Уравнения колебания в полярных координатах

Колебания круглой мембраны

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье разделения переменных применяется также при изучении колебаний ограниченных тел, плоских или объемных. Рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях под действием начальных возмущений однородной круглой мембраны радиуса г о с центром в начале координат, закрепленной по краю. Уравнение колебаний мембраны имеет вид Введем полярные координаты г, (р. Тогда отклонение точек мембраны будет функцией полярных координат г, и времени ).

Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, запишем уравнение колебаний мембраны в сле/ующем виде: Колебания круглой мембраны (мембрана закреплена по краю) и начальным условиям Таким образом, задача о колебаниях мембраны ставится так: найти фу нкцию ti(r, удовлетворяющую уравнению граничным условиям.

Ограничимся важным частным случаем осесимметричных колебаний, когда начальные функции f nF не зависят от Ясно, что тогда в любой момент времени t > О величина отклонения мембраны не будет зависеть от полярного угла а будет только функцией г и t, и = u(r, t). Это означает, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет описываться поверхностью вращения.

При этом предположении задача сводится к отысканию решения ti(r, t) уравнения (4) при граничном условии (5) и начальныхусловиях ди I Применяя метод разделения переменных, будем искать нетривиальные решения уравнения (4),удовлетворяющие граничному условию (5), в виде Подставляя функцию «(г, t) в форме (7) в уравнение (4) и разделяя переменные, получим Равенства (8) приводят к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям (условие выражает естественное требование ограниченности решения u(r, t) в центре мембраны, т. е. при г = 0).

Задача (10)-( 11) имеет очевидное тривиальное решение Я(г) = 0, которое нас не устраивает.

Итак, мы пришли к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (10)—(11), и отыскать эти решения. Запишем уравнение (10) в следующем виде: Это дифференциальное уравнение Бесселя с v = 0. Его общее решение . Из условия |+оо следует, что Сг = 0 (функция Неймана .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, Граничное условие Д(г0) = 0 дает откуда следует, что число л/Аго должно быть одним из нулей функции Бесселя т.е. где Рк — нуль функции Jo

При А = Ап общее решение уравнения (9)

имеет вид Колебания круглой мембраны Функция будет решением уравнения (4), удовлетворяющим граничному условию (5). Она определяет стоячие осесимметричные вол ны круглой мембраны. Решение исходной задачи (4)-(6) ищем в виде формального ряда (12) коэффициенты Ап и Вп которого определяются из начальных условий т.е. мы приходим к разложению данных функций /r) в ряды по функциям Бесселя. Нетрудно проверить, что при т ф п функции Jr) ортогональны на [0, го] с весом г.

Известно, что всякая функция Ф(, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье—Бесселя Колебания круглой мембраны Пользуясь этим, при достаточно гладких начальных условиях /(г) и F(r) получаем для коэффициентов Фурье—Бесселя функций /(г) и F(r) сле/^гощие формулы: Подставим найденные значения An и Bn в формулу (12). Если при этом ряд (12) сходится равномерно, так же как и ряды, получаемые из него двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов t и г, то мы получаем решение задачи (4)-(6).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ О ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ. ПАДАЮЩАЯ И ОТРАЖЕННАЯ ВОЛНА.

План лекции

1. Оператор Лапласа в полярной системе координат.

2. Понятие о волновом уравнении.

3. Падающая и отраженная волна.

o Оператор Лапласа в полярной системе координат

Оператор Лапласа — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

В полярных координатах уравнение Лапласа имеет вид:

o Понятие о волновом уравнении

Волновое уравнение — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде:

где — оператор Лапласа, — неизвестная функция, — время, — пространственная переменная, — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая: в одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде:

Разность называется оператором Даламбера и обозначается как . Таким образом, с использованием оператора Даламбера однородное волновое уравнение записывается как:

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение:

где — некая заданная функция внешней силы.

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

или .

o Падающая и отраженная волна

Длинная линия — регулярная линия электропередачи, длина которой превышает длину волны колебаний, распространяющихся в ней, а расстояние между проводниками, из которых она состоит, значительно меньше этой длины волны.

Характерной особенностью длинных линий является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается подключенным к линии генератором электромагнитных колебаний, и называется падающей. Другая волна называется отражённой, и возникает из-за отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к противоположному концу линии. Все разнообразие процессов, происходящих в длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.

*Слева – падающая волна, справа – отраженная

Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии.

На рисунке слева изображены графики распределения падающей волны напряжения вдоль линии (в функции ) для двух смежных моментов времени: и . Падающая волна распространяется слева направо. При построении принято .

На рисунке справа представлены графики распределения отраженной волны напряжения для двух смежных моментов времени: и .

Отраженная волна распространяется справа налево.

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают .

Фазовой скоростью называют скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость — это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния.