Уравнения измерения для косвенных измерений

МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей

ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ И ОЦЕНИВАНИЕ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

КОМИТЕТ СТАНДАРТИЗАЦИИ И МЕТРОЛОГИИ СССР

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

2. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

3. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

4. МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ

5. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РЕКОМЕНДАЦИИ

КРИТЕРИЙ ОТСУТСТВИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ПОГРЕШНОСТЯМИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ АРГУМЕНТОВ

ГСИ. ИЗМЕРЕНИЯ КОСВЕННЫЕ

Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей

Дата введения 01.01.92

Настоящая рекомендация распространяется на нормативно-техническую документацию, содержащую методики выполнения косвенных измерений, и устанавливает основные положения определения результатов измерений и оценивание их погрешностей при условии, что аргументы, от которых зависит измеряемая величина, принимаются за постоянные физические величины; известные систематические погрешности результатов измерений аргументов исключены, а неисключенные систематические погрешности распределены равномерно внутри заданных границ ± θ.

Термины и определения, используемые в настоящей рекомендации, приведены в приложении 1.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Искомое значение физической величины А находят на основании результатов измерений аргументов а₁, . . . , а _i , . . . , а _m , связанных с искомой величиной уравнением

. ( 1)

Функция f должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

1.2. Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений. Сведения об аргументах могут быть взяты из справочной литературы, технической документации.

1.3. При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

1.4. Основные положения рекомендации устанавливаются для оценивания косвенно измеряемой величины и погрешностей результата измерения:

при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов (разд. 2);

при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов (разд. 3);

для коррелированных погрешностей измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов (разд. 4).

Примечание. Критерий проверки гипотезы об отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов приведен в приложении 2.

2. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

2.1. Искомое значение A связано с m измеряемыми аргументами a ₁ , a ₂ , . . . , a_m уравнением

Корреляция между погрешностями измерений аргументов отсутствует.

Примечание. Если коэффициенты b ₁ , b ₂ . b_m определяют экспериментально, то задача определения результата измерения величины решается поэтапно: сначала оценивают каждое слагаемое b_i · a_i ; как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряемой величины A .

2.2. Результат косвенного измерения вычисляют по формуле

(3)

где — результат измерения аргумента а _i ; m — число аргументов.

2.3. Среднее квадратическое отклонение результата косвенного измерения вычисляют по формуле

(4)

где — среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента a_i .

2.4. Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения при условии, что распределения погрешностей результатов измерений аргументов не противоречат нормальным распределениям, вычисляют (без учета знака) по формуле

(5)

где t_q , — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P = l — q и числу степеней свободы f _эф , вычисляемому по формуле

(6)

где n_i , — число измерений при определении аргумента a_i , .

2.5. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют следующим образом.

2.5.1. Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы границами θ _i ; то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения Θ( p ) (без учета знака) при вероятности P вычисляют по формуле

( 7)

где k — поправочный коэффициент, определяемый .принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих Θ _i .

При доверительной вероятности Р = 0,95 поправочный коэффициент k принимают равным 1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент принимают равным 1,4, если число суммируемых составляющих m >4. Если же число составляющих m ≤4, то поправочный коэффициент k ≤1,4; более точное значение k можно найти с помощью графика зависимости

где m — число суммируемых составляющих (аргументов); l — параметр, зависящий от соотношения границ составляющих.

На графике кривая 1 дает зависимость k от l при m = 2, кривая 2 — при m = 3, кривая 3 — при m = 4.

Погрешность, возникающая при использовании формулы ( 7) для суммирования неисключенных систематических погрешностей, не превышает 5 % (расчеты получены на основе анализа результатов композиций равномерных распределений).

2.5.2. Если границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов заданы доверительными границами, соответствующими вероятностям P_i , (границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов вычислены по формуле ( 7), то границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения для вероятности P вычисляют (без учета знака) по формуле

(8)

Для вероятности P = 0,95 k_i = 1,1; для Р = 0,99 значения коэффициентов k_i определяют в соответствии с п. 2.5.1.

2.6. Погрешность результата косвенного измерения оценивают на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.

2.6.1. Если , то за погрешность результата косвенного измерения принимают неисключенную систематическую составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.5.

2.6.2. Если , за погрешность результата косвенного измерения принимают случайную составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.4.

2.6.3. Если , то доверительную границу погрешности результата косвенного измерения ∆( P ) вычисляют (без учета знака) по формуле

где K — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и от отношения .

Значения коэффициента K в зависимости от отношения для вероятности P = 0,95 и P = 0,99:

Уравнения измерения для косвенных измерений

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь при­бли­зи­тель­но. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения ε_А равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.

Методика обработки результатов косвенных измерений

Косвенные измерения – это измерения, результат которых y определяют на основании прямых измерений величин x₁, x₂, …, x_n, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью. Уравнение косвенного измерения имеет вид:

Функциональная зависимость f называется также формулой (уравнением) связи, а величины x_i — измеряемыми аргументами.

Необходимость в косвенных измерениях возникает, если прямые измерения провести невозможно или слишком сложно, или если косвенные измерения дают более точный результат, чем прямые.

Исходными данными при косвенных измерениях являются ряды результатов наблюдений аргументов X_j, предварительно обработанные по методике, изложенной выше.

Методика обработки результатов косвенных измерений может использоваться только при условии постоянства аргументов и отсутствия взаимной связи между ними. Поэтому перед началом обработки, проанализировав попарно все результаты наблюдений аргументов, убедиться в отсутствии корреляции между ними. Если корреляционная связь не обнаружена, производится дальнейшая обработка: определяется результат косвенного измерения и оценивается его погрешность.

Погрешности косвенных измерений величины y зависят от погрешностей измерений величин x₁, x₂, …, x_n.

Если систематическими составляющими погрешностей прямых измерений аргументов можно пренебречь, а случайные погрешности измеряемых аргументов не зависят друг от друга, то обработка результатов косвенных измерений может осуществляться в следующей последовательности:

· производится проверка отсутствия корреляции между результатами наблюдений каждой пары аргументов, для чего вычисляется коэффициент корреляции R между аргументами X_h и X_l по формуле:

(6.2)

где n – число наблюдений; и результаты i–го наблюдения соответственно h–го и l-го аргументов;

и — оценки среднеквадратичного отклонения результатов измерения этих аргументов.

Рассчитывается показатель корреляции

(6.3)

Критерием отсутствия корреляции является неравенство

(6.5)

где средние или средневзвешенные значения величин x₁, x₂, …, x_n;

· определяем погрешность результата косвенного измерения:

(6.6)

где — частная погрешность результата косвенного измерения;

— частная производная от yиз уравнения связи по j-му измеряемому аргументу;

— абсолютная погрешность прямого измерения j-го аргумента.

Для алгебраической суммы

абсолютная погрешность результата

(6.8)

(6.9)

(6.10)

определяем среднеквадратичную погрешность результата косвенного измерения

(6.11)

где — среднеквадратичные погрешности результатов прямых измерений аргументов x_j ;

· вычисляем доверительные границы случайной составляющей погрешности результата косвенного измерения

(6.12)

гдеγ— доверительная вероятность,

t_γ—коэффициент доверия, значения которого рассчитывается следующим образом.

Сначала вычисляется эффективное число степеней свободы для данного косвенного измерения:

(6.13)

где n_j — число прямых измерений аргумента x_j .

Если все n_j одинаковы и равны n, то

Задавшись значением γ, находим для k=k_эф(еслизначение k_эф получилось дробным, его следует округлить) величину t_γ;

· вычисляем доверительные границы общей погрешности результата косвенного измерения

записываем результат косвенного измерения в виде

где А – наиболее вероятное значение результата измерения (A » ).