 240; 4) 243. 26. Найдите сумму первых четырех членов конечной геометрической прогрессии, если bi = LCi О и 60’ 2) 0,52; 3) -0,52; 4) 31 60 27. Найдите восьмой член арифметической прогрессии (а„), если Cl’J “t“ flg — 0,18. 1) 0,36; 2) 0,18; 3) 0,09; 4) 0,9. 28. Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии (а„), ^ 4 0СЛИ ^14 * ^24 ” * О t’ 2) ь 3) -|; 4) -I 29. Найдите U4 + Uq арифметической прогрессии (aj, если ag + -h Uq = —20,1. 1) -10,5; 2) -10,05; 3) -20,1; 4) -40,2. 30, Найдите -Ь арифметической прогрессии (а„), если , _ 3 fllO «Г flg — • 1) -• 2’ 2) |; 3) |; 3 31. Укажите формулу, которая задает арифметическую прогрессию (а„). п . 1) , 1- /г + 1 2) а„ = + 2; 3) а„ = 21 — Зга; 4) а„ = 3 ■ 2»-1. 200 32. Укажите формулу, которая задает геометрическую прогрессию (6J. 1) Ь, = 3) — 6п + 4; / t 2) ft, = ЫН 4) = 3 • 33. Арифметическая прогрессия (aj задана формулой л-ого члена а„ = -0,5л + 5. Найдите Пи — а^. 1) 0,5; 2) -9,5; 3) -4,5; 4) -2,7. 34. Арифметическая прогрессия (aj задана формулой л-ого члена Un = Зп — 4,2. Найдите ai • а^. 1) 21,6; 2) 2,16; 3) -2,64; 4) -23,76. 35. Дана последовательность = -0,3л -h 6. Укажите номер ее члена, равного -12,3. 1) 21; 2) 91; 3) 61; 4) 43. 36. Дана последовательность = 2 ■ Укажите номер ее члена, равного 1250. 1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 6. 37. Найдите разность арифметической прогрессии (а„), если Лз = -2, Лд = 19. 38. Найдите разность арифметической прогрессии (aj, если ^5 — ^16 “24. 39. Найдите первый член арифметической прогрессии (а„), если — 43, cLg — 21. 40. Найдите первый член арифметической прогрессии (а„), если = 36, ai5 = 64. 41. Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии (6Д, если =» biQ = 400. 42. Найдите знаменатель убывающей геометрической прогрессии (6„), если &5 = 3,Ьт= 43. Найдите знаменатель знакочередующейся геометрической прогрессии (6J, если 63 = 5, 67 = 405. 44. Укажите номер данного члена арифметической прогрессии -1; -0,5; 0; . , если = 15. 45. Укажите номер данного члена арифметической прогрессии 2; |; . , если а„ = -4. 201 46. Укажите номер данного члена геометрической прогрессии 4; 12; 36; . , если = 972. 47. Укажите номер данного члена геометрической прогрессии 20; 4 4; 0,8; . , если 48. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии -14; -11,5; -9; . положительны. 49. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии 28; 26,5; 25; . отрицательны. 50. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии -32; -25,6; -18,2; . неотрицательны. 51. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии 15; 12,5; 10; . неположительны. 52. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии -5; -1; 3 удовлетворяют неравенству а„ > 27. 53. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии 3; 7; 11; . удовлетворяют неравенству > 55. 54. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии 2; 0,5; -1; . удовлетворяют неравенству a, /5; б) -8>/а; в) 8г/3; г) 7,8s[5m. 30. а) 1; б) 0. 31. а) -2а; б) — ЬК 32. а) зТЗ; б) 2а — 35; в) 27 — ^/I5; г) с= + d^d. 33. а) б) в) + l)(V^ + 2М г) 6(2 — va) y[cd\y[c ^ 4d) 12 х — 42 X + V 34. а) —-б) ху d с 1 J в) ттт;—ГТ5 г) — а®6® c^d^ 9 ■ (-# -i) -‘й]- 2). (2; 1); б) (1; 0), Aj; в) (1; з), (3; 1); г) f-l|; 111 (-3; 2). 6.11. а) (4; 2); б) (2; 1), (-1; -2); в) (3; 1); г) (1; 4), (4; 1). 6.12. а) (2; 1), (-2; -1), (2; -1), (-2; 1); б) (3; 2), (-3; -2), (3; -2), (-3; 2); в) (3; 1), (-3; -1), (3; -1), (-3; 1); г) (-1; -3), (-3; -1), (-1; 3), (-3; 1), (1; -3), (1; 3), (3;-1),(3;1). 6.13.а)(-5;-4), (5;4);б)(1;2), (-1;-2); з , -3 V3 J у 6 в) (2; 4), (-2; -4) (4; 2), (-4; -2); г) (5; 4), (-5; -4). 6.14. а) (-3; 3), (3; 3); б) (3; 1), (-3; 1); в) (1; 1), (1; -1); г) (2; 1), (2; -1), (l; ->/2), (I; S). 6.15. а) (1; 0), (1; -1), (-2; 0), (-2; -1); б) (3; 4), (-1; 4); в) (1; 2), (1; -3); г) (2; 0), (2; -1), (-3; 0), (-3; -1). 6.16. а) (-1; -2), (2; 1); б) (9; 3), (-3; -9); в) (1,2; 0,6); г) (8; 2), (2; 8). 6.17. а) (3; -2), (8; 18); б) (8; 6), (-7; -9); в) (3; -4), (-2; 1); г) (5; 1), (^-|; 18^. 6.18. а) (-3; 1), (1; -3); б) (2,25; 1,5); в) (2; 1); г) (^|; |j. 6.19. а) (-3; -2), (1; 2); б) ij, |^-|; -ij; в)(0; -5), (1; -4); г) (1; 2), (2; 1). 6.20. а) (3; 4), (1; 2); б) (4; 5), (2; -1); в) (1; 5), ‘■„2 7» 0-; -9 9 , (7; 1); (-3; 1); г) (1; 3), (-7; -1). 6.21. а) (-3; 3), (0,6; 4,2); б) (^3’ I)’ Й’ з]’ «-hr 1 1 i; |1. 6.23. а) (-5; -3), (5; 3); 8’ 8/ U’ 6 б) (2; -3). 6.24. а) (х + + (у — 1)^ = 169; б) (х — 3)^ + (г/ + 4)^ = 25 211 §7 7.1. 80 км/ч, 60 км/ч. 7.2. 6 км/ч, 1 км/ч. 7.3. 10 км/ч, 2 км/ч. 7.4. 5 и 7. 7.5. 29 и 17. 7.6. 37 и 13. 7.7. 27 и 11. 7.8. 31 и 19. 7.9. 24. 5 7.10. 48. 7.11. —• 7.12. 6 см, 8 см. 7.13. 180 м^. 7.14. 84 дм. 7.15. 84 см. 7.16. 3 км/ч. 7.17. 4 км/ч, 3 км/ч. 7.18. 14 мест, 24 места. 7.19. 20 рядов, 18 рядов. 7.20. 80 человек. 7.21. 10 ч. 7.22. 12 ч. 7.23. 6 ч, 10 ч. 7.24. 3 ч, 1,5 ч. 7.25.10 мз/ч. 7.26. 120 ч, 80 ч. 7.27. 5 ч, 3 ч 20 мин. 7.28. 32. 7.29. 94. 7.30. 48 и 15. 7.31. 34 и 41. 7.32. 83. 7.33. 1400 штук. 7.34. 24 км/ч, 60 км/ч. 7.35. 2 м/с, 3 м/с. 7.36. 10 км/ч, 15 км/ч. 7.37. 15 км/ч. 7.38. 4 км/ч, 3,2 км/ч. 7.39. 60 км/ч, 100 км/ч, 600 км. 7.40. 3 м/с, 4 м/с. 7.41.2 ч, 6 ч. 7.42.24 км. 7.43.10 ч, 15 ч. 7.44.45 ч. 7.45.4 ч, 6 ч. 7.46.45 дней, 30 дней. 7.47. 8 ч, 6 ч. 7.48. 6 м/с, 8 м/с. 7.49. 20 000 р., 10 %. 7.50. 7100 р. 5 2 7.51. В 10 раз. 7.52. —. 7.53. 300 г, 500 г. 7.54. 1 л, 2 л. 7.55. 51- %. 17 о ГЛАВА 3 § 8 8.8. а) (-О0; 1) и (1; 4) U (4; +о°); б) (-оо; 1) и (1; 3,5) и (3,5; +о°); в) (-оо; +00); г) (-00; +оо). 8.9. а) [3; +0О); б) (-оо; 11]; в) [-4; +оо); г) (-оо; 2]. 8.10. а) — г) (-00; +00). 8.11. а) (-оо; -3] U [3; +оо); б) V7]; в) (-оо; -12] и [12; +00); г) [-2>/б; 2Тб]. 8.12. а) [0; 2]; б) (-оо; -3] и [3; +оо); в) (-оо; 0] и [5; +О0); г) [-5; 5]. 8.13. а) (-оо; 1] и [5; +оо); б) [-1; 4]; в) (-00; 2] и [3; +00); г) (-00; -2] и [1; +оо). 8.14. а) (2; +оо); б) (-оо; 2) U и (4; +О0); в) (-3; +оо); г) (-О0; 3) и (5; +00). 8.15. а) (^l|; +оо j; б) (-оо; -1) и и (12; +О0); в) (-оо; 4); г) (3; 4). 8.16. а) (-2; 2]; б) f-l|; +оо1; в) [-1; +оо); \ О ) J . 8.17. а) I-|; 2 ; б) (-О0; -2] и I—; +оо1; в) (-оо; -3) U и +со]; г) (-4; ifj . 8.22. а) (-оо; 3]; б) /(-2) = 1, /(-1) = 2, /(0) = -1, /(3) = 2, /(7) не существует; г) (-2; 2]. 8.23. а) (-оо; 2]; б) /(-3) = i, О /(-1) = 1, /(0) = -4, /(2) = -4, /(5) не существует; г) [-4; -1] U (0; +оо). 8.24. а), б) Нет; в), г) да. 8.25. а) (-оо; -1) и (-1; 8) U (8; +оо); б) (-оо; -З) и и (-3; -2) и (-2; 1) U (1; 3) U (3; +оо); в) (-оо; -3) U (-3; -1) U (-1; 1) U и (1; 5) и (5; +00); г) (-оо; -5) U (-5; -1) U (-1; 6) U (6; +оо). 8.26. а) б) (-оо; -4) и (-4; -1] и (4; +оо); в) [-2; +оо); г) [-2; -0,5) U (-0,5; 0,5) U !• 212 и (0,5; 2]. 8.27. а) (-0,4; +оо); б) (-°о; 0,5); в) (-3; +оо); г) (-о°; 4). 8.28. а) (-00; -4] и (0; +оо); б) Ig; +о°1; б) (-3; -2] и [2; +оо); в) [-3; 4); г) [5; +оо). г) (-00; 0]. 8.29. а) 8.30. а) (-00; -6] и [6; +оо); б) (-5; 1]; в) (-3; -2]; г) [1; 3). 8.31. а) и (-2; +00); в) [2; 4) U (4; +оо); г) [2; 2,5). ; в) (-00; -0,5] и (3; +оо); и (2; +00); б) f-oo; -2^ V U 8.32. а) (3; +оо); б) и г 4 1 -оо; +О0 ; 3J ^7’ / г) 4 , +О0 . 8.34. а) (-оо; 4]; б) /(-2) = -2, /(0) = 0, /(2) = 4, /(4) = 4, /(8) не существует; г) (-оо; 4]. 8.35. а) (-оо; 3]; б) /(0) = 1, /(2) = 1, /(3) = -2, /(4) не существует, /(5) не существует; г) [-2; +оо). 8.36. а) [-3; +°о); б) /(-5) не существует, /(-2) = -1, /(0) = 1, /(2) = -3, /(4) = г) [-3; 1]. § 9 9.3. а) Да, у = х + 2; 6) у = 2\х\ — 2; в) нет; г) да, -2, если X Jx + 4; г) да, 2, если X > 2, у = -(X + 2)2 + 4. 9.5. а) Да, у = -2х — 2; б) да, у = (х + 2У — 2; в) да, у = 1,5х + 2; г) да, у = -(х — + 4. 9.6. а) i/ = —; б) i/ = -Vx + 5 + 2; _____ о в) I/ = VX + 2 — 1; г) у = . 9.7. а) 90 км, 225 км, 360 км; б) 20 ч; в) 22,5 км; г) 0,3 мин. 9.8. а) 3 ч, 0,225 ч, 12 ч; б) 54 км; в) 0,0125 ч; г) 150 м. 9.9. а) 0, 2; б) 0, 3; в) -2, 0; г) 2. 9.10. а) 3, 0; б) -2; в)-2, -1; г) 2. 9.11. б) 10 ч; в) 4-^ км; г) 9 мин. 9.12. а) S = h = б) ^ м®; о Л о 15 в) 0,3375 м^; г) 60 м. 9.13. а) I/ = 2х^ — 1; б) I/ = -Зх^ — 6х — 3; в) I/ = -Зх^ + 4; г) у = 3×2 _ 12х + 12. 9.14. а) 1; б) 2; в) 3; г) 4. 9.15. а) 9; б) 6; в) 9; г) 4. 4, если X -2; б)/(:с) = (х + 2)2 + 1, если -4 1. 213 § 1 о я) Уиаий Уи&ич ^/наиб ^наим 2j В) Уианб существует, = 1; г) г/„,„б = 2, у^^^ не существует. 10.12. а) г/„„б не существует, Уааам Ун&ии >/3, Уаани О, В) Унаиб 2, Уиаи^ г) !/наиб = л/2, Унаим не существуст. 10.13. а) г/„„„б не существует, г/„аи! т; г) Да) 2; г) выпукла вверх при X > 1, выпукла вниз при х „м = 0; г) у„аиб не существует, у„аи» = 0. 12.12. а) Уааиб = 1. Уиаим = “1; б) у^шб = О, Уааим Не сущвствует; в) у„аиб = 243, у„аим не существует; г) у„аиб не существует, у^аим = “I- 12.13. а) (1; 1); б) (-1; -1); в) (0; 0); г) (0; 0), (1; 1). 12.14. а) -1; б) -1, 1; в) -1, 1; г) О, 1, -1. 12.15. а) -2, О, 2; б) 0; в) -1, 1; г) -1. 12.16. а) х 1; в) X > -2; г) X Q. 12.23. К = L, 12.24. а), г) 1; б), в) 2. 12.25. а) О ^ X Ь) X -1; г) л: > 0. 12.31. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) четная. § 13 13.1. а) Точка А; б) точка В; в) точки А и Б; г) ни точка А, ни точка В не принадлежат графику. 13.5. х = 2 вертикальная асимптота, (/ = о — горизонтальная асимптота. 13.6. х = 0 — вертикальная асимптота, ^ = -1 — горизонтальная асимптота. 13.7. а) 1/наиб = 16, ^наим = 1; б) i/наиб = !/наим НС существуст; в) = 1» i/наим не существует; 1о г) г/на«б = !/наим НС СуЩеСТВуеТ. 13.8. а) i/наиб = Унаим = “1; б) ^ыаиб не существует, ^ыаим 32, в) 1/иаиб не существует, Ущцш 1024’ г) 1/«аиб = Унаим НС сущсствует. 13.9. а) (1; 1), (-1; -1); б) нет точек пересечения; в) нет точек пересечения; г) (1; 1), (-1; 1). 13.10. а), б), в) 1, -1; г) 1. 13.11. а) 1; б) 4; в) 2; г) 1. 13.15. а) 8; б) 5; в) 3; г) 4. 13.16. а) Четная, ограниченная снизу; б) нечетная, неограниченная; в) четная и ограниченная снизу, если п — четное число; нечетная и неограниченная, если п — нечетное число; г) задание некорректно. 13.17. Р = Q. 13.18. а) 3; б) 4; в) 4; г) 2. 13.19. а) B(f): -2) U (-2; +оо), £(f): (-оо; -1) и (-1; +оо); б) функция убывает на всей области определения, I/ > 0 при -2 -1; в) х = -2 — вертикальная асимптота, = -1 — горизонтальная асимптота; г) (-2; -1). 13.20. а) B(f): (-оо; 1) U и (1; +00), £(f): (-2; +оо); б) функция возрастает при х 1, i/ > 0 при х е 2 ± V2 2 — л/2 ; 1 И при X е 1; I/ = о при X = Р__ /р t I/ 2 + л/2″ 2 у 2 + л/2 2 » ‘ 2 2 в) X = 1 — вертикальная асимптота, у = -2 — горизонтальная асимптота; г) X = 1. 13.22. а) X ^54; в) ^/250; г) ^-192. 14.7. а) б) в) ‘^8а^х^; . 14.8. а) а^; б) -36; в) 2а^6П г) -4а^6с^ 14.9. а) б) 215 г) зТЙТ в) г) 14.10. а) —; б) в) г) д: • 14.11.6) 5 • г) 2 • • 14.12. а) 30; б) 6 — 2^; в) l|; г) 5 + 5^. 14.13. а) 125; б) 1; в) -1000; г) -30. 14.15. а) i/ > 0 на (1; +о°), у 0 на (-2; +00), I/ 0 на (-8; +оо), о на (1; +00), ^ 1; б) х > 1; в) х ^2 = ^^3 “ g’ ^4 = gj ^5 Yq! б) di = 2, w-2w-2._2, 2,_1 3 _3 1 2’ 8’ “ To’ “ 4’ -3,, 3 3 1 ^ Л о C5 — —; r)ai—l, az — 3. ,Уя(я + 1) 15.31. а) = 2, х„ = д:„.ь б) д^! = 2, д:„ = x„.i + 2; в) Xi = 9, х„ = х„.^ — 2; г) = 5, дс„ = -х„-1. 15.32. а) дг, = 2, д;„ = Зд:„-1; б) х, = 1, х„ = x„_i + 7; в) Xj = 0,5, — 0,5x„-i; г) Х\ = 3, х„ = —Зх„_1. 15.33. а) 1, 1,7, 1,73, 1,732; б) 2, 1,8, 1,74, 1,733. 15.34. а) 0,7654321. 15.35. а) 4; б) 13; в) не существует; г) 7. 216 15.36. а), г) Нет; б), в) да. 15.37. а) 5п — 2; б) 2 • 3″‘^; в) 15 — 4п; г) —. 15.39. а) 8; б) 5; в) 6; г) 8. 15.40. а) 7; б) 6; в) 4; г) 9. §16 16.6. а) 1; б) 13, 13 — V5, 13 — 2Vs, 13 — 3>/5; в) 7,5, 8, 8,5, 9; г) -1,7, -1,85, -2, -2,15, -2,3. 16.7. а) 2, 19; б) 6, 54 + Vs; в) -10, 10; г) -л/2, 3 — 9>/2. 16.8. 3, 5. 16.9. 11, 11. 16.10. Нет. 16.11. а) 4, 3; б), в) нет; г) 1, 4. 16.12. а) 2; б) 0,5; в) -3; г) О . 1 1 16.13. а) 1, 3; б) -1-. —; в) 2,9, -0,1; г) 3, -2. 16.14. а) а„ = Зл — 1; о 3 1 6 б) а„ = л — 0,5; в) а„ = 9 — 2я; г) а„ = -—я — -. 16.15. а) а„ = 10 — 6л; б) а„ = 0,2л — 0,9; в) а„ = 5л — 12; г) а„ = л^/5 — sVs. 16.16. а) 19; б) -85; в) 20; г) 105. 16.17. а) 7; б) 6; в) -2; г) 2. 16.18. а) -3; б) 21; в) 4; г) 7>/5. 16.19. а) 11; б) 11. 16.20. а) Да; б) нет. 16.21. а) Да; б) да. 16.22. а) 19; б) 22. 16.23. а) 21; б) -76,5; в) 12|; г) 4,2. 16.24. а) -38; б) 9; в) 19,1; О г) 1,26. 16.25. а) 3,6; б) -1,3; в) г) -0,1. 16.26. а) 100; б) 11; в) 23; 8 г) 20. 16.27. а) 55; б) нет; в) 11; г) 7.16.28. а) 22; б) 39; в) 11; г) 22.16.29. а) 53; б) 6; в) 2; г) 14. 16.30. 13. 16.31. -1, 3, 7, 11, 15, . . 16.32. -12, -7, -2, 3. 16.33. а) 1275; б) 250; в) -90; г) 600. 16.34. а) 3725; б) -2425; в) 3175; г) -245. 16.35. а) 8700; б) 2625; в) 2 350; г) -6175. 16.36. а) 132; б) 2095; в) -490; г) 2430. 16.37. а) 1950; б) 142,5; в) -690; г) -1342,5. 16.38. ai d Cln п Sn 7 4 55 13 403 2 2 80 40 1640 56 -3 26 11 451 2 5 87 18 801 9 2 21 7 105 16.39. 122,5. 16.40. а) 61; б) 10; в) -1; г) 8. 16.41. а) 64; б) -40; в) 25; г) -10. 16.42. а) 74; б) 10. 16.43. -1. 16.44. 1. 16.45. а) 728; б) 981. 1 1 (2>/з -5) , 2 16.46. а) 61 376; б) 40 875. 16.47. а) —, б) -1-; О о в) i |; г) 16.48. а) а„ = 2л + 5; б) а„ = -1,5л — 16,5; 55 V5 V5 в) а„ = 2,5л + 2,5; г) а„ = -0,7л + 3,7. 16.49. а) 3, 5; б) 0, -4; в) -4, 3; 217 г) -0,8, -0,1. 16.50. а) d = -9; б) d = -3. 16.51. а) 6 + sVi; б) 3 + 27Vs; [— f— —З-Уз +15 (— в) 20 — 2V3; г) 3 — V3. 16.52. а) ——-z——; б) 1; в) 5 — 8V3; г) 64/ — 21. 16.53. а) -2^3 ; б) m — 1; в) 1 — Vs ; г) р — 1. 16.54. а) 7; б) 8; в) 5; г) 6. 17 ‘ —- 5 16.55. а) 21; б) нет; в) 25; г) 10. 16.56. а) 18; б) 8; в) 20; г) 54. 16.57. а) 18; б) 19; в) 6; г) 10. 16.58. а) 50; б) 52; в) 101; г) 51. 16.59. а) 65 422; б) 391 454. 16.60. 3, 4. 16.61. 1357. 16.62. -12, -1230. 16.63. 21. 16.64. 2 пузырька. 16.65. 10 мин. 16.66. 4 дня. 16.67. 9 колец. 16.68. а) 7; б) У §17 17.5. а); в); г). 17.7. а), б) — возрастающая. 17.8. а) б) в) I; г) 3,5. 17.10. а) -16; б) 3^; в) 2SV5; г) 17.11. а) 6-; о 3 5 4 17 1 б) 4^6; в) -1—; г) 17.12. а) -2, -4; б) -8, -0,5; в) 3, 0,5; г) 96, 0,5. 64 5 1^ ; в) = 16-f^l; г) Ь„ = ШТ. 17.14. а) = 16 ■ i ; б) = \2) \ ‘tj 17.15. а) 1, 5; б) 1,2, 2; в) г) 1-,1. 17.16. а) 6; б) -32. 2 4 4 2 17.17. а) Не является; б) л = 10; в) п= 12; г) не является. 17.18. а) 19 683; б) «7^: в) i; г) 12,65625. 17.19. а) 4; б) -^2; в) i; г) -i 17.20. а) ±2; 4оЬ Z 73 б) ±0,2; в) ±3; г) ±^. 17.21. а) 6; б) 8; в) 5; г) 8. 7.22. а) 3, 2; б) 16, 1,5; 6 в) 13, -0,5; г) 3, -2. 17.23. 1, i, 17.24. 96 • f-T . 17.25. а) 15; 2 4 8 \2J 13 728 3325 б) 255; в) ig; г) 2,5. 17.26. а) —; б) 63 81 ’ 8’ -117(V3 +1). 17,27. а) 315: б) а, г, Ш 17.28. а) 93; б) -11; а) -Ц; 1 О 1 г) 121V2. 17.29. а) 620; б) 7 — Зч/2; в) г) 13 + 4Тз. 17.31. а) 2, 8; 9 б) -6; в) -V3, -7>/3; г) 5\/з. 17.32. 17.33. ±3. 17.34. 1,5. 2 3 2 17.35. а) 100 000 р.; б) 124 416 р. 17.36. а) 1,2, 3; б) 0,3, -0,2; в) 2,5, 4 0,5; г) 2. 17.37. а) 6; б) 7; в) 5; г) 6.17.38. а) я 7; в) п > 11; 218 г) я > 10. 17.39. а) 4; б) 7; в) 6; г) 5. 17.40. а) q = S, Ь, = 7з, 62 = 3, Ьз = ЗлУЗ; б) 5 = 61 = 375, 62 = -75, 63 = 15. 17.41. a)q = -4, S, = 1025; 5 б) 9 = -2ч/2, Sr = 585 — 146n/2. 17.42. 2, 2048. 17.43. 1, -3, 9, -27, 81 или 1, 3, 9, 27, 81. 17.44. 72, 17.45. 2, 4, 8, 16, 32, 64. 17.46. 2, 6 2 189 683 и 18 м, 17.47. а) 567; б) 46 655; в) 364; г) —. 17.48. а) 511; б) ——; о г) 729 1-х^^ j^lQl _1 х <Х^^ - 1)^ Х^(1 - ' 1 + д:- 364 в) г) -14 762. 17.49. а) —^б) ^ ^ ; в) ^ ^ ^2 Х-1 • 17.51. 2’’^ - 1. 17.52. Богач проиграл, получив 3 • 10® р. и (2^° - 1) 100 отдав р. 17.53. 21 и 49 или -3 и 1. 17.54. 27, 8, -11 или 3, 8, 13. 7 S1 31 31 17.55. —. 17.56. 1, 5, 25 или —, —, —. 17.57. На 10%. 1758. На 20%. 81 3 3 3 ГЛАВА 5 §18 18.1. а) 90; б) 81; в) 3; г) 10. 18.2. а) 764; б) 476; в) 2; г) 6. 18.3. а) 99; б) 18; в) 12; г) 40, 48, 80, 88. 18.4. б) 12; в) хлеб ржаной (6 случаев) менее вероятен, чем бутерброд с сыром (9 случаев); г) из 18 ветвей следует убрать 6. 18.5. б) 4; в) 1. 18.6. а) 8; б) 4; в) 6; г) 4. 18.7. а) 24; б) 6 в) 18; г) 12. 18.8. а) 210; б) 30; в) 180; г) 24. 18.9. а) 25; б) 10; в) 15 г) 16. 18.10. а) 1 и 27 000; б) 64; в) 48; г) 36. 18.11. а) 5040; б) 40 320; в) 600 г) 24. 18.12. а) 30 240; б) 462; в) 2550; г) 120 120. 18.13. а) Да; б) да в) да; г) нет. 18.14. а) п; б) 2k<2k + 1); в) п(п - 1). ; г) <4:771 - 1)(4т - 2). 18.15. а) 7; б) 4; в) 87; г) 3. 18.16. а) 120; б) 24; в) 60; г) 60. 18.17. а) 200; б) 200, 202, 208, 209, 220, 222, 228, 229; в) 909, 929, 989, 999; г) 200, 280, 800, 880, 920. 18.18. б) 1; в) 1; г) 4. 18.20. а) 120; б) 48; в) 80; г) 96. 18.21. а) 100 000; б) 32 768; в) 32; г) 8192. 18.22. а) 12 и 2250; б) 24; в) 6; г) 8. 18.23. а) 6; б) 24; в) 120; г) 60. 18.24. а) 720: б) 120; в) 600; г) 240. 18.25. а) б) 0; в) т^\ г) 18(3ft + 2). 4 § 1 9 19.3. а) 60; б) от 4 до 25 кг с шагом 0,5; в) 5 и 12; г) 2, 14 и 3; д) 5,5. 19.4. а) От 140 до 210 см; б) 157 и 190; в) 4 и 4; г) 161. 19.5. а) 200; б) 0,19; в) 6,5%; 219 г) Ценовая категория, р. 0—20 20—50 50—100 100—150 150—200 >200 Кол-во ценников 31 52 47 38 19 13 Частота 0,155 0,26 0,235 0,19 0,095 0,065 Частота, % 15,5 26 23,5 19 9.5 6 19.6. а) 7; б) 0,04; в) 22 %; г) 38%. 19.7. Варианта Сумма №1 №2 №3 №4 Кратность 9 5 2 4 20 Частота 0,45 0,25 0,1 0,2 1 Частота, % 45 25 10 20 100 19.8. а) 7; б) 50; в) 5; г) 8%. 19.9. а) 4; б) 2; в) 1,8 ч. 19.10. а) 2, 4, 6, 8; б) 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8; в) 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2; г) 4.19.11. а) От 12 до 20 баллов; б) 19, 13, 17, 14, 20, 19, 20, 13, 14, 17, 14, 17, 17, 17, 17; в) 2, 3 и 0; г) 13, 13, 14, 14, 14, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 19, 19, 20, 20. 19.12. Варианта Сумма -2 -1 0 1 2 Подсчет кратностей fff+ tm и tm пи ■ш tm Off / tm па /// Кратность 12 9 16 5 8 50 Частота 0,24 0,18 0,32 0,1 0,16 1 Частота, % 24 18 32 10 16 100 220 19.13. Варианта Сумма №1 №2 №3 № 4 №5 №6 Кратность 291 122 113 202 79 193 1000 Частота 0,291 0,122 0,113 0,202 0,079 0,193 1 Частота, % 29,1 12,2 11,3 20,2 7,9 19,3 100 19.14. а) 200; б) 4; 0,27. 19.15. а) Мода равна 431; б) 91 %; в) Вес, г 427 428 429 430 431 432 433 434 435 Частота, % 2 4 11 18 30,5 21,5 10 2 1 19.16. а) 3,875; б) 3,75; в) 4; г) 3. 19.17. а) 22; б) 18 и 4; в) нет; г) Юд: — 34 at; 33л: — 30 19.18. а) 36; б) 7 и 11; в) нет; г) 19.19. а) уд- .(■ ig ? в) 3, 4, 5, 6; г) да, 1 7г + прих = 7. 19.20. а) ^ Ь 2, 3; г) нет. § 20 20.1. а) -, б), в) г) 0. 20.2. а) 0,5; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,5. 6 3 44 15 1 20.3. а) 0,1; б) 0,1; в) 0,2; г) 20.4. а) 0,5; б) 0,5; в) г) 20.5. а) б) в) 0,4; г) |. 20.6. а) 0; б) 0,2; в) 0,4; г) 0,6. 20.7. а) 0,25; б) 0,375; в) , г) 0,5. 20.8. а) 0,23; б) 0,63; в) 0,6; г) 0,4. 20.10. а) 0,75; б) 0,75; в) г) ||. 20.11. а) 0,8; б) 0,6; в) 0,7; г) 20.12. а) б) 0,125; ок в) 0,875; г) 20.13. а) 0,05; б) 0,6; в) 0,2; г) 0,25. 20.14. а) 0,125; б) 0,125; в) 0,5; г) 0,375. 20.15. а) 0,4; б) 0,6; в) 0,4; г) 0. 20.16. а) 0,05; б) 1; в) 0,15; г) 0,55. 20.17. а) 0; б) 0,6; в) 0,2; г) 1. 20.18. а) б) 0,25; в) 0,5; г) 0,5. 20.19. а) б) в) И; г) 20.20. а) 0,9; б) 0,91; в) 0,95; г) 0,94. 20.21. а) 0,2; б) 0,7; в) 0,1; г) 0,2. 20.22. а) 0,5; б) 0,36; в) 0,14; г) 221 § 21 21.1. а) 4; б) jy; в) 17 18 19 20 27 28 29 30 40 60 80 100 Кол-во чисел, кратных 4, от 1 до л 4 4 4 5 6 7 7 7 10 15 20 25 Частота 0,235 0,222 0,21 0,25 0,222 0,25 0,24 0,23 0,25 0,25 0,25 0,25 г) 0,25. 21.2. а) 16; б) 30; в) 45; г) 1. 21.3. а) 6; б) 7; в) 8; г) 330. 21.4. а) 137; б) 2145; в) от 880 до 1076; г) около 40 000: от 36 520 до 44 630. 21.5. а) Около 32 000; б) 5440; в) 13 540; г) около 67,5 тыс. (67 630). 21.6. а) 2; б) 0,118; в) 17 27 57 77 100 125 150 173 200 1000 Кол-во чисел, оканчивающихся на 4 2 3 6 8 10 13 15 17 20 100 Частота 0,118 0,111 0,105 0,104 0,1 0,104 0,1 0,1 0,1 г) о,1.21.7. а) 1; б) 0,06; в) 17 57 100 400 500 1000 4000 5000 10000 Кол-во чисел, оканчивающихся на 4 1 11 11 12 111 111 112 1111 1111 Частота 0,06 0,19 0,11 0,03 0,222 0,111 0,028 0,1111 0,1111 1 2 г) нет; от — до 21,8. а) 189 тыс.; б) 448 тыс.; в) около 75 тыс. (74 966); г) около 121 тыс. (120 826) . 21,9. г) Примерно по 16,7% (16,(6) = ^^)-21.10. г) Примерно к 16,7% (16,(6) =100% • ^)- 222 ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ Числовые выражения 30. 77,2. 31. 1,85. 32. -14. 33. -4. 34. 12,08. 35. -2,4. 36. 194. 37. 302. 38. 5. 39. 4. 40. 1. 41. 1. 42. 2. 43. -1. Алгебраические выражения 25. -3. 26. 0,25. 27. 45. 28. 0,5. 29. -15. 30. 8. 31. -0,1. 32. -0,05. 33. -1. 34. 3. 35. -0,5. 36. -3,25. 37. 6. 38. 1,5. 39. 9. 40. -0,25. 41. 4. 42. 6. 43. 2. 44. 6. 45. 9. 46. -0,2. 47. 25. 48. -1,8. Функции и графики 129.1,75.130. 2,6. 131. -13.132. -6,3. 133. -45.135.-1.136.1,25. 137. -9. 138. 1. 139. 4,5. 140. 3. 141. -4. 142. 0,2. 143. 5. 144. -4. 147. -12,5. 148. -0,5. 149. 23,8. 150. 4. 152. 5. 153. 7. 156. 1. 158. 2. Уравнения и системы уравнений 22. 8. 23. 2. 24. -5. 27. -4. 29. -4. 30. -6. 32. 1. 33. 4. 34. -0,4. 35. -1,5.36. 4. 37. 2. 38. -9. 39. 2. 40. 1. 41. -2. 42. -9. 43. -3. 44. 2. 45. -1,5. 46. 5,6. 48. 0,25. 50. 7. 53. 1. 58. 36. 60. -2. 62. 3. 64. 1. 66. 2,5. ^-1±7з its/a» 68.-3,5125.70.-53.78. 3; ^ \ О 3j. 79.(-2;-1),(1;0), 80. (4; 1), (0,25; -0,25). 81. (10; -2). (-1,2; 1,2). 82. -|j. 83. (0,25; 0). 84. f-2; yj. 85. (6,5; 2,5). 86. 4. 87. 1. Неравенства и системы неравенств 100. 0,6. 103. 14. 106. 9. 109. 3. 111. 5. 112. 5. 114. п 4. 115. -7 Урок алгебры в 9Б классе по теме: «Методы решения систем уравнений» Учебник: Мордкович А.Г. Тип урока: обобщение и систематизация. Цель урока: выработать умения решать системы уравнений различными способами. Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебник, сборник для подготовки к ГИА (Кузнецова), тетрадь. Конспект урока предназначен для проведения урока по алгебре в 9 классе. К конспекту прилагается презентация. Тип урока — изучение нового материала. Урок-путешествие «Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения» с применением ИКТ в 7 классе учебник А.Г. Мордкович. Урок систематизации знаний учащихся по теме «Решение систем уравнеий» в 9 классе. Конспект урока разработан в соответствиии с требованиями ФГОС, содержит необходимый перечень личностных и метапредметных результатов уоока, элементы проблемного подхода и подробное описание этап. Формирование умения использования функционально-графических представлений для решения систем уравнений, содержащих уравнения второй степени с двумя переменными, умения определять по точкам пересечения. Конспект урока по математике на 1 курсе. Тема урока: «Графическое решение систем уравнений»Тип урока: комбинированный.Цели и задачи урока:образовательные – сформировать у учащихся умение графически решать системы уравнений. Глава 1. Рациональные неравенства и их системы Глава 2. Системы уравнений Глава 3. Числовые функции Глава 4. Прогрессии Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Государственная итоговая аттестация по алгебре (ГИА) Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей. Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями. Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта. Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид. © 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/11/08/konspekt-uroka-v-9-klasse-po-teme-metody-resheniya-sistem http://compendium.su/mathematics/9klass_1/index.htmlконспект урока в 9 классе по теме: «методы решения систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по темеСкачать:
Вложение Размер urok_metody_resheniya_sistem_uravneniy.zip 2.81 МБ По теме: методические разработки, презентации и конспекты
конспект урока с презентацией по теме «Методы решения уравнений второй степени»
Открытый урок по математике в 7 классе с применением ИКТ «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения»
Урок систематизации знаний учащихся по теме «Решение систем уравнений» в 9 классе
Конспект урока по биологии на тему:»Методы изучения природы»для 5 класса.
Интегрированный урок математики и информатики. Графический способ решения систем уравнений.
Конспект урока по математике на 1 курсе «Решение иррациональных уравнений»
Конспект урока в 9 классе по теме «графическое решение систем уравнений»
Поурочные разработки по Алгебре 9 класс к учебнику А. Г. Мордковича — 2011 год