Уравнения кирхгофа в цепи синусоидального тока

№18 Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

где n — число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

где m — число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Киргофа в символической форме

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).

Токи первых двух ветвей известны:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Рис. 18.1 — Узел электрической цепи

Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 18.2 — Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

По первому закону Киргофа в символической форме

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент — начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.

Однофазные цепи синусоидального тока

Содержание:

Основные определения, понятия и законы в теории электрических цепей:

Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической энергии, если процессы, протекающие в этих устройствах, могут быть определены с помощью понятий ЭДС, тока и напряжения, которые могут быть как постоянными

Электрическая схема — это изображение электрической цепи с помощью условных обозначений. Несмотря на всё многообразие цепей, каждая из них содержит элементы двух основных типов — это источники и потребители.

Источники энергии (см. рис. 1.1) могут быть двух типов: источники ЭДС (напряжения) и источники тока.

Рис. 1.1. Реальные источник ЭДС (a) и источник тока (b)

Источник тока характеризуется величиной тока и внутренней проводимостью

Источник напряжения характеризуется двумя основными параметрами: величиной ЭДС и величиной его внутреннего сопротивления Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно

Для источника ЭДС положительное направление указывается стрелкой, т.е., напряжение: убывает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

Если внутренним сопротивлением источника можно пренебречь реализуется классический вариант идеального источника ЭДС. Напряжение на зажимах такого источника не зависит от силы тока (см. В.А.Х. рис. 1.2,b).

Другим вариантом идеального источника энергии является источник тока, для которого (рис. 1.2,с). Ввиду того, что идеальный источник тока имеет бесконечное внутреннее сопротивление, то его ток, остается постоянным, а напряжение на зажимах может быть любым.

Рис. 1.2. Вольт-амперные характеристики а) реального источника ЭДС, b) идеального источника ЭДС, c) идеального источника тока

Поскольку физические свойства идеальных источников коренным образом различны, то прямая их замена друг на друга невозможна. Тем не менее, процедура преобразования одного реального источника в другой возможна и широко применяется в расчетах. Например, при замене реального источника тока в реальный источник ЭДС его параметры равны:

По своим физическим свойствам элементы электрических цепей могут характеризоваться такими параметрами, как сопротивление индуктивность емкость (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Потребители в электрических цепях

Под идеализированным резистивным элементом цепи (в дальнейшем для краткости — сопротивление понимают параметр пассивного двухполюсника, равный отношению активной мощности, поглощаемой в этом двухполюснике, к квадрату действующего значения электрического тока через этот двухполюсник. Это такой элемент электрической цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в неэлектрические виды энергии. Сопротивление на основании закона Ома выражается отношением:

Вольт-амперные характеристики (В.А.Х.) линейного (1) и нелинейного (2) сопротивлений изображены на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Вольт-амперные характеристики линейного (1) и нелинейного (2) сопротивлений

Под идеализированным индуктивным элементом электрической цепи (в дальнейшем для краткости — индуктивность понимают такой элемент, в котором происходит процесс преобразования энергии источника ЭДС или тока в энергию магнитного поля. Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току в ней:

где — индуктивность катушки, Гн; — потокосцепление, Вб; — магнитный поток, Вб; — число витков катушки.

Вебер-амперные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) индуктивности представлены на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Вебер-амперные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) индуктивности

Под идеализированным емкостным элементом электрической цепи (в дальнейшем для краткости — емкость понимают такой элемент, в котором происходит процесс преобразования энергии источника ЭДС или тока в энергию электрического поля элемента. Емкость определяется отношением заряда к напряжению:

где — ёмкость элемента, — заряд, Кл, — напряжение,

Кулон-вольтные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) емкости представлены на рис. 1 .6.

Рис. 1.6. Кулон-вольтные характеристики линейной (1) и нелинейной (2) емкости

Любая цепь характеризуется следующими основными топологическими понятиями.

Ветвь — это участок цепи, составленный из последовательно соединенных элементов цепи и расположенный между двумя узлами.

Узел — это точка цепи, где сходятся три или более ветвей.

Контур — это любой замкнутый путь (рис. 1.7.), проходящий по нескольким ветвям.

Рис. 1.7. Электрический контур

Контур называется независимым, если в его составе присутствует хотя бы одна новая ветвь, ранее не входившая в другие контуры. В схеме на рис 1.7 при замкнутом ключе имеем три контура, но лишь два из них независимы.

Закон Ома

Закон Ома для пассивного участка цепи при постоянных токах имеет вид:

Рассмотрим участок цепи с ЭДС (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Линейный участок цепи, содержащий ЭДС

Из состава сложной электрической цепи выделим ветвь, содержащую источник энергии и потребитель. Для определенности примем, что направления тока и источника ЭДС совпадают.

При условно выбранных положительных направлениях тока и ЭДС в ветви имеем:

Вычтем из уравнения (1.5) уравнение (1.6) и тогда получим

Полученное выражение представляет собой закон Ома для участка цепи с ЭДС. В случае несовпадения направления тока в ветви с направлениями напряжения и ЭДС перед ними появляется знак «минус».

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

где — номер ветви, — общее количество ветвей.

Второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Уравнение баланса мощности:

где — ток источника тока; — напряжение на зажимах источника тока.

Уравнение баланса мощности является модификацией закона сохранения энергии для электрических цепей. Это базовое уравнение для проверки правильности выполненных расчетов тех или иных цепей. В левой части этого уравнения стоит арифметическая сумма мощностей, потребляемых приёмниками. В правой части — мощность, отданная источниками в цепь.

При этом возможна такая ситуация, когда одно из слагаемых суммы справа может оказаться отрицательным. Это будет означать, что в данной ситуации источник становится потребителем. Она возникает в случае, когда ток и ЭДС источника направлены встречно, например, зарядка аккумулятора.

Цепи однофазного синусоидального тока и напряжения

Рассмотренные выше источники энергии могут быть источниками постоянного или переменного напряжения (тока), причём закон изменения во времени источников переменного напряжения (тока) может носить как периодический, так и непериодический характер. Наибольшее практическое распространение получили источники, а, следовательно, и цепи, электромагнитные процессы в которых подчиняются периодическому закону.

Частным случаем таких цепей являются цепи однофазного синусоидального тока.

Мгновенное значение любой синусоидальной функции: напряжения, тока, ЭДС и т.д. может быть представлено выражением вида:

где — амплитуда — наибольшее значение функции за период (рис. 2 .1 ); — аргумент синуса — текущая фаза колебания, рад; — круговая (циклическая) частота колебания, рад/с; — время, с; — начальная фаза, которая показывает смещение синусоиды по оси абсцисс относительно начала координат вправо или влево рад.

Период и частота колебаний связаны между собой соотношением:

а круговая(циклическая) частота:

Рис. 2.1. График периодической функции напряжения

Среднее и действующее значения периодической функции (тока и напряжения)

Средней величиной переменного тока (ЭДС, напряжения) называется среднее арифметическое из всех мгновенных величин за полупериод. Согласно определению:

где — периодическая функция; — период функции

Ввиду симметричности синусоиды получаем, что среднее ее значение за период равно нулю, поэтому вводят понятие среднего значения за половину периода:

Например, для синусоидального тока, его среднее значение будет равно:

Значительно большее значение имеет понятие действующего значения периодических функций. Определим количество тепла, выделенное за период переменным током и постоянным током, равным

Для переменного тока:

Для постоянного тока:

Приравняв правые части уравнений, получим:

где -действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального тока.

На рис. 2.2. пунктирной линией изображено действующее значение синусоидального тока.

Рис. 2.2. Синусоидальная функция тока и ее действующее значение

Элементы R, L, C в цепях синусоидального тока

Синусоидальный ток в резистивном элементе:

Пусть ток в этом элементе изменяется по закону На рис. 2.3 показаны условно положительные направления тока и напряжения.

Рис. 2.3. Условно положительные направления тока и напряжения на сопротивлении

Определим напряжение, действующее на зажимах резистивного элемента на основании закона Ома:

Полученный результат показывает, что напряжение изменяется в фазе с током.

Определим мгновенную мощность, потребляемую сопротивлением

где — действующие значения напряжения и тока соответственно.

Из графика мгновенной мощности (рис. 2.4) следует, что она не отрицательна и меняется с удвоенной частотой.

Рис. 2.4. Графики мгновенных значений напряжения, тока и мощности на сопротивлении

Для оценки потребляемой приемником мощности вводят понятие средней мощности за период:

где — средняя мощность за период (активная мощность), Вт

Синусоидальный ток в индуктивном элементе

Пусть ток в этом элементе изменяется по закону:

На рис. 2.5 показаны условно положительные направления тока, напряжения и ЭДС самоиндукции.

Определим напряжения на индуктивности На основании закона электромагнитной индукции:

где — индуктивное сопротивление, Ом.

Рис. 2.5. Условно положительные направления тока, напряжения и ЭДС самоиндукции

Напряжение на индуктивности опережает ток на

Мгновенная мощность на индуктивности:

Среднее значение мощности за период:

Для оценки запасенной в индуктивности энергии магнитного поля вводят понятие реактивной (индуктивной) мощности

где — индуктивная (реактивная) мощность, вар.

Из графика мгновенной мощности (рис. 2.6) следует, что положительная полуволна мощности соответствует потреблению энергии из сети, а отрицательная — ее возврату в сеть.

Энергия, потребляемая индуктивностью, работы не совершает.

Рис. 2.6. Графики мгновенных значений напряжения, тока и мощности на индуктивности

Синусоидальный ток в емкостном элементе

Пусть ток в этом элементе изменяется по закону:

На рис. 2.7 показаны условные положительные направления тока и напряжения на емкости.

Рис. 2.7. Условно положительные направления тока и напряжения на емкости

где — заряд, накопленный емкостью, Кл.

Для линейной емкости следовательно

называется емкостным сопротивлением, Ом.

Ток в ёмкости опережает приложенное напряжение на угол 90°, также можно считать, что напряжение отстаёт от тока на 90°.

Определим мгновенную мощность:

Среднее значение мощности за период:

Таким образом, идеальная емкость не потребляет из сети активную мощность. Для оценки запасенной в емкости энергии электрического поля вводят понятие реактивной мощности:

Графики функций тока, напряжения и мгновенной мощности представлены на рис. 2.8. Если энергия идёт на создание электрического поля, при происходит возврат энергии в сеть.

Рис. 2.8. Графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности на емкости

Изображение синусоидальных функций времени (напряжение, сила тока) векторами на комплексной плоскости

Расчет сложной разветвленной цепи может быть существенно упрощен, если представить синусоидальные токи и напряжения векторами, расположенными на комплексной плоскости. Такой метод получил название метода комплексных амплитуд.

В основе этого метода лежит формула Эйлера:

где — мнимая единица. Умножив обе части формулы (2.21) на некоторое число получим:

где — модуль комплексного числа; — аргумент комплексного числа; — вещественная составляющая комплексного числа — мнимая составляющая комплексного числа

Поскольку в формуле Эйлера угол может быть любым, сделаем его линейной функцией времени:

Полученный результат показывает (2.24), что синусоидальная функция времени есть мнимая часть некоторой комплексной функции представленной на рис. 2.9:

Рис. 2.9. Изображение вектора на комплексной плоскости — угловая частота вращения вектора

Положив, что получим:

Векторная диаграмма — диаграмма векторов на комплексной плоскости, построенная с учетом их взаимной ориентации по фазе.

Если векторы вращаются на плоскости с одинаковыми частотами то их взаимное положение не меняется. Это свойство позволяет исключить из рассмотрения сам факт их вращения, то есть принять при расчете

В качестве примера на рис. 2.10 изображена операция умножения некоторого вектора на оператор поворота

Рис. 2.10. Умножение вектора на и

Пусть модуль Его положение на комплексной плоскости зависит от значения аргумента. Значениям соответствуют комплексные числа

Основы символического (комплексного) метода расчета цепей синусоидального тока

Цепь, составленная из разнородных элементов, описывается системой дифференциальных уравнений, решение которой при синусоидальных токах и напряжениях затруднительно. Комплексный метод расчета позволяет перейти от тригонометрических уравнений, составленных для мгновенных токов, напряжений и других величин, к алгебраическим уравнениям, составленным для соответствующих им комплексным изображениям.

Последовательное соединение элементов R L C

На рис. 2.11 изображена схема с последовательным соединением активного индуктивного и емкостного сопротивлений.

Рис. 2.11. Последовательное соединение элементов

Схема (рис. 2.11) на основании второго закона Кирхгофа для мгновенных величин описывается уравнением:

Перейдем к комплексным изображениям. Пусть мгновенный ток и его комплексное изображение изменяются по закону:

Используя полученный комплекс тока, определим комплексы действующих значений падений напряжений на участках цепи: для сопротивления:

Найденные комплексы подставим в исходное уравнение:

Выражение (2.32) представляет собой закон Ома в комплексной форме. В знаменателе — комплексное сопротивление рассматриваемой цепи, которое имеет вещественную и мнимую составляющую:

На рис. 2.12 сопротивление показано как комплексной плоскости

Рис. 2.12. Изображение сопротивления на комплексной плоскости

Для комплексных амплитуд закон Ома запишется в следующем виде:

где — амплитуда напряжения.

Аргумент комплексного сопротивления:

Построим векторную диаграмму цепи (рис. 2.13), приняв для определенности, что

Рис. 2.13. Векторная диаграмма для последовательного колебательного контура

Полагая, что ток и напряжение изменяются по законам:

и, заменив их комплексными изображениями, начнем построение векторной диаграммы с вектора тока, т.к. он одинаков на всех участках цепи. На основании уравнений 2.28-2.30 вектор совпадает по фазе с током, вектор опережает ток на вектор отстает от тока на Суммарный вектор представляет собой комплексное изображение напряжения сети. Из построенной на комплексной плоскости векторной диаграммы можно выделить векторный треугольник напряжений, представленный на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Векторный треугольник напряжений

Ниже на рис. 2.15 приведен треугольник сопротивлений.

Рис. 2.15. Скалярный треугольник сопротивлений

Угол сдвига фаз между током и напряжением можно определить из любого треугольника:

Резонанс напряжений

Резонансом в цепях переменного тока, содержащих индуктивные и емкостные элементы, называется явление совпадения по фазе векторов тока и напряжения на входе цепи или на участке цепи, при этом

Резонанс напряжений наблюдается в последовательном колебательном контуре. На рис. 2.16 приведена векторная диаграмма для этого режима.

Рис. 2.16. Векторная диаграмма резонансного режима

При резонансе реализуется равенство:

где — собственная циклическая частота последовательного колебательного контура при резонансе.

Резонанс достигается путем изменения одного из параметров при двух других фиксированных.

Определим индуктивное и емкостное сопротивления цепи при резонансе:

Величина называется волновым сопротивление контура.

Введем еще один важный параметр, характеризующий резонанс — добротность контура:

Добротность (коэффициент резонанса) — это отношение напряжения на индуктивности или на емкости при резонансе к входному напряжению цепи.

Рассмотрим энергетические соотношения в цепи при резонансе напряжений. Определим суммарную энергию, потребляемую реактивными элементами из сети:

Таким образом, суммарная энергия электрического и магнитного полей при резонансе остается величиной постоянной:

Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Рассмотрим частотные характеристики цепи в последовательном колебательном контуре. Пусть к данной электрической цепи подведено синусоидальное напряжение с частотой которая меняется от 0 до При этом частотно-зависимые параметры цепи, а именно ее реактивное и полное сопротивления, будут меняться, что вызовет соответствующие изменения тока и напряжений на отдельных ее участках. Будем при этом полагать, что напряжение сети во всем диапазоне изменения частот остается неизменным и активное сопротивление не зависит от частоты.

Построим функции названных выше сопротивлений в одних координатных осях (рис. 2.17).

Рис. 2.17. Зависимости сопротивлений цепи от частоты

Исходя из построений, можно заключить, что в дорезонансной области частот цепь имеет емкостной характер, в зарезонансной области — индуктивный, а в точке резонанса характер нагрузки активный. На рис. 2.18 представлены зависимости падений напряжения, тока и фазы последовательного колебательного контура от частоты.

Рис. 2.18. Кривые изменений напряжений, тока и фазы от частоты

На нулевой частоте (источник постоянной ЭДС) индуктивность заменяется короткозамкнутым проводником, а емкость — разрывом; на бесконечной частоте свойства указанных элементов меняются местами.

Значения функции не существуют при и

Оценим влияние параметров цепи на форму резонансной кривой тока. Решение этого вопроса начнем с сопротивления последовательного колебательного контура, выполнив с ним следующие преобразования:

Используя полученное выражение для входного сопротивления определим ток:

где — максимальное значение тока в цепи при резонансе.

Резонансные кривые в соответствии с (2.42) приведены на рис. 2.19 в относительные единицах:

Рис. 2.19. Резонансные кривые

Построенные зависимости показывают, что чем больше добротность тем более заостренной получается зависимость тока от частоты. Эта особенность последовательного контура используется в радиоприемниках для поиска несущей частоты соответствующей радиостанции.

Параллельное соединение элементов R L C

Рассмотрим параллельное соединение активного индуктивного и емкостного сопротивлений (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Схема параллельного соединения элементов

Пусть на вход цепи подано напряжение тогда по первому закону Кирхгофа относительно комплексных токов получим уравнение:

Комплексное изображение входного напряжения:

Для определения комплекса общего тока найдем его составляющие:

тогда комплекс общего тока:

Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости для параллельного соединения (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Векторная диаграмма параллельного соединения разнородных элементов

Пусть тогда что соответствует активно-индуктивному характеру нагрузки.

Выражение в скобках (2.43) имеет размерность 1/Ом или См (сименс) и носит название комплексной проводимости цепи:

где — модуль комплексной проводимости; — угол сдвига фаз между током и напряжением.

Комплексная амплитуда общего тока:

Мгновенное значение общего тока:

Под комплексной проводимостью любой цепи понимается величина, обратная ее полному комплексному сопротивлению:

где — активная проводимость данной цепи, См; — суммарная реактивная проводимость, См.

где и — индуктивная и емкостная проводимости соответственно.

Из векторной диаграммы рис. 2.21 можно выделить треугольник токов (рис. 2.22).

Рис. 2.22. Векторный треугольник токов

Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Скалярный треугольник проводимостей

В качестве примера для ветви, изображенной на рис. 2.24, определим ее активную и реактивную проводимости.

Рис. 2.24. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением

В полученном выражении проводимости ветви имеем: — активная составляющая, — соответственно индуктивная составляющая проводимости ветви.

Резонанс токов

Резонансный режим, возникающий при параллельном соединении элементов и называется резонансом токов. В отличие от рассмотренного ранее режима резонанса напряжений, данный режим не столь однозначен.

Рис. 2.25. Цепь с параллельным соединением разнородных приемников

В цепи по рис. 2.25 режим резонанса токов возникает при условии равенства нулю результирующей реактивной проводимости этой цепи, т.е.:

Реактивные проводимости ветвей соответственно равны:

Подставим выражения и в (2.48):

и после преобразования получим резонансную частоту:

Анализ полученного уравнения показывает, что существует четыре возможных варианта значений частоты

1. Если то

2. Если то

С физической точки зрения это означает, что входное сопротивление данного контура равно ее волновому сопротивлению, которое не зависит от частоты, а значит, резонанс будет иметь место при любой частоте источника. Для доказательства этого положения определим входное сопротивление цепи:

3. Если и или и то под корнем получилось отрицательное число, т.е. резонансной частоты не существует для данных параметров

4. Если или то подкоренное число положительное, тогда получаем единственную резонансную частоту

Частотные характеристики параллельного колебательного контура

Для простоты рассмотрим идеальный контур, то есть контур без потерь (рис. 2.26).

Рис. 2.26. Параллельный колебательный контур

На рис. 2.27 построены частотные характеристики реактивных проводимостей и а также суммарной проводимости цепи

Рис. 2.27. Частотные характеристики параллельного колебательного контура

При изменении частоты от нуля до бесконечности параллельный колебательный контур имеет индуктивный характер до резонансной частоты и ёмкостный характер в послерезонансном диапазоне частот.

Ток в неразветвленной части цепи:

График тока (рис. 2.28), изображенный сплошной линией, говорит о том, что при резонансе общий ток, потребляемый цепью, равен нулю, несмотря на наличие токов в ветвях, что, в свою очередь, подтверждается векторной диаграммой (рис. 2.29).

Рис. 2.28. График зависимости тока в неразветвленной части цепи от частоты

Рис. 2.29. Векторная диаграмма для резонансного режима идеального параллельного контура

При учете сколь угодно малого активного сопротивления цепи ток при резонансе не равен нулю. Пунктирная кривая изображает реальный ток в цепи.

Мощность в цепи синусоидального тока

Рассчитаем мощность произвольного приемника, представленного на рис. 2.30 в виде пассивного двухполюсника

Рис. 2.30. Пассивный двухполюсник

Пусть подводимое напряжение, — ток двухполюсника,

Тогда мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником будет:

Построим график полученной функции (рис. 2.31).

Рис. 2.31. Зависимость мгновенных значений тока, напряжения и мощности пассивного двухполюсника

Полученный график говорит о том, что функция мгновенной мощности знакопеременна, причем амплитуда положительной полуволны больше амплитуды отрицательной полуволны. Это значит, что двухполюсник имеет активно-реактивный характер. Если бы двухполюсник не содержал реактивных элементов, то график полностью бы лежал над осью Найдем среднее значение мгновенной мощности за период:

Эта мощность называется активной мощностью. Наряду с активной вводится понятие полной мощности:

Единица измерения полной мощности — вольт-ампер

Разность полной и активной мощности, обусловленная наличием реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, называется реактивной мощностью:

Единица измерения реактивной мощности — вольт-ампер реактивный [вар]. Мощности связаны между собой соотношением:

Треугольник мощностей (рис. 2.32.а) можно получить из векторной диаграммы напряжений (см. рис. 2.14), умножив все стороны треугольника напряжений на вектор тока

В этом треугольнике:

сторона

сторона

сторона

Рис. 2.32. Треугольники мощностей на основе векторной диаграммы напряжений (а) и векторной диаграммы токов (b)

Аналогичный треугольник мощностей по рис. 2.32. b можно получить из векторной диаграммы токов (рис. 2.22), умножив все стороны треугольника токов на вектор

сторона

сторона

сторона

Выражение мощности в комплексной форме

Пусть на входе некоторого двухполюсника известны комплексные изображения напряжения и тока:

Мощность в комплексной форме выражается в виде произведения:

где — сопряженный комплекс тока

При умножении комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока аргумент мощности получится равным

Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному

При работе любой электрической цепи должен иметь место баланс мощностей, т.е. алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться алгебраическим суммам активных и реактивных мощностей, потребляемых во всех пассивных элементах цепи, включая и внутренние сопротивления генераторов.

Полная мощность, развиваемая генератором:

Полная мощность, потребляемая любым приемником:

Тогда уравнение баланса мощностей:

где и — соответственно внутренние активные и реактивные сопротивления генераторов.

Пусть в электрической цепи работает один источник энергии. Оценим условия, при которых в нагрузке будет выделяться максимальная мощность. Ток в цепи:

Реактивное сопротивление цепи должно равняться нулю:

т.е. цепь должна работать в резонансном режиме, и, следовательно, и должны быть равными по величине и противоположными по характеру (индуктивное и емкостное сопротивления). В итоге имеем:

Найдем соотношение между сопротивлениями и Для этого определим мощность приемника:

и, полагая, что сопротивление нагрузки переменно, исследуем функцию на экстремум:

Следовательно, для получения максимальной мощности в нагрузке необходимо, чтобы:

т.е., сопротивления генератора и нагрузки должны быть комплексно сопряженными величинами. Режим работы цепи при этом условии называется согласованным режимом. КПД источника при этом условии:

При столь низком КПД согласованный режим работы используется только в слаботочных цепях, таких, например, как телефонные линии связи, линии автоматики и управления и т.д., где важна величина полезного сигнала по сравнению с помехами.

Коэффициент мощности

Наибольшие действующие значения напряжения и тока, допускаемые для генераторов и трансформаторов, производящих и, соответственно, преобразующих электрическую энергию, зависят от их конструкции, а наибольшая мощность, которую они могут развивать, не подвергаясь опасности быть поврежденными, определяется произведением этих значений. Поэтому рациональное использование электрических машин и трансформаторов может быть достигнуто лишь в том случае, когда приёмники электрической энергии обладают высоким коэффициентом мощности

Подавляющее большинство потребителей энергии носит активноиндуктивный характер, т.е. т.к. наиболее широко используемые асинхронные двигатели потребляют из сети реактивный (индуктивный) ток для создания магнитного поля в машине.

Для улучшения (увеличения) группы приемников параллельно им включают конденсаторы. Покажем, как рассчитать емкость, необходимую для повышения до некоторой необходимой величины.

Пусть суммарная активная мощность приемников:

При увеличении и неизменном напряжении сети:

Следовательно,

Проиллюстрируем расчет необходимой величины емкости для повышения коэффициента мощности до значения помощью векторной диаграммы, представленной на рис. 2.33.

Рис. 2.33. Векторная диаграмма, иллюстрирующая повышение коэффициента мощности

Рассчитаем необходимый емкостный ток по выражению:

Такую же роль, как конденсаторы, могут играть синхронные двигатели, работающие в «перевозбужденном» режиме. Они при этом потребляют из сети ток, реактивная составляющая которого носит емкостной характер.

Электрическая цепь однофазного синусоидального тока

Синусоидальные электрические величины:

Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьшее время, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются, называется периодом. Если величину, являющуюся периодической функцией времени t, обозначить через F (t), то для любого положительного или отрицательного значения аргумента t справедливо равенство

Геометрически это значит, что ординаты двух произвольных точек графика F (t) с абсциссами, различающимися на Т, одинаковы.

Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой:

Единицей измерения частоты служит герц (Гц); частота равна 1 Гц, если период равен 1 с.

Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, характеризующийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальными функциями одинаковой частоты. Это возможно только при заданных синусоидальных э. д. с. и токах источников. Тем самым обеспечивается наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок.

Как известно из курса математического анализа, синусоида является простейшей периодической функцией; всякие другие несинусоидальные периодические функции могут быть разложены в бесконечный ряд синусоид, имеющих кратные частоты. Поэтому для исследования процессов в цепях переменного тока в первую очередь необходимо изучить особенности цепей синусоидального тока.

На рис. 2-1 изображена синусоидальная функция

здесь — максимальное значение, или амплитуда; — скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению частоты на и измеряется в радианах в секунду (рад/с),

— начальная фаза, определяемая смещением синусоиды относительно начала координат; она измеряется абсциссой точки перехода отрицательной полуволны в положительную.

Начальная фаза представляет собой алгебраическую величину. Угол положителен и отсчитывается вправо, к точке t=0, когда синусоидальная функция смещена влево относительно начала координат (рис. 2-1).

Косинусоида может рассматриваться как синусоида с начальной фазой Если функция задана-в косинусоидальной форме , то она может быть приведена к виду (2-1) путем замены . Поэтому к синусоидальным функциям (2-1) в общем еду чае причисляются и косинусоидальные функции.

За аргумент функции (2-1) может быть принято время t или соответственно угол . Аргументу t соответствует период Т, а аргументу — период Следует иметь в виду, что аргумент выражается в радианах, причем в тех же единицах выражается и начальная фаза.

Если угол вычисляется в градусах, то аргумент также переводится в градусы ; в этом случае период составляет 360°.

Величина определяющая стадию изменения синусоидальной величины (2-1), называется фазовым углом или фазой. С течением времени фаза возрастает, причем после увеличения фазы на цикл изменения синусоидальной величины повторяется.

Рассмотренные в данном параграфе понятия, характеризующие синусоидальные электрические величины, являются исходными при изучении электрических процессов в цепях переменного тока.

Генерирование синусоидальной э. д. с.

Наиболее распространенным в промышленности способом получения синусоидального тока является применение электромагнитных машин, так называемых синхронных генераторов, приводимых во вращение тепловыми, газовыми, гидравлическими или другими двигателями.

Генератор переменного тока состоит из двух частей — неподвижного статора и вращающегося ротора.

1 Напомним, что 1 рад = 57,3°.

На одном из них (чаще на роторе) располагаются полюсы, т. е. электромагниты, обмотка которых питается от источника постоянного напряжения, или постоянные магниты. На другом (обычно на статоре) располагается главная обмотка, в которой наводится переменная э. д. с.

Генератор может иметь одну или несколько пар полюсов. На рис. 2-2, а упрощенно показан явнополюсный генератор с двумя парами полюсов, размещенных на роторе. Указанному на рис. 2-2, а положению ротора относительно статора соответствует на рис. 2-2, б развернутая на плоскость схема расположения обмотки и полюсов.

В каждом проводе обмотки, находящемся в пазу статора, при вращении ротора наводится по закону Фарадея

Рис. 2-2, Принцип устройства синхронного генератора,
э. д. с. где В — магнитная индукция поля под проводом; l — длина провода; v — линейная скорость перемещения магнитного поля. В Международной системе В измеряется в теслах (Т), т. е. Вб/

При постоянных значениях закон изменения э. д. с. е (t) определяется законом распределения магнитной индукции В в воздушном зазоре машины. Благодаря специальной форме полюсных наконечников распределение магнитной индукции делается приблизительно синусоидальным ‘вдоль всей окружности зазора между ротором и статором; магнитная индукция максимальна против середин и постепенно убывает к краям полюсных наконечников.

В момент времени, которому соответствует указанное на рис. 2-2 положение ротора, магнитная индукция под проводом равна нулю и поэтому э. д. с. е также равна нулю.

После поворота ротора на одну восьмую часть полного оборота (половина полюсного шага) э. д. с. достигнет максимума и будет направлена от вывода 1 к выводу 2 (по правилу правой руки) Когда ротор повернется еще на половину полюсного шага, э. д. с. вновь обратится в нуль. При последующем вращении ротора еще на одну восьмую часть оборота э. д. с. достигнет максимума, но будет противоположно направлена — от вывода 2 к выводу 1 и т. д. Таким образом, на выводах генератора возникнет практически синусоидальная э. д. с.

При числе пар полюсов р и числе оборотов ротора в минуту п частота наводимой переменной э. д. с. в герцах равна:

В энергосистемах СССР и большинства других стран частота промышленного тока равна 50 Гц. В США принята частота 60 Гц.

В авиации с целью уменьшения массы оборудования применяются машины с повышенной частотой вращения. Частота / при этом получается повышенной (400 Гц). Например, генератор, имеющий р = 2 и n = 12 000 об/мин, генерирует синусоидальную э. д. с. с частотой

При большой окружной скорости > 50 м/с) крепление полюсов затруднено и для обеспечения механической прочности применяются неявнополюсные машины, у которых обмотка возбуждения укладывается в пазы цилиндрического ротора неравномерно, так чтобы форма поля была по возможности синусоидальной.

Проводная связь использует частоты порядка Гц, а радиотехника — еще более высокие частоты. Генерирование токов высокой частоты осуществляется с помощью электронных или полупроводниковых устройств.

На рис. 2-3 в виде примера показана одна из схем электронного генератора высокой частоты. Анод трехэлектродной лампы (триода) присоединен через контур LC к положительному полюсу источника постоянного напряжения, например аккумуляторной батареи. В контуpe LC, называемом резонансным, возникают незатухающие синусоидальные колебания тока, частота которых зависит от выбора параметров L и С.
Эго правило заключается в следующем: если вектор магнитной индукции входит в ладонь, а отогнутый большой палец показывает направление движения проводника относительно поля, то остальные четыре пальца указывают направление наводимой э. д. с.

Аналогично по правилу левой руки большой палец указывает направление силы, действующей на проводник с током.

Электрическая энергия, необходимая для поддержания этих колебаний, поступает от аккумуляторной батареи.

Работа электронных генераторов здесь не рассматривается. Процессам, происходящим в резонансных цепях5. Принцип действия электронных генераторов разобран во второй части курса. Приведенная выше схема электронного генератора предназначена для получения синусоидальных колебаний высокой частоты.

Начало практического внедрения переменного тока относится ко втррой половине XIX в., когда выдающийся русский электротехник Павел Николаевич Яблочков (1847—1894) стал применять на практике изобретенные им электрические свечи.

Среднее и действующее значения функции

Среднее значение периодической функции f (t) за период Т определяется по формуле

Отсюда видно, что среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f (t) и осью абсцисс за один период.

В случае синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны синусоиды. Поэтому здесь пользуются понятием среднего значения функции, взятой по абсолютному значению или, что то же, среднегополупериодного значения, соответствующего положительной полуволне синусоиды (рис. 2-4).

В соответствии с этим среднее значение синусоидального тока с амплитудой А — будет:

Аналогично среднее значение синусоидального напряжения

Измерительные приборы магнитоэлектрической системы реагируют на средние значения за период. Для измерения среднего полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне, синусоидальный ток предварительно пропускается через выпрямительное устройство.

Тепловое действие тока, а также механическая сила взаимодействия двух проводников, по которым проходит один и тот же ток, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят обычно по так называемому действующему (среднеквадратичному) значению за период.

Действующее значение периодической функции вычисляется по формуле

Из этой формулы следует, что величина F2 представляет собой.среднее значение функции за период Т, т. е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией и осью абсцисс за один период (рис. 2-5).
Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и
ныне не рекомендуемый термин «эффективное» значение,

В соответствии с (2-7) действующий периодический ток

Возведя (2-8) в квадрат и умножив обе части полученного выражения на rТ, найдем:

Это равенство показывает, что действующий периодический ток равен такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление r, за период времени Т выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

Аналогично действующее периодическое напряжение

При синусоидальном токе

Следовательно, согласно (2-8)

Аналогично действующее синусоидальное напряжение

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующими значениями; поэтому действующие значения представляют наиболее распространенный электрический параметр.

Для измерения действующих значений применяются системы приборов тепловая, электромагнитная, электродинамическая и др.

Синусоидальный ток в сопротивлении

Если синусоидальное напряжение подвести к сопротивлению r (рис. 2-6, й), то через сопротивление пройдет синусоидальный ток

Следовательно, напряжение на выводах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют

одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе: они

одновременно достигают своих амплитудных значений и и соответственно одновременно проходят через нуль (рис. 2-6, б).

Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинаковую частоту, называется фазовым сдвигом. В данном случае фазовый сдвиг между напряжением и и током i равен нулю:

При прохождении синусоидального тока через сопротивление г не только мгновенные напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующие напряжение и ток связаны законом Ома:

Пользуясь величиной проводимости получаем:

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление:

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока, и колеблется в пределах от 0 до 2UI (рис. 2-7).

Как видно из (2-10), кривая состоит из двух слагающих: постоянной слагающей UI и косинусоидальной функции, имеющей амплитуду UI и угловую частоту

Ввиду того что в рассматриваемом случае напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. всегда имеют одинаковый знак (плюс или минус), их произведение всегда положительно.

Среднее значение мощности за период Р называется активной мощностью и измеряется в ваттах.

В рассматриваемом случае, как это видно из

выражения (2-10) и рис. 2-7, активная мощность Р Это следует также из определений, данных в предыдущем параграфе.

Сопротивление r в свою очередь может быть определено как отношение активной мощности к квадрату действующего значения тока:

Отмечалось, что сопротивление проводника при переменном токе больше, чем при постоянном токе, вследствие явлений поверхностного эффекта, возникновения вихревых токов и излучения электромагнитной энергии в пространство (при высоких частотах). В отличие от сопротивления при постоянном токе сопротивление проводника при переменном токе называется активным сопротивлением.

Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L (рис. 2-8, а) проходит ток

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле (1-3):

Значит, напряжение на индуктивности

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол, максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на (рис. 2-8, б), когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума, так как оно пропорционально скорости изменения тока которая в момент прохождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наибольшую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение на индуктивности обращаются в нуль.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения понимается разность начальных фаз напряжения и тока. Следовательно, в данном случае

Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома:

Величина имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивление м; обратная ей величина называется и н-дуктивной проводимостью.

Индуктивное сопротивление представляет собой расчетную величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном случае равна скорости изменения энергии магнитного поля индуктивности.

Энергия магнитного поля индуктивности

изменяется периодически с угловой частотой в преде(рис. 2-9).

Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем активная мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю.

Так как максимальная энергия, запасаемая в магнитном поле, равна то индуктивное сопротивление может быть определено как

Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рис. 2-10, а) синусоидально:

На основании (1-8)

Изменение электрического заряда происходит по синусоидальному закону в соответствии с приложенным напряжением u. При этом попеременное накапливание положительных и отрицательных электрических зарядов на пластинах емкости обусловливает прохождение в цепи синусоидального тока i. Он определяется скоростью изменения заряда на емкости

Выражение (2-11) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол (рис. 2-10, б). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения u. Физически это объясняется тем, что когда электрический заряд q и соответственно напряжение и — q/C достигают максимального значения (положительного или отрицательного), ток i равен нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т. е.

Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае емкости отрицателен

Амплитуды и соответственно действующие напряжение и ток связаны соотношением, подобным закону Ома

Величина имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина называется емкостной проводимостью. Следовательно,

Следует заметить, что только в случае сопротивления г закон Ома применим к мгновенным значениям напряжения и тока; в остальных случаях отношение мгновенных величин u и i, имеющее размерность сопротивления, представляет собой некоторую функцию времени, не имеющую физического смысла и практического применения.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость,

колеблется синусоидально с угловой частотой имея амплитуду, равную UP, выражение в рассматриваемом случае аналогично выражению для в

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения энергии электрического поля емкости.

Энергия электрического поля емкости

изменяется периодически с угловой частотой в пределах от 0 до (рис. 2-11).

Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле емкости, а затем возвращается в источник при исчезновении электрического поля. Энергия электрического поля достигает максимума при амплитудном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем активная мощность Р = 0.

Так как максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле, равна Немане то емкостное сопротивление может быть определено как

Последовательное соединение

При прохождении синусоидального тока через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов г, L и С (рис. 2-12), на выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на
отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

Напряжение на сопротивлении r совпадает

по фазе с током i, напряжение на индуктивности L опережает, а напряжение на емкости С отстает по фазе от (рис. 2-13). Следовательно, напряжение и на выводах всей цепи равно:

Уравнение (2-12) представляет собой тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных напряжений. Входящая в него величина х =

называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (х > 0) или емкостный (х 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения и ф отсчитывается по оси абсцисс вправо от напряжения к току (рис. 2-14).

Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и ныне не рекомендуемый термин «кажущееся» сопротивление.

Угол ф отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при х 0) или емкостный (b 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения.

Угол отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при b 0.

Аналогичная картина получается и в случае активноемкостной цепи

В электрических системах, в которых источниками электрической энергии являются генераторы переменного тока, мощность получается от первичных двигателей, приводящих генераторы во вращение. В радиотехнике и электронике, где синусоидальные колебания создаются с помощью электронных или полупроводниковых приборов, мощность получается от источников постоянного тока, питающих электронные генераторы или другого рода устройства.

Величина, равная произведению действующих тока и напряжения на цепи:

называется полной мощностью цепи и измеряется в вольт-амперах (ва). Следует заметить, что амплитуда синусоидальной составляющей мгновенной мощности (2-25) численно равна полной мощности.

На основании (2-26) и (2-27) коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной:

При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются также понятием реактивная мощность, которая вычисляется по формуле

и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока.

Эта мощность выражается в единицах, называемых вар.

Выражение реактивной мощности может быть преобразовано с учетом (2-17) и (2-23):

Реактивная мощность может быть также выражена через реактивную составляющую тока или напряжения

1 Терминами «активная», «реактивная» и «полная» мощности заменены применявшиеся ранее в литературе и ныне не рекомендуемые термины «ваттная», «безваттная» и «кажущаяся» мощности.

В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла реактивная мощность положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка).

Понятия активная (средняя), реактивная и полная мощности являются удобными определениями мощностей, которые прочно укоренились на практике.

Реактивные мощности, подводимые к индуктивности и емкости, могут быть представлены в следующем виде:

где — максимальные значения энергии, периодически запасаемой индуктивностью и емкостью.

Реактивная мощность цепи, содержащей индуктивность и емкость, пропорциональна разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

Предлагается читателям проверить и самостоятельно убедиться в том, что эта формула справедлива при любом соединении индуктивности и емкости: последовательном, параллельном или в какой-либо комбинации с сопротивлениями.

• Законы и правила Кирхгофа для электрических цепей
• Линии с распределенными параметрами
• Идеализированные пассивные элементы
• Идеализированные активные элементы
• Энергия и мощность электрического тока
• Закон Джоуля — Ленца для тока
• Режимы работы электрических цепей
• Однофазные электрические цепи переменного тока

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнения Кирхгофа для электрических цепей

Уравнения, или правила, Кирхгофа относят к основным законам электрических цепей.

Они вытекают из таких фундаментальных законов как, закон сохранения заряда и безвихревости электростатического поля, в своё время описанных уравнениями Максвелла. Уравнения Кирхгофа довольно часто используются благодаря своей универсальности, пригодности для решения многих задач в теории электротехники, в том числе и связанных с расчётами сложных электрических цепей, практичности. Применяя правила Кирхгофа к линейной электрической цепи можно получить систему линейных уравнений, из которых в свою очередь, можно найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

В правилах Кирхгофа применяют такие понятия электрической цепи, как: узел, ветвь, контур. Участок электрической цепи с одним и тем же током называют ветвью, например отрезок 1-4, на рисунке 1, с протекающим по нему током i1 , есть ветвь. Точку, соединяющую три и более ветви называют узлом, например точки 1,2,3,4 на рисунке 1 есть узлы. Замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи называют контуром. Начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, и возвратившись в исходный узел, мы пройдём путь, который и называют замкнутым. Проходимые при таком обходе ветви и узлы принято называть принадлежащими данному контуру, при этом надо принимать во внимание, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

Рисунок 1

Первое правило Кирхгофа построено на основании утверждения о непрерывности электрического тока для любого узла электрической цепи или замкнутого контура.

Первое правило Кирхгофа трактует, что алгебраическая сумма токов ветвей , для любого узла или замкнутого сечения электрической цепи, равна нулю:

Выше сказанное говорит о том, что электрические заряды в узле (например, S2 на рисунок 1) или сечении (например, S14 на рисунке 1) любой электрической цепи накапливаться не могут. Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.

Второе правило Кирхгофа основано на утверждении, что любая электрическая цепь является потенциальной, а работа по перемещению электрических зарядов в замкнутом контуре равна нулю:

где U – работа(электрическое напряжение), k – число источников выполняющих работу;

Рассмотрим цепь, изображённую на рисунке1, образованную двухполюсными элементами, где ветви в местах соединений образуют узлы 1,2,3,4 и где направления напряжений и токов в ветвях совпадают. Для составления уравнений Кирхгофа выберем произвольно узел S2 , замкнутое сечение S14 (”несколько узлов”) и замкнутый контур 1, направление обхода которого изображено на рисунке 1.

Если принять, что выходящие из сечений и узлов токи считать положительными, а входящие отрицательными, то тогда уравнения составленные по первому правилу Кирхгофа будут иметь вид:

Для составления уравнения по второму правилу Кирхгофа, напряжения совпадающие с направлением обхода контура считаем положительными, а не совпадающие отрицательными. При этом уравнение примет вид:

Рассмотрим второе правило Кирхгофа на более наглядном примере (рисунке 2, см. ниже) и с более понятной для практического применения трактовкой, утверждающей что: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви.

Рисунок 2

Применяя второе правило Кирхгофа составляем уравнение для замкнутого контура схемы(рисунок 2) :

При составлении полученного уравнения знаки учитывались как:

— ЭДС (E) положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

— падение напряжения (IR) на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Мы рассмотрели применение правил Кирхгофа на простых примерах цепей постоянного тока и напряжений. На самом деле электрические цепи бывают значительно сложнее и состоять из различных элементов (источников ЭДС и тока , нелинейных и т.п.). Например, для второго правила Кирхгофа физическое представление уравнения для переменного тока уже будет иметь вид:

Следует отметить, что для цепей синусоидального(переменного) тока правила Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. Чтобы решать уравнения Кирхгофа для цепей синусоидального тока их составляют в комплексной форме, в которой учитываются ”мгновенные” изменения значений токов и напряжений.

Но какие сложные уравнения не приходилось бы составлять и решать, следует помнить, что физически второе правило(закон) Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.