Уравнения кирхгофа в операторной форме

Уравнения кирхгофа в операторной форме

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал	Изображение
A

Некоторые свойства изображений

Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

.

С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где — начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

Закон Ома в операторной форме

Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

,

(2)

где — операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 — ; 2 — .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ; и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,

(3)

где — к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При

.

Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лопиталя, запишем

.

.

Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

1. В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
2. Что такое операторная схема замещения?
3. Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
4. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
5. Для чего используются предельные соотношения?
6. Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?

С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

Ответ: .

С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.

Ответ: .

Законы Кирхгофа в операторной форме

Вопрос1

Характеристическое уравнение. Объяснить его физический смысл, роль начальных условий и законов коммутации.

Бессонов с 227-237 п8.2-8.13 (все жестко)

Характеристическое уравнение можно составить различными методами.

Δ=0 характеристическое уравнение где Δ(дельта)-определитель системы уравнений относительно свободных токов, число уравнений равно количеству неизвестных свободных токов.

Метод составления: (мб они и не нужны но все же)

· Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни.

· Метод входного сопротивления
1)составить эквивалентную схему без источников
2)разомкнуть любую соединительную линию
3)относительно полученных зажимов (при размыкание) найти входное сопротивление электрической цепи
4)прировнять к нулю

· Метод определителей матриц коэффициентов :

1)описать эквивалентную операторную схему любым способом

(как правило методом контурных токов)

2)записать уравнение в матричном виде

3) прировнять lAl=0 (определитель к нулю)

Независимые начальные условия (законы коммутации )
1)iL(0-)=iL(0+)

Зависимые начальные условия все остальные U(0+) и i(0+)

относительно независимых начальных условий находятся зависимые начальные условия по уравнениям Кирхгофа.

Так же читайте 2ой вопрос

Вопрос2

Дать краткое определение характеристического уравнения. Раскрыть принцип нахождения коэффициентов в функции переходного процесса для первого порядка цепи (коэффициенты А и остальные параметры, если есть).

Δ=0 характеристическое уравнение где Δ(дельта)-определитель системы уравнений относительно свободных токов, число уравнений равно количеству неизвестных свободных токов.

Составленное по 2ому закону Кирхгофа уравнение :
UL+r*i=E эквивалентно L*(di/dt)+r*i=E

Решение i=iпр(принужденное )+iсв(свободное)

Частное решение = E/R (iпр)

Общим решением этого уравнение является показательная функция следующего вида: A*e^(p*t)

iсв (i свободное ) = A*e^(p*t)

L*(diсв/dt)+r*iсв=0 (приравниваем правую часть к нулю для нахождения свободных токов)

постоянная интегрирования(коэффициент амплитуды) А для каждого свободного тока своя.

а коэффициент затухания(корень характеристического уравнения) р одинаков для свободных токов ветвей
А и р не зависят от времени
А= -(E/r)

i=iпр(принужденное )+iсв(свободное)
i=E/r-(E/r)*e^(-(r/L)*t)

ссылка на лекцию https://pp.vk.me/c630426/v630426043/ef48/_JJArujBZiQ.jpg

так же не плохой сайт http://ruseti.ru/magnit/katushka101.html

Вопрос3

Законы Кирхгофа в операторной форме.

Справочник:

Формула(не рисунок)14-1:

Формула(не рисунок)14-(4-5):

Формула(не рисунок)14-7:

Законы Кирхгофа в операторной форме:

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю.

.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура.

.

Подробности:

Для любого узла разветвленной цепи

поэтому, обозначив изображения токов Ik(p)=ik(t) на основании (14-1) получим первый закон Кирхгофа в операторной

(14-20)

для любого замкнутого контура, состоящего из n ветвей,

и повторяя все рассуждения, которые были сделаны при записи закона Ома в операторной форме, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме:

что можно переписать так:

(14-21)

В последних выражениях ik(0) и Uck(0) — начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.

Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при ik(0)=0и Uck(0)=0

(14-22)

В такой записи он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.

вопрос4

Магнитные цепи. Основные понятия: намагниченность, магнитная индукция, напряженность, магнитный поток, абсолютная и относительная магнитные проницаемости. петля гистерезиса и ее характеристики

Магнитная цепь — последовательность взаимосвязанных магнетиков, по которым проходит магнитный поток. При расчётах магнитных цепей используется почти полная формальная аналогия с электрическими цепями. В схожем математическом аппарате также присутствует закон Ома, правила Кирхгофа и другие термины и закономерности.

Намагни́ченность, характеристика магнитного состояния макроскопического физического тела. Любое вещество, помещенное в магнитное поле, приобретает некоторый магнитный момент. Намагниченность– это магнитный момент единицы объема. В случае однородно намагниченного тела намагниченность определяется как:

где М — магнитный момент тела, V — его объем.

В несильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничивание: J =H, где — магнитная восприимчивость вещества.

В случае неоднородно намагниченного тела намагниченность определяется для каждого физически малого объема dV:

где dM — магнитный момент объема dV.

Единица намагниченности в Международной системе единиц — ампер на метр (1 А/м — это такая намагниченность, при которой 1 м 3 вещества обладает магнитным моментом 1 Ахм 2 ).

Намагниченность тел зависит от внешнего магнитного поля и температуры.

У ферромагнетиков зависимость J от напряженности внешнего поля Н выражается кривой намагничивания. В изотропных веществах направление J совпадает с направлением Н, в анизотропныхнаправления J и Н в общем случае не совпадают.

МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

-векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле.

Вектор магнитной индукции всегда направлен по касательной к магнитной линии

где F- сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током ( H );
I — сила тока в проводнике ( A );
l — длина проводника ( м ).

Единица измерения индукции магнитного поля в СИ:
[ B ] = 1Тл ( тесла).

МАГНИТНЫЙ ПОТОК

Контур, помещенный в однородное магнитное поле, пронизывается магнитным потоком
( потоком векторов магнитной индукции).

Ф — магнитный поток, пронизывающий площадь контура, зависит от
величины вектора магнитной индукции, площади контура и его ориентации относительно линий индукции магнитного поля.

Если вектор магнитной индукции перпендикулярен площади контура, то магнитный потокмаксимальный.

Если вектор магнитной индукции параллелен площади контура, то магнитный поток равен нулю.

Напряженностью магнитного поля называют векторную величину , характеризующую магнитное поле и определяемую следующим образом:

,

Напряженность магнитного поля заряда q, движущегося в вакууме равна:

,

Это выражение показывает закон Био–Савара–Лапласа для .

Напряженность магнитного поля является, как бы, аналогом вектора электрического смещения в электростатике.

Абсолютная магнитная проницаемость среды описывает магнитные свойства среды. Абсолютная магнитная проницаемость среды обозначается μ_a.

Для описания магнитных свойств вакуума используют магнитную постоянную. Магнитная постоянная обозначается μ₀. Магнитная постоянная равна:

μ₀ = 4π * 10 -7 Гн/м

Гн — генри, генри равен Ом*с.

Относительная магнитная проницаемость среды

Относительная магнитная проницаемость среды описывает во сколько раз индукция данного магнитного поля в данной среде отличается от индуции этого же поля в вакууме. Относительная магнитная проницаемость среды обозначается μ_r или просто μ. Относительная магнитная проницаемость среды является безразмерной величиной. Относительная магнитная проницаемость для ферромагнитных материалов зависит от изменения магнитного поля. Для прочих материалов относительная магнитная проницаемость примерно равна единице и постоянна.

Формула абсолютной магнитной проницаемости

Формула абсолютной магнитной проницаемости:

№64 Законы электротехники в операторной форме.

Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравнений:

для котушки индуктивности:

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения:

для котушки индуктивности:

Таким образом, идеальным элементам R, L, C электрической схемы будут соответствовать новые схемные представления этих элементов в операторной схеме (см. табл.).

Здесь R, pL, 1/pC – операторные сопротивления соответственно резистора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p) любого участка схемы можно получить из его комплексного сопротивления Z(jω), заменив в выражении множитель jω на оператор p.

Li(0), uC(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. Направления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника Li(0) и навстречу напряжению uC(0) для источника uC(0)/p.

C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i(t), u(t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I(p) ,U(p). Например, электрической схеме рис. 64.1 соответствует операторная схема, представленная на рис. 64.2.

Для электрической схемы рис. 64.1 справедливо дифференциальное уравнение, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

Для операторной схемы рис. 64.2 справедливо аналогичное уравнение, но в операторной форме:

операторное сопротивление всей схемы,

∑E(p) — сумма всех источников ЕДС контура, в том числе и внутренних.

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линейных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для сложных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому методу для электрических схем.