Уравнения из егэ 9 класс — Решение уравнений

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
Вопросы по теоретическому материалу.
Примерное оформление экзаменационного задания.
Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

Определение уравнения с одним неизменным.
Корень уравнения.
Что значит решить уравнение?
Определение области допустимых значений.
Когда два уравнения являются равносильными?
Когда одно уравнение является следствием другого?
Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

привести в систему знаний учащихся по теме;
повторить теорию решения уравнений;
выработать умение определить вид уравнения;
выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

КИМ по теме «Уравнения и неравенства» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Контрольно – измерительные материалы

для оценки достижения предметных результатов

освоения образовательной программы

по теме «Уравнения и неравенства»

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из двух частей. Всего в работе 9 заданий. Часть 1 содержит восемь заданий; в части 2 — одно задание.

На выполнение работы по математике отводится 45 минут.

Ответы к заданиям 5, 6, 7, 8 записываются в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа. Эту цифру запишите в поле ответа в тексте работы.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

Решение задания части 2 и ответ к нему запишите на отдельном листе или бланке. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер.

Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий, которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В части 2 задание оценивается в 2 балла.

№ 1. Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

№ 2. Решите уравнение .

№ 3. Решите уравнение

№ 4. Решите уравнение

№ 5. Решите неравенство:

В ответе укажите номер правильного варианта.

№ 6 . Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

№ 7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

В ответе укажите номер правильного варианта.

№ 8. Решите систему неравенств

На каком рисунке изображено множество её решений?

№ 9. Решите уравнение

Система оценивания работы по математике

За правильный ответ на задания 1–8 ставится 1 балл.

Ответы к заданиям части 1

Решение и критерии оценивания заданий части 2

№ 9. Решите уравнение
Решение.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид

Полученное квадратное уравнение имеет корни t ₁₌-1, t ₂=6.

Уравнение не имеет корней. Уравнение имеет корни и

Таким образом, решение исходного уравнения: и

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания

Все преобразования выполнены верно, получен верный ответ

По ходу решения допущена одна ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом решение доведено до конца

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

Контрольно – измерительные материалы

для оценки достижения предметных результатов

освоения образовательной программы

по теме «Уравнения и неравенства»

Инструкция по выполнению работы

На выполнение работы по математике отводится 45 минут.

№ 1. Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

№ 2. Решите уравнение

№ 3. Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

№ 4. Решите уравнение

№ 5. Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

№ 6. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

№ 7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

В ответе укажите номер правильного варианта.

№ 8. Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

№ 9. Решите уравнение

Система оценивания экзаменационной работы по математике

За правильный ответ на задания 1–8 ставится 1 балл.

Ответы к заданиям части 1

Решение и критерии оценивания заданий части 2

№ 9. Решите уравнение .

Преобразуем исходное уравнение:

Квадратное уранение имеет корни 5 и -3.

Таким образом, решение исходного уравнения: и .

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания

Все преобразования выполнены верно, получен верный ответ

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

требований к уровню подготовки обучающихся

для оценки достижения предметных результатов

освоения образовательной программы

по теме «Уравнения и неравенства»

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для оценки достижения предметных результатов освоения образовательной программы

по теме «Уравнения и неравенства» (далее – кодификатор) является

одним из документов, определяющих структуру и содержание контрольных

измерительных материалов (далее – КИМ). Кодификатор является систематизированным перечнем требований к уровню подготовки выпускников и проверяемых элементов содержания, в котором каждому объекту соответствует определённый код. Кодификатор требований к уровню подготовки по математике составлен на основе

Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников основной школы (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

В первом столбце таблицы указаны коды разделов, на которые разбиты требования к уровню подготовки по математике. Во втором столбце указан код умения, для проверки которого создаются экзаменационные задания. В третьем столбце сформулированы требования к уровню подготовки выпускников.

Код контролируемого элемента

Требования (умения), проверяемого заданиями

Уметь решать уравнения, неравенства и их системы

Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные

уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и

несложные нелинейные системы

Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и

Применять графические представления при решении уравнений,

Решать текстовые задачи алгебраическим методом,

интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений

исходя из формулировки задачи

для оценки достижения предметных результатов

освоения образовательной программы

по теме «Уравнения и неравенства»

Кодификатор элементов содержания для оценки достижения предметных результатов освоения образовательной программы по теме «Уравнения и неравенства» (далее – кодификатор) является одним из документов, определяющих структуру и содержание контрольных измерительных материалов (далее – КИМ). Кодификатор является систематизированным перечнем требований к уровню подготовки выпускников и проверяемых элементов содержания, в котором каждому объекту соответствует определённый код.

Кодификатор элементов содержания по математике составлен на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников основной школы (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

В первом столбце таблицы указаны коды разделов и тем. Во втором столбце указан код элемента содержания, для которого создаются проверочные задания.

Код контролируемого элемента

Элементы содержания, проверяемые заданиями

Уравнения и неравенства

Уравнение с одной переменной, корень уравнения

Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения

Решение рациональных уравнений

Примеры решения уравнений высших степеней. Решение

уравнений методом замены переменной. Решение уравнений

методом разложения на множители

Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя

Система уравнений; решение системы

Система двух линейных уравнений с двумя переменными;

решение подстановкой и алгебраическим сложением

Уравнение с несколькими переменными

Решение простейших нелинейных систем

Числовые неравенства и их свойства

Неравенство с одной переменной. Решение неравенства

Линейные неравенства с одной переменной

Системы линейных неравенств

Решение текстовых задач арифметическим способом

Решение текстовых задач алгебраическим способом

контрольных измерительных материалов

для оценки достижения предметных результатов

освоения образовательной программы

по теме «Уравнения и неравенства»

1.Назначение КИМ – оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике обучающихся общеобразовательных организаций в целях освоения образовательной программы по теме «Уравнения и неравенства».

2. Документы, определяющие содержание КИМ

Содержание работы О определяется на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по математике (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).Кроме того, в работе нашли отражение концептуальные положения Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования»). КИМ разработаны с учётом положения о том, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, т.е. они должны: овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности; научиться преобразованию знания и его применению в учебных и внеучебных ситуациях; сформировать качества, присущие математическому мышлению, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами.

3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры КИМ

Структура КИМ отвечает цели построения системы дифференцированного обучения математике в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирования у всех обучающихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования, и одновременного создания условий, способствующих получению частью обучающихся подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего при изучении её в средней школе на профильном уровне.

В целях обеспечения эффективности проверки освоения базовых понятий

курса математики, умения применять математические знания и решать практико — ориентированные задачи, а также с учётом наличия в практике основной школы как раздельного преподавания предметов математического цикла, так и преподавания интегрированного курса математики в экзаменационной работе выделено 2 части.

4. Связь экзаменационной модели ОГЭ с КИМ ЕГЭ

Содержательное единство государственной итоговой аттестации за курс

основной и средней школы обеспечивается общими подходами к разработке кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников по математике. Оба кодификатора строятся на основе раздела «Математика» Федерального компонента государственного стандарта общего образования.

5. Характеристика структуры и содержания КИМ

Работа состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. При проверке базовой математической компетентности обучающиеся должны продемонстрировать: владение основными алгоритмами; знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приёмов

решения задач и проч.); умение пользоваться математической записью,

применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Часть 2 направлена на проверку владения материалом на повышенном уровне. Её назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент

профильных классов. Эта часть содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Эти задания требуют записи решений и ответа.

Часть 1содержит 8 заданий, часть 2 –1 задание.

Всего в работе 9заданий, из которых 8 заданий базового уровня, 1 задание повышенного уровня .

Таблица 1. Распределение заданий по частям работы

Варианты ОГЭ по математике

Структура

Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания.

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания.

Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий.

Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня.

Шкала перевода баллов в оценки

Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом

Для оценивания результатов выполнения работ выпускниками используется общий балл. Максимальный балл за работу в целом – 32. Задания, оцениваемые 1 баллом, считаются выполненными верно, если указан номер верного ответа (в заданиях с выбором ответа), или вписан верный ответ (в заданиях с кратким ответом), или правильно соотнесены объекты двух множеств и записана соответствующая последовательность цифр (в заданиях на установление соответствия).

Задания, оцениваемые в 2 балла, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то участнику выставляется 1 балл.

Дополнительные материалы и оборудование

Участникам разрешается использовать справочные материалы, содержащие основные формулы курса математики, выдаваемые вместе с работой. Разрешается использовать линейку. Калькуляторы на экзамене не используются.

На выполнение экзаменационной работы отводится 235 минут

источники:

http://infourok.ru/kim-po-teme-uravneniya-i-neravenstva-klass-629400.html

http://neznaika.info/oge/math_oge/