Уравнения колмогорова размеченный граф состояний

Уравнения Колмогорова.
Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния в происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ; так, переход системы из состояния в будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния: .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент и, задав малый промежуток , найдем вероятность того, что система в момент будет находиться в состоянии . Это достигается разными способами.

1. Система в момент с вероятностью находилась в состоянии , а за время не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной . А вероятность того, что система не выйдет из состояния , равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии и не выйдет из него за время ), равна по теореме умножения вероятностей:

2. Система в момент с вероятностями (или ) находилась в состоянии или и за время перешла в состояние .

Потоком интенсивностью (или — с- рис. 1) система перейдет в состояние с вероятностью, приближенно равной (или ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по этому способу, равна (или ).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

Переходя к пределу при (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты ):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент . Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии , т.е. при начальных условиях .

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени . Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме , т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии . Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:

Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом , согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 2. Найти предельные вероятности для системы из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или

(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)).

Решив систему (11), получим , т.е. в предельном, стационарном режиме система в среднем 40% времени будет находиться в состоянии (оба узла исправны), 20% — в состоянии (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии (оба узла ремонтируются)

Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную , а второй узел — . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную , а второй узел — . Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:

Решив систему, получим .

Учитывая, что , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Так как больше (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения . Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния

для состояния имеем , которое с учетом (12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

к которой добавляется нормировочное условие

При анализе численности популяций считают, что состояние соответствует численности популяции, равной , и переход системы из состояния в состояние происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние — при гибели одного члена популяции.

Решая систему (14), (15), можно получить

Легко заметить, что в формулах (17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния .

Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.

Привет студент

Модель Колмогорова

Модель Колмогорова

История Колмогорова

Андрей Николаевич Колмогоров родился 25 (12) апреля 1903 года в Тамбове. Он рос без отца и матери, хотя круглым сиротой не был. Перед рождением сына Мария Яковлевна Колмогорова, мама А. Н. Колмогорова, отправилась к родителям в имение своего отца, в Туношну под Ярославлем. По дороге она заехала к подруге в Тамбов, и Андрею Николаевичу суждено было родиться именно там, а сама Мария Яковлевна умерла при родах. Ранее она говорила, что если будет мальчик, то она назовет его Андреем в честь Андрея Болконского, ее любимого литературного героя романа А. Н. Толстого. Отец — Николай Матвеевич Катаев — участия в его воспитании не принимал. Так как Мария и Николай обвенчаны не были, то родившийся у них мальчик (Андрей) считался незаконнорожденным и не имел права ни на отчество по родному отцу, ни на фамилию его. И лишь после Октябрьской революции по новым законам он смог получить фамилию мамы и отчество по отцу.

Заботы об Андрее взяла на себя сестра его мамы — Вера Яковлевна, усыновившая мальчика. Большое участие в его воспитании принимали и другие сестры Марии, особенно Надежда Яковлевна Колмогорова. Первые годы жизни Андрей провел в имении деда — Туношне, расположенном на берегу одного из притоков Волги недалеко от Ярославля. Тетушки одарили мальчика любовью, лаской, вниманием, заботой о его интеллектуальном и нравственном воспитании. Все старались развить в ребенке любознательность и интерес к книгам, наукам, природе. Тетушки Андрея в своем доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними — десятком ребятишек — по рецептам новейшей педагогики того времени. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем публиковались творческие работы учеников — рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и «научные работы» Андрея — придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике — придуманные им арифметические задачи.

1)На пуговке имеется четыре дырки, спрашивается: сколькими способами можно пришить пуговку к рубашке так, чтобы не осталось на пуговке свободных дырок и от каждой дырки тянулись одна или две ниточки.

2) … 1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 3 + 5 + … 99) + ( 2 + 4 + … + 100) = 502 + 502 + 50 = 2500 + 2500 + 50 = 5050 …

Как тут не вспомнить маленького Карла Гаусса, великого немецкого математика XIX века, который в том же возрасте вывел аналогичную формулу:

1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2,

В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия. Андрей Николаевич уже в те годы обнаруживал замечательные математические способности. Он самостоятельно переоткрыл представление квадратов целых чисел в виде суммы простых:

1 + 3 + 5 + … + (2n — 1) = n2

Это известная математическая закономерность, но она была подмечена мальчиком самостоятельно, без чьей — либо помощи.В двенадцать лет Андрей начал изучать высшую математику. Немного позже, в средних классах школы, победили уже совсем другие увлечения — в частности, историей Новгорода, где он сделал важное открытие. Возврат к математике произошёл в самых последних классах средней школы.

В 1910 году Вера Яковлевна с Андреем переехала в Москву. Они жили на проценты от капитала, полученного по наследству. Андрей поступил в частную гимназию Репман. «Эта гимназия была организована кружком демократической интеллигенции (из частных гимназий она была одной из самых дешёвых по размерам платы за учение). Классы были маленькие (15—20 человек). Значительная часть учителей сама увлекалась наукой (иногда это были преподаватели университета, наша преподавательница географии сама участвовала в интересных экспедициях и т.д.). Многие школьники состязались между собой в самостоятельном изучении дополнительного материала, иногда даже с коварными замыслами посрамить своими знаниями менее опытных учителей. Делался опыт ввести в традицию публичную защиту кончающими учащимися выпускных сочинений (типа вузовской дипломной работы)», — вспоминал впоследствии А. Н. Колмогоров. После революции в 1917 году гимназию переименовали в двадцать третью школу второй ступени. В 1918-1920 годах жизнь в Москве была нелёгкой. В школах серьёзно занимались, совмещая учебу с работой, только самые настойчивые ученики. В это время Андрею Николаевичу, вместе со старшими, пришлось уехать на постройку железной дороги Казань-Екатеринбург. Одновременно с работой он продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экзамены экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву он испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы ему выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать. И в Туношне и в Москве Андрей Колмогоров получил самое прогрессивное в те годы воспитание и образование. После окончания гимназии в 1920 году, Андрей Николаевич не сразу решил стать математиком.

Когда в 1920 году Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Время было голодное и тревожное. Юноше хотелось получить не только знания, но и профессию, ремесло. Влекло его на математическое отделение университета, но были и сомнения: здесь чистая наука, а техника — дело, пожалуй, более серьезное. Поступив на физико-математический факультет Московского университета в 1920 году, он окончательно связывает свою жизнь с математикой. «Я поступил в Московский университет с довольно большими знаниями по математике. Многие вопросы я изучал по энциклопедии Брокгауза и Эфрона, восстанавливая самостоятельно то, что в этих статьях написано слишком кратко». Доказательством того, что Андрей Колмогоров разносторонним человеком, служит то, что в первые студенческие годы, кроме математики, Колмогоров занимался самым серьёзным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С. Б. Бахрушина. Андрей не бросал мысль о технической карьере, его увлекала металлургия, и, параллельно с университетом, он поступил на металлургическое отделение Химико-технологического института им. Менделеева и некоторое время там проучился. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна. Вот как он сам впоследствии вспоминал об этом периоде своей жизни: «Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением университета (куда принимали всех желающих без экзаменов) я поступил на металлургический факультет Менделеевского института (где требовался вступительный экзамен по математике)». Но скоро интерес к математике превысил сомнения в актуальности профессии математика. И вот семнадцатилетний юноша выстукивает деревянными подошвами самодельных башмаков два маршрута по московским мостовым: в Московский университет и в Менделеевский институт. В первые же месяцы студент Колмогоров сдал экзамены за первый курс. А как студент второго курса, он получает право на «стипендию»: шестнадцать килограммов хлеба и килограмм масла в месяц—это настоящее благополучие в те годы.

«Цель жизни подросток или юноша должен, мне кажется, найти себе сам. Старшие могут этому лишь помочь», считал А. Н. Колмогоров. «Задумав заниматься серьезной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков», — вспоминал позднее ученый. Одним из его педагогов был профессора Московского университета Николай Николаевич Лузин. У него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актер, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами. Профессор умел приводить студентов в соприкосновение с математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Он умел зажечь молодежь желанием научного подвига, привить веру в собственные силы, и через это чувство приходило понимание необходимости полной отдачи любимому делу.

Колмогоров впервые обратил на себя внимание профессора на одной лекции. Лузин, как всегда, вел занятия, постоянно обращаясь к слушателям с вопросами, заданиями. И когда он сказал: «Давайте строить доказательство теоремы, исходя из следующего предположения…» — в аудитории поднялась рука Андрея Колмогорова: «Профессор, оно ошибочно…» За вопросом «почему» последовал краткий ответ первокурсника. Довольный Лузин кивнул: «Что ж, приходите на кружок, доложите нам свои соображения более развернуто». «Хотя мое достижение было довольно детским, оно сделало меня известным в «Лузитании», — вспоминал Андрей Николаевич. Но через год серьезные результаты, полученные восемнадцатилетним второкурсником Андреем Колмогоровым, обратили на себя настоящее внимание его учителя. С некоторой торжественностью Николай Николаевич предложил Колмогорову приходить в определенный день и час недели, предназначенный для учеников его курса. Подобное приглашение, по понятиям «Лузитании», следовало расценивать как присвоение почетного звания ученика, как признание способностей.

Первую свою статью «Доклад математическому кружку о квадрильяже» Андрей Колмогоров написал в восемнадцатилетнем возрасте в 1921 году. Многие годы Андрей Николаевич тесно и плодотворно сотрудничал А. Я. Хинчиным (другим учеником Н. Н. Лузиным), который в то время начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности ученых. Первая статья по теории вероятностей «О сходимости рядов, члены которых определяются случаем» была написана вместе с Н.Н.Лузиным. Наука о «случае» или теория вероятности получила современный вид благодаря научным трудам Андрея Николаевича в 1929 — 1933 гг. Он до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать порядка двух десятков. Но тогда только начиналась дорога Колмогорова и его друзей в науке. Они много работали и не теряли чувства юмора. В шутку называли уравнения с частными производными «уравнениями с несчастными производными», а теория вероятностей — в «теорию неприятностей».

В 1931 году А. Н. Колмогоров (в 28 лет) стал профессором Московского университета, где он возглавлял в разное время три кафедры, создал несколько научных школ и основал школу-интернат при МГУ. В 1931 году вышла его фундаментальная статья «Об аналитических методах в теории вероятностей», а еще через два года — главный труд его жизни, монография «Основные понятия теории вероятностей». Эти работы дали Колмогорову мировую известность в области теории вероятностей. Далее последовали работы по случайным процессам, турбулентности, алгебраической топологии и многие другие. В 1933 году (в возрасте 30 лет!) его назначали директором Института математики и механики при МГУ. Под его началом находилась и вся аспирантура. Можно ли себе реально представить, что он в качестве директора этого института встречался и беседовал со всеми аспирантами мехмата, интересовался их делами, спрашивал о научных задачах, давал различные советы, говорил о новых задачах. Андрей Николаевич любил приглашать своих учеников к себе на дачу в Комаровку — деревню в излучине реки Клязьма. Там Колмогоров А. Н. с учениками — аспирантами и студентами, совершали на 2 — 3 часа «бросок в природу», а после обеда погружались в научную работу. « А после легкого ужина все присутствовавшие часто слушали по приемнику (это был редкий тогда «Телефункен»), а в более поздние годы — в хорошей записи на пластинках, классическую музыку. В этой области оба хозяина дачи были не только высокими ценителями, но, не побоимся сказать и большими знатоками. Во всяком случае, Павел Сергеевич Александров не раз проводил для студентов циклы бесед и прослушиваний по творчеству многих композиторов. Вообще дружба этих двух больших математиков была одним из самых главных их достояний в течение всей жизни», — вспоминает Г. И Китаев (родственник А.Н., преподаватель ФМШ и физфака МГУ). Большинству аспирантов тех лет беседы с Андреем Николаевичем запоминались на всю жизнь и, нередко, открывали путь в большую науку.

Великая Отечественная война заставила А. Н. Колмогорова прервать свою исследовательскую работу и обратиться к оборонной тематике. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии вели сложные работы в области баллистики и составили таблицы для бомбометания с малых высот на низких скоростях. Колмогоровым была рассчитана наилучшая крутизна нарезки ствола орудия для обеспечения кучности стрельбы и устойчивости снаряда при полете; выполнена работа о наиболее выгодном рассеивании снарядов при стрельбе по площадям, рассчитана наибольшая вероятность попадания в цель при торпедном залпе. Вместе с Математическим институтом Колмогоров находился в эвакуации в Казань, но вскоре вернулся в Москву к своим обязанностям академика-секретаря Физико-математического отделения Академии и для выполнения работ оборонного характера. Одновременно он читал курс математической теории стрельбы в университете, который считался обязательным для студентов, выбравших своей специальностью теорию вероятностей. Помимо академических дел и работ оборонного характера, Андрей Николаевич занимался организацией деятельности механико-математического факультета теми немногими силами, что еще оставались в Москве. Он успевал курировать математические журналы (журналом “Успехи математических наук” руководил с момента создания и создает первый математический журнал “Теория вероятностей и ее применения”), продолжал активную деятельность и в своем первом Институте математики и механики. В первые военные годы, когда, казалось бы, и час трудно выделить для собственно математического творчества, Андрей Николаевич опубликовал статьи, которые заложили основы теории турбулентности. “Серия работ, опубликованных в 1941 г.,- писал У. Фриш в книге “Турбулентность. Наследие Колмогорова” (1998 г.), — до сих пор оказывает свое влияние на изучение турбулентности”.

В 1943 г. сорокалетний Андрей Николаевич впервые решается вести дневник, на первой странице которого он записал две цитаты из Гёте и посвящение:

«Посвящается мне самому к моему восьмидесятилетию с пожеланием сохранить к этому времени достаточно смысла хотя бы для того, чтобы понимать писания себя самого — сорокалетнего — и судить их с сочувствием, но и со строгостью».

« Пережитое дорого каждому, а особенно — тому, кто вспоминает и размышляет о нем на склоне лет в отрадной уверенности, что этого-то у него уж никто не отнимет».

« Все стоящее уже давно придумано, надо только не бояться попробовать перепридумать это еще раз». (Переводы Б.Заходера.)

Есть в этом дневнике замечательная страница, которую Колмогоров озаглавил:«Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия».

Андрей Николаевич Колмогоров был одним из самых выдающихся представителей современной математики. И это находит свое выражение и в том, что А.Н. Колмогорову принадлежит первое место среди всех советских математиков по числу иностранных академий и научных сообществ, избравших его своим сочленом, а также университетов, сделавших его своим почетным доктором.

Колмогоров был членом практически всех авторитетных научных сообществ мира:

действительный член (академиком) АН СССР, членом Президиума АН, академиком-секретарем Отделения физико-математических наук (1939 год)

Почетный доктор Парижского университета (1955 год)

Почетный член Королевского Статистического общества Великобритании (1956 год)

Почетный член Международного статистического института (1957 год)

Почетный член Американской академии искусств и наук, г. Бостон, США (1959 год)

Член Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина»(1959 год)

Почетный доктор наук Стокгольмского университета (Швеция) (1960 год)

1. Иностранный член Американского Философского общества в Филадельфии (США) (1961 год)

Почетный доктор наук Индийского статистического института в г. Калькутта и почетный член математического общества Индии (1961 год)

Почетный член Американского Метеорологического общества (1962 год)

Почетный член Лондонского математического общества (1962 год)

Иностранный член Нидерландской Королевской академии наук (1963 год)

Президент Московского математического общества (1964 год)

член Лондонского Королевского общества (1964 год)

1965 год. Почетный член Румынской академии наук и академии наук Венгрии (1965 год)

действительный член Академии педагогических наук СССР (1966 год)

член Национальной академии наук США (1967 год)

иностранный член Академии наук Франции(1968 год)

Почетный член Международной академии истории наук,

Иностранный член Академии наук ГДР (1977 год)

иностранный член Общества ордена «Пур ля Мерит» ФРГ (1977 год)

член Академии наук Финляндии (1985 год).

В мировой науке, чтобы отметить достижения в тех областях, которые не охватываются Нобелевскими премиями, были учреждены Бальцмановские премии. В 1963 г. состоялось первое присуждение Бальцмановской премии по математике, и ее лауреатом стал А. Н. Колмогоров. Это была высшая оценка вклада А. Н. Колмогорова в мировую науку. Международная премия имени Н.И.Лобачевского Академии наук СССР присуждена Андрею Николаевичу в 1987 году, а международная премия по математике Фонда Вольфа в 1980 году. А.Н. Колмогоров был лауреатом Ленинской премии (1965 г., за работы по классической механике), Государственной (Сталинской) премии (1941 г., за работы по теории случайных процессов), премии им. Чебышева АН СССР (1949г.). Ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда (1963 г.), он был награжден семью орденами Ленина, другими орденами и медалями СССР, а также венгерским орденом Знамени, медалью им. Гельмгольца Академии наук ГДР, золотой медалью Американского метеорологического общества.

В 1994 году Российская академия наук установила премию имени самого А. Н. Колмогорова, вручаемую «За выдающиеся результаты в области математики»

Гениальный Учёный, великий Просветитель, замечательный Человек — имя Андрея Николаевича Колмогорова золотыми буквами вписано в плеяду величайших людей планеты. «Колмогоров был не просто ученый, он был глубокий мыслитель. Для него процесс постоянного поиска нового результата, метода, идеи был равносилен самой жизни» — писал Б. В. Гнеденко. «Я, во всяком случае, жил всегда руководствуясь тем тезисом, что ИСТИНА — главное, что наш долг — находить и отстаивать её, независимо от того, приятна она или неприятна. Во всяком случае, в своей сознательной жизни я всегда исходил из таких положений» — писал Андрей Николаевич Колмогоров. В дни своего 80-летия тяжело больной Андрей Николаевич, вспоминая прожитые годы, произнес: «Жизнь моя была преисполнена счастья!»

Модель Колмогорова

Модель «хищник-жертва» в общем случае (без учета возрастной структуры) имеет следующий вид:

При этом F₁ убывает с ростом N₁ (такое условия позволяет учесть внутривидовую конкуренцию популяции жертвы), F₂ возрастает с ростом N₁ (хищник питается только жертвой).
Будем рассматривать модель Колмогорова следующего вида:

L(N₁) — трофическая функция, которая не зависит от численности хищника, что соответствует отсутствию внутривидовой конкуренции популяции хищника; k₁(N₁) — коэффициент прироста жертвы в отсутствие хищника. Поедание жертвы хищником учитывается слагаемым L(N₁)N₂. k₂(N₁) — коэффициент прироста хищником, не зависящий от N₂ (значит, нет внутривидовой конкуренции в популяции хищника).

Отметим качественные свойства функций k₁, k₂, L:
1. Функции определены на множестве N₁ ≥ 0, непрерывно-дифференцируемы для N₁ ≥ 0.
2. Функция k₁(N₁) учитывает внутривидовую конкуренцию, является убывающей, меняет свои значения с положительных на отрицательные:

Такое поведение характерно для модели Ферхюльста-Пирла.
3. Функция k₂(N₁) — возрастающая, ее производная по N₁ положительна. Функция меняет свои значения с отрицательных на положительные:

В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика способствующая становлению математической экологии особенно такие её разделы как теория дифференциальных уравнений теория устойчивости и теория оптимального управления.

Одной из первых работ в области математической экологии была работа А.Д. Лотки (1880 — 1949) который первый описал взаимодействие различных популяций связанных отношениями хищник — жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 — 1940) В.А. Костицин (1883-1963) В настоящее время уравнения описывающие взаимодействие популяций называются уравнениями Лотки — Вольтерра.

Уравнения Лотки — Вольтерра описывают динамику средних величин — численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций описываемые интегро-дифференциальными уравнениями исследуются управляемые модели хищник — жертва.

Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое с целью её использования или восстановления.

ПАРАМЕТРЫ И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА

Попытки математического моделирования динамики как отдельных биологических популяций так и сообществ включающих взаимодействующие популяции различных видов предпринимались давно. Одна из первых моделей роста изолированной популяции (2.1) была предложена еще в 1798 г. Томасом Мальтусом:

Данная модель задается следующими параметрами:

N — численность популяции;

— разность между коэффициентами рождаемости и смертности.

Интегрируя это уравнение получаем:

где N(0) – численность популяции в момент t = 0. Очевидно что модель Мальтуса при > 0 дает бесконечный рост численности что никогда не наблюдается в природных популяциях где ресурсы обеспечивающие этот рост всегда ограничены. Изменения численности популяций растительного и животного мира нельзя описывать простым законом Мальтуса на динамику роста влияют многие взаимосвязанные причины – в частности размножение каждого вида саморегулируется и видоизменяется так чтобы этот вид сохранялся в процессе эволюции. [1]

Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.

Наиболее серьезное исследование моделей биологических сообществ включающих в себя несколько популяций различных видов было проведено итальянским математиком Вито Вольтерра:

где — численность популяции;

— коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяции; — коэффициенты межвидового взаимодействия. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс либо взаимодействие типа хищник — жертва когда один вид является пищей для другого. Если в работах других авторов основное внимание уделялось построению различных моделей то В. Вольтерра провел глубокое исследование построенных моделей биологических сообществ. Именно с книги В. Вольтерра по мнению многих ученых началась современная математическая экология.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

2.1 Модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва»

Рассмотрим модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва» построенную В. Вольтерром. Пусть имеется система состоящая из двух видов из которых один поедает другой.

Рассмотрим случай когда один из видов является хищником а другой — жертвой и будем считать что хищник питается только жертвой. Примем следующую простую гипотезу:

— коэффициент прироста жертвы;

— коэффициент прироста хищника;

— численность популяции жертвы;

— численность популяции хищника;

— коэффициент естественного прироста жертвы;

— скорость потребления жертвы хищником;

— коэффициент смертности хищника в отсутствие жертвы;

— коэффициент «переработки» хищником биомассы жертвы в собственную биомассу.

Тогда динамика численности популяций в системе хищник — жертва будет описываться системой дифференциальных уравнений (2.1):

где все коэффициенты положительные и постоянные.

Модель имеет равновесное решение (2.2):

По модели доля хищников в общей массе животных выражается формулой

Анализ устойчивости состояния равновесия по отношению к малым возмущениям показал что особая точка (2.2) является «нейтрально» устойчивой (типа «центр») т. е. любые отклонения от равновесия не затухают но переводят систему в колебательный режим с амплитудой зависящей от величины возмущения. Траектории системы на фазовой плоскости имеют вид замкнутых кривых расположенных на различных расстояниях от точки равновесия (рис. 1).

Рис. 1 – Фазовый «портрет» классической вольтерровой системы «хищник-жертва»

Разделив первое уравнение системы (2.1) на второе получим дифференциальное уравнение (2.4) для кривой на фазовой плоскости .

Интегрируя данное уравнение получим:

где — постоянная интегрирования где

Несложно показать что движение точки по фазовой плоскости будет происходить только в одну сторону. Для этого удобно сделать замену функций и перенеся начало координат на плоскости в стационарную точку (2.2) и введя затем полярные координаты:

В таком случае подставив значения системы будем иметь:

Умножив первое уравнение на а второе — на и сложив их получим:

После аналогичных алгебраических преобразований получим уравнение для :

Величина как видно из (4.9) всегда больше нуля. Таким образом не меняет знака и вращение все время идет в одну сторону.

Интегрируя (2.9) найдем период:

Когда мало то уравнения (2.8) и (2.9) переходят в уравнения эллипса. Период обращения в этом случае равен:

Исходя из периодичности решений уравнений (2.1) можно получить некоторые следствия. Представим для этого в виде:

и проинтегрируем по периоду:

Так как подстановки от и в силу периодичности обращаются в нуль средние по периоду оказываются равными стационарным состояниям:

Простейшие уравнения модели «хищник—жертва» обладают рядом существенных недостатков. Так в них предполагается неограниченность пищевых ресурсов для жертвы и неограниченный рост хищника что противоречит экспериментальным данным. Кроме того как видно из рис. 1 ни одна из фазовых кривых не выделена с точки зрения устойчивости. При наличии даже небольших возмущающих воздействий траектория системы будет все дальше уходить от положения равновесия амплитуда колебаний расти и система достаточно быстро разрушится.

Несмотря на недостатки модели представления о принципиально колебательном характере динамики системы «хищник— жертва» получили широкое распространение в экологии. Взаимодействиями «хищник—жертва» объясняли такие явления как колебания численности хищных и мирных животных в промысловых зонах колебания в популяциях рыб насекомых и т. д. На самом деле колебания численности могут быть обусловлены и другими причинами.

Предположим что в системе хищник — жертва происходит искусственное уничтожение особей обоих видов и рассмотрим вопрос о том каким образом уничтожение особей влияет на средние значения их численности если осуществляется пропорционально этой численности с коэффициентами пропорциональности и соответственно для жертвы и хищника. С учетом сделанных предположений систему уравнений перепишем в виде:

Предположим что т. е. коэффициент истребления жертвы меньше коэффициента ее естественного прироста. В этом случае также будут наблюдаться периодические колебания численности. Вычислим средние значения численностей:

Таким образом если то средняя численность популяций жертвы возрастает а хищника — убывает.

Рассмотрим случай когда коэффициент истребления жертвы больше коэффициента ее естественного прироста т. Е . В этом случае при любых и следовательно решение первого уравнения (2.15) ограничено сверху экспоненциально убывающей функцией т. е. при .

Начиная с некоторого момента времени t при котором решение второго уравнения (2.15) также начинает убывать и при стремится к нулю. Таким образом в случае оба вида исчезают.

2.1 Обобщенные модели Вольтера типа «хищник-жертва»

Первые модели В. Вольтерра естественно не могли отражать все стороны взаимодействия в системе хищник — жертва поскольку они были в значительной мере упрощены относительно реальных условий. Например если численность хищника равна нулю то из уравнений (1.4) следует что численность жертвы неограниченно возрастает что не соответствует действительности. Однако ценность этих моделей состоит именно в том что они были основой на которой быстрыми темпами начала развиваться математическая экология.

Появилось большое число исследований различных модификаций системы хищник — жертва где были построены более общие модели учитывающие в той или иной степени реальную ситуацию в природе.

В 1936 г. А.Н. Колмогоров предложил использовать для описания динамики системы хищник — жертва следующую систему уравнении:

где убывает с возрастанием численности хищников а возрастает с увеличением численности жертвы.

Эта система дифференциальных уравнений в силу ее достаточной общности позволяет хорошо учитывать реальное поведение популяций и вместе с тем проводить качественный анализ ее решений.

Позднее в своей работе Колмогоров исследовал подробно менее общую модель:

Различные частные случаи системы дифференциальных уравнений исследовались многими авторами. В таблице приведены различные частные случаи функций .

Таблица 1 — Различные модели сообщества «хищник-жертва»

Тема 5. Случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Статистическое моделирование экономических систем
(метод Монте-Карло)

Оглавление

Вступление

На прошлой лекции мы начали рассматривать вероятностные модели.

Первая группа моделей, которые мы рассмотрели, относится к системам с конечным числом состояний, в которых переходы из состояния в состояние осуществляются в дискретные моменты времени (заранее заданные и, как правило, с равными промежутками).

С такими системами связывается матрица переходных вероятностей. Если эти вероятности постоянны (не зависят от времени), то цепь Маркова называется однородной. Кроме этого должен быть задан вектор начальных вероятностей.

Была дана формула, которая позволяет получить вектор вероятностей оказаться в том или ином состоянии после k-го шага функционирования процесса.

Непрерывные цепи Маркова

Теперь рассмотрим процессы, в которых переход из узла в узел (из состояния в состояние) может произойти через любой случайный промежуток времени.

В этом случае мы должны ввести в рассмотрение непрерывное время, чтобы отслеживать (ловить) эти случайные моменты срабатывания переходов.

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

Примеры

Поступление заявок на выполнение банковских операций.

Поломка машины в дороге.

Задание системы с конечным числом состояний и непрерывным временем наступления события (перехода из состояния в состояние)

Пусть система характеризуется n состояниями S₀, S₁, S₂. S_n, а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через P_i(t) вероятность того, что в момент времени t система S будет находиться в состоянии S_i (i = 0,1. n). Требуется определить для любого t вероятности состояний P₀(t), P₁ (t), …P_n(t). Очевидно, что

Определение плотности вероятностей перехода

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей Р_ij рассматриваются плотности вероятностей перехода λ_ij, представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время из состояния S_i в состояние S_j к длине промежутка :

Если λ_ij=const, то процесс называется однородным.

Если плотность вероятности λ_ij(t), то процесс — неоднородный.

При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий.

Потоки событий

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

В предыдущем примере – это поток отказов машины и поток восстановлений. Другие примеры: поток заявок в банкомат, поток покупателей в магазине, поток документов и т. д.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени Ot (рис. 1).

Рис. 1

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий (λ) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Пусть задан момент времени t и промежуток времени .

Обозначим – среднее число событий на промежутке .

Тогда .

Свойства потока событий

Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.

Различают следующие основные свойства, которыми могут обладать случайные потоки событий:

• стационарность;
• ординарность;
• отсутствие последействия.

Стационарность

Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени зависит только от длины участка и не зависит от расположения на оси 0t (времени). Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным. Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остается постоянным.

В частности, интенсивность стационарного потока постоянна λ=const. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Реальные потоки событий в экономике предприятия являются в действительности стационарными лишь на ограниченных участках времени. Поэтому, чтобы применить свойство стационарности, модели исследуют на ограниченных участках времени.

Ординарность

Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление более одного события. Поток, обладающий свойством ординарности, называют ординарным.

Можно сказать, что для любого t на сколь угодно малом промежутке два события не произойдут.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу. Иначе говоря, два события не происходят в один и тот же момент времени. Например, две машины не подъедут одновременно к стоянке, два человека не подойдут к банкомату, не обратятся с запросом к одной и той же БД и т.д.

За промежуток времени что может произойти?

• ни одного события;
• 1 событие;
• > 1 события.

Если рассмотреть очень маленький промежуток времени (0), то на нем можно выписать вероятности, которые зависят от времени t и от :

– вероятность того, что ничего не случится;

– вероятность, что случится 1 событие;

– вероятность, что случится больше 1-го события.

По природе вероятности можно записать

Последним слагаемым пренебрегаем в виду его малости.

Можно сформулировать свойство ординарности таким образом: для любого момента времени t можно указать две вероятности: (ничего не произойдет), (произойдет 1 событие)

Реальные потоки событий в различных экономических системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приведены к ординарным.

Для ординарных потоков интенсивность (математическое ожидание числа событий в единицу времени) (число событий может быть либо 0, либо 1)

Таким образом, интенсивность потока – это вероятность появления одного события на бесконечно малом промежутке времени. На практике интенсивность замеряют на некотором конечном промежутке времени и она приводится к этому промежутку.

Отсутствие последействия

Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени ₁ и ₂(см. рис. ниже) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами. Иначе говоря, количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия.

Например, поставили сачок в двух местах реки. Можно ли утверждать, что если в первый сачок поймали 10 рыб, то и во второй попадутся 10 рыб?

Простейший поток

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами:

• стационарен;
• ординарен;
• не имеет последействия.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, то его называют нестационарным пуассоновским потоком, а его интенсивность зависит от времени, т. е. .

Если поток событий удовлетворяет описанным выше свойствам, то справедлива теорема Цинлара.

Теорема. Пусть <N (t), > – простейший поток событий. Пусть некоторый фиксированный интервал времени. Тогда количество событий k, приходящихся на промежуток, является случайной величиной с распределением Пуассона, имеющим параметр a = (), т.е.

а — среднее число событий, приходящееся на промежуток времени.

Для простейшего потока , где – длина участка времени; – интенсивность потока:

Отметим еще одно важное свойство простейшего потока событий. Промежуток времени t между соседними событиями распределен по показательному закону, а его среднее значение T и среднее квадратичное отклонение равны.

Для простейшего потока с интенсивностью λ=const интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание m_T есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение σ_T равно математическому ожиданию

Если в системе все потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским. И к нему применима теория непрерывных цепей Маркова.

Задача

Банкомат обслуживает одного человека в среднем 2 мин. К банкомату подходит в среднем 20 чел/ч. Считая поток клиентов к банкомату и поток выдачи денег из банкомата простейшими пуассоновскими, определить интенсивности этих потоков в одних единицах измерения (единиц/мин).

– интенсивность потока клиентов к банкомату = 1/3 чел/мин;

μ – интенсивность потока выдачи денег = 0,5 операции/мин.

Модель 8. Гараж-непрерывный

Автомобиль может находиться в двух состояниях – Исправен S₁ или Ремонт S₂. Поток событий, при котором автомобиль переходит из состояния Исправен в состояние Ремонт, является простейшим и характеризуется заданной интенсивностью λ, которую можно трактовать как количество поломок (отказов) в единицу времени. Поток восстановлений автомобиля также является простейшим и характеризуется заданной интенсивностью µ, которую можно трактовать как количество отремонтированных машин в единицу времени.

Рис. 2

Интенсивность потока отказов – λ.

Интенсивность потока восстановлений – μ.

Введем вектор вероятностей наступления событий

Начинаем выписывать производные:

Поясним смысл слагаемых в правой части этих выражений.

Событие (состояние) S₁ наступает за счет того, что осуществляется переход из узла (состояния) S₂ с интенсивностью μ, таким образом 1-е слагаемое показывает приращение вероятности, а уменьшение вероятности происходит от того, что осуществляется обратный переход к другому узлу с интенсивностью.

Пояснение на примере автомобиля. p₁(t)– вероятность того, что автомобиль исправен, может быть определено как отношение промежутка нахождения в исправном состоянии на общее время протекания процесса. Что увеличивает промежуток исправного состояния? Переход из неисправного состояния в исправное с интенсивностью μ. А что уменьшает этот промежуток? Соответственно, обратный переход с интенсивностью. Если автомобили ломаются и чинятся с одинаковой интенсивностью, то можно предположить, что вероятности нахождения в обоих состояниях будут равны 1/2.

Если автомобили ломаются часто, а ремонт происходит медленно, то вероятность быть в неисправном состоянии будет больше чем в исправном.

Таким образом, изменение вероятности p₁(t) (т. е. производная функции) увеличивается за счет выхода из ремонта и уменьшается за счет нахождения в ремонте. Это и отражают слагаемые в 1-м уравнении (соответственно со знаком «+» и «–»).

p₂(t) – вероятность того, что автомобиль неисправен, может быть определено как отношение времени неисправного состояния на общее время протекания процесса.

Если сложим эти равенства, то получим

Интегрируя ДУ, получим, .

Если забудем, что функции – это вероятности, то получим систему ДУ, которые можно решить и получить законы вероятности нахождения в состояниях.

Одно из ДУ можно заменить соотношением вида, т. е., например, решать такую систему уравнений

Что может интересовать исследователя при решении таких ДУ?

Например, устойчивые решения, т. е. параметры, при которых имеют место устойчивые решения. То есть если есть устойчивое решение, то переходные процессы заканчиваются и, начиная с некоторого T*, функции p₁(t),p₂(t) выходят на стационарное значение (финальная вероятность).

Таким образом исследователя может интересовать, можно ли заранее предсказать, что система выйдет на стационар. И если да, то чему он будет равен.

Другое направление исследования – это собственно сами эти переходные процессы.

Если в рассмотренном примере считать, что описаны два возможных состояния автомобиля, то можно определить подвижной состав для автопредприятия. Та же ситуация с оборудованием, со штатным составом сотрудников и пр.

Уравнения Колмогорова

Пусть система характеризуется n состояниями S₀, S₁, S₂. S_n, а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени и является простейшим потоком событий. Обозначим через Р_i(t) вероятность того, что в момент времени t система S будет находиться в состоянии S_i(i = 0,1. n). Требуется определить для любого t вероятности состояний P₀(t), P₁ (t), …P_n(t).

Прежде всего, построим граф состояний системы.

Итак, на систему, находящуюся в состоянии S_i, действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из состояния S_i в состояние S_j(на графе состояний по стрелке S_iS_j).

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге (стрелке). λ_ij– интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния S_i в S_j. Такой граф называется размеченным.

Уравнения Колмогорова представляют собой систему ДУ для определения вероятностей P_i(t)

Слагаемые вида , которые входят в систему со знаками «+» и «–», называются потоком вероятности перехода. При этом λ_ij могут быть постоянными или зависящими от времени.

Производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное, и минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.

Сформулируем мнемоническое правило, по которому в ДУ включаются те или иные слагаемые и те или иные знаки.

К этой системе можно добавить нормирующее уравнение:

Это уравнение дает возможность составить на одно ДУ меньше.

Систему можно решить вручную или с помощью компьютера.

Если записать ДУ Колмогорова для системы «Гараж», то получатся именно такие уравнения, которые мы выписали исходя из эмпирических рассуждений.

Финальные вероятности состояний

Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей P₁ (t), P₂ (t)… при .

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли P₁ (t), P₂ (t)… стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.

где n – конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что

Говорят, что в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются. Система, для которой существуют финальные вероятности, называется эргодической, а соответствующий случайный процесс — эргодическим.

Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если приравнять производные к нулю, а вероятностные функции состояний P₁(t), P₂(t)… в правых частях уравнений заменить соответственно на неизвестные финальные вероятности p ₁, p ₂ …

Финальная вероятность состояния S_i – это, по существу, среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Сделать предположения, что будет с системой, в некоторых случаях можно по графу

Пример 1.

Например, рассмотрим граф системы:

Здесь мы видим однонаправленное движение (ухудшение или улучшение). Глядя на граф можно сказать, что в будущем система обязательно скатится в состояние 4, 5 или 6 и там останется (стационар).

Пример 2.

Здесь циклическое повторение событий.

На данном графе случайные блуждания из состояния в состояние.

Эргодичность может быть не по отношению ко всем узлам системы. Можно эргодическое поведение выделить в отдельную систему.

Пример. Составление ДУ Колмогорова

Система имеет размеченный граф. В начальный момент система находилась в состоянии S₁.

Написать над дугами обозначения интенсивностей, составить систему ДУ Колмогорова. Реализовать ее в среде MVS и найти финальные вероятности.

Граф после разметки

ДУ для состояния S₁:

Задание для самостоятельной работы.

Дописать систему ДУ Колмогорова.

Как найти финальные вероятности системы?

Вернемся к примеру состояний автомобиля (модель 8).

Мы выписали ДУ для вероятностей состояний исходя из здравого смысла. Но, зная уравнения Колмогорова, которые теоретически строго доказаны, мы видим, что полученная система уравнений соответствует этим уравнениям.

У нас записана система ДУ 1-го порядка, однородная с постоянными коэффициентами. Условие стационара для такой системы – равенство нулю правой части.

Это уравнения зависимые, т. к. в сумме дают 0.

Поэтому вместо одного используем равенство p₁+p₂=1, где p₁, p₂– финальные вероятности, т. е. система будет иметь вид:

Решив эту систему относительно p₁ и p₂, получим финальные вероятности системы:

Процессы гибели и размножения

Особый раздел теории — так называемые процессы гибели и размножения.

Встречается в разнообразных практических задачах.

Марковский процесс с дискретными состояниями S₀, S₁, S₂. S_n называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S₀, S₁, S₂. S_n) может переходить только в соседние состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S₀, S_n) переходят только в соседние состояния (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний для процесса гибели и размножения

Название взято из биологических задач, где состояние популяции S_k означает наличие в ней k единиц особей.

Переход вправо связан с размножением единиц, а влево — с их гибелью.

У λ и μ индекс того состояния, из которого стрелка выходит.

С состоянием S_k связана неслучайная величина X_k: которая означает следующее: если система S в момент времени t находится в состоянии S_k, то дискретная случайная величина X(t), связанная с функционированием системы, принимает значение k. Таким образом, получаем случайный процесс X(t), который в случайные, заранее неизвестные моменты времени скачком изменяет свое состояние.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем называется такой случайный процесс, который может принимать только целые неотрицательные значения. Изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени, т. е. в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

В практике встречаются процессы чистого размножения и чистой гибели. Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю; аналогично процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.

Пример

Рассмотрим эксплуатацию компьютеров в вычислительном центре. Интенсивность приобретения новых компьютеров равна (t). Каждый поступивший компьютер списывается через случайное время Т_с. Срок службы компьютера Т_с распределен по показательному закону с параметром μ. Процесс эксплуатации компьютера является случайным процессом. А(t) – число компьютеров, находящихся в эксплуатации в момент t. Требуется вычислить вероятности P_i(t)=Р , если: 1) нет ограничений на число эксплуатируемых компьютеров, 2) может эксплуатироваться не более N компьютеров.

Пример

Процесс чистого размножения – производство товаров.

Статистическое моделирование экономических систем
(метод Монте-Карло)

Теоретические основы метода

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Карло) – это способ исследования поведения вероятностных систем в условиях, когда неизвестны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Метод основан на многократных испытаниях построенной вероятностной математической модели с последующей статистической обработкой полученных результатов.

Цель метода – определение числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров.

Процесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса со всеми сопровождающими его случайностями.

Закон больших чисел

Основой метода статистического моделирования является закон больших чисел (ЗБЧ). ЗБЧ доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к некоторым постоянным величинам.

Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений.

Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Названием «закон больших чисел» объединена группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Предположим какой-то случайный процесс состоит из последовательности элементарных независимых процессов. Длительность каждого процесса t_i – является случайной величиной, распределенной по неизвестному закону с МО t_i и дисперсией . Допустим, что это непрерывное распределение, имеющее ограниченный (по абсолютной величине) третий момент. Тогда – случайная величина, являющаяся суммой n независимых случайных величин, распределенных по неизвестному закону и имеющих конечный третий момент.

Теорема (центральная предельная). Если сделать предельный переход, то распределение случайной величины t будет стремиться к нормальному с МО, равным сумме МО t_i и дисперсией, равной сумме дисперсий t_i

Рассматривается в различных математических постановках в литературе по теории вероятностей.

Пояснение. Практический смысл.

Любые сложные работы на объектах экономики (ввод информации их документа в компьютер, проведение переговоров, ремонт оборудования и пр.) состоят из множества коротких последовательных элементарных работ. Причем количество их велико, и требования теоремы можно считать выполняющимися. Поэтому при оценках трудозатрат всегда справедливо предположение о том, что их продолжительность – это случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Предельная теорема о суперпозиции (наложении) потоков

Предположим, что можно наблюдать k независимых потоков событий. В каждом потоке можно наблюдать m_j элементарных событий. Интервалы между событиями – это независимые случайные величины, распределенные по неизвестному закону с МО . Если спроецировать на временную ось моменты наступления событий из наблюдаемых потоков, то получим случайные интервалы времени между событиями.

– случайный интервал между соседними событиями полученного суммарного потока.

Теорема. Если сделать предельный переход , то распределение случайной величины интервала t будет стремиться к показательному с МО, равным

Пример.

Имеется некая крупная фирма. Клиенты – физические и юридические лица. Каждый имеет свое расписание (набор планов и дел) на значительном интервале времени. Однако если рассмотреть суммарный поток обращений клиентов к служащим фирмы, то интервал между двумя последовательными обращениями будет случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону.

Примеры потоков, имеющих показательное (экспоненциальное) распределение:

• время поступления заказа на предприятие;
• посещение покупателями магазина;
• телефонные разговоры;
• срок службы деталей и узлов в компьютере.

Схема решения задачи методом статистического моделирования

1. Разработка и построение структурной схемы процесса, выявление основных взаимосвязей.
2. Формальное описание процесса.
3. Моделирование случайных явлений (случайных событий, случайных величин, случайных функций), сопровождающих функционирование исследуемой системы.
4. Моделирование функционирования системы – воспроизведение процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием.
5. Накопление результатов моделирования, статистическая обработка, анализ и обобщение.

Результаты, получаемые при статистическом моделировании подвержены экспериментальным ошибкам.

Экспериментальные ошибки в значительной степени зависят от точности моделирования случайных явлений, сопровождающих функционирование системы. Моделирование случайных явлений сводится к моделированию случайных событий, случайных величин, случайных функций. Так как случайные события и случайные функции могут быть представлены через случайные величины, то моделирование случайных событий и случайных функций проводится с помощью случайных величин.

Моделирование случайных величин

Для моделирования случайной величины необходимо знать ее закон распределения.

Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, является способ, основанный на формировании их из последовательности равномерно распределенных чисел на промежутке [0, 1].

Опишем этот способ более подробно на примере получения случайной величины с экспоненциальным распределением.

Экспоненциальное (показательное) распределение случайной величины задается плотностью распределения:

(мат.ожидание и среднеквадратическое отклонение равны 1/).

Существует связь между пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Если случайная величина подчинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя отказами, распределена по экспоненциальному закону. Чтобы получить величину этого интервала применяют следующий способ:

1. Генерируется случайное равномерно распределенное число ξ на промежутке [0,1]. В среде MVS это можно сделать с помощью функции uniform (0,1).
2. Для преобразования равномерно распределенного случайного числа в случайное число с заданным законом распределения F(t) надо решить уравнение вида. Если закон распределения задан плотностью распределения, то уравнение имеет вид.

Для показательного распределения уравнение имеет вид. Отсюда получаем величину , или поскольку выражение в скобках тоже равномерно распределенная случайная величина, то можно считать, что .

Такие же соотношения получены и для других законов распределения