Уравнения координаты движущихся навстречу тел

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки v_p = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v₀ = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x₀ = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с 2 . Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Совместное движение двух тел

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
Построить уравнение вида x₁ = x₂.
Найти время встречи двух тел t_встр.
Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с 2 без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

Построить графики x1(t) и x2(t).
Найти точку пересечения графиков.
Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием t_запазд, то его уравнение координаты принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с 2 и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с 2 , достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

Алгоритм решения

Определить характер движения материальной точки.
Записать уравнение координаты материальной точки.
С помощью графика зависимости координаты от времени и уравнения координаты определить проекции искомых величин.

Решение Графиком зависимости координаты от времени является парабола. Такой график соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид: Ветви параболы смотрят вверх. Это значит, что коэффициент перед квадратом переменной величины (времени) стоит положительный коэффициент. Следовательно, a_x>0. Поэтому варианты «б» и «г» исключаются. Остается выяснить, чему равна скорость: она равна нулю (как в ответе «а») или меньше нуля (как в ответе «в»)? Моменту времени t=0 соответствует точка, являющая вершиной параболы. Когда ветви параболы смотрят вверх, в ее вершине скорость тела всегда равна нулю, так как эта точка лежит на границе между отрицательной и положительной скоростью. Отсюда делаем вывод, что верный ответ «а».Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
Записать уравнение движения мотоциклиста.
Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с 2 .

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Кинематика

Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно l, одновременно навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое со скоростью v₁, второе — v₂. Определить, через сколько времени они встретятся и расстояние от точки A до места их встречи. Решить задачу также графически.

1-й способ:

Зависимость координат тел от времени:

В момент встречи координаты тел совпадут, т. е. . Значит, встреча произойдет через время от начала движения тел. Найдем расстояние от пункта A до места встречи как .

2-й способ:

Графики зависимости координат тел от времени изображены на рисунке.

Скорости тел равны тангенсу угла наклона соответствующего графика зависимости координаты от времени, т. е. , . Моменту встречи соответствует точка C пересечения графиков.

Через какое время и где встретились бы тела (см. задачу 1), если бы они двигались в одном и том же направлении A→B, причем из точки B тело начало двигаться через t₀ секунд после начала движения его из точки A?

Графики зависимости координат тел от времени изображены на рисунке.

Составим на основе рисунка систему уравнений:

Решив систему относительно t_C получим:

Тогда расстояние от пункта A до места встречи:

Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами A и B по течению реки за время t₁ = 3 ч, а плот — за время t = 12 ч. Сколько времени t₂ затратит моторная лодка на обратный путь?

Пусть s — расстояние между пунктами A и B, v — скорость лодки относительно воды, а u — скорость течения. Выразив расстояние s трижды — для плота, для лодки, движущейся по течению, и для лодки, движущейся против течения, получим систему уравнений:

Решив систему, получим:

Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?

Обозначим буквой l длину эскалатора; t₁ — время спуска человека, идущего со скоростью v; t₂ — время спуска человека, идущего со скоростью 2v; t — время спуска стоящего на эскалаторе человека. Тогда, рассчитав длину эскалатора для трех различных случаев (человек идет со скоростью v, со скоростью 2v и стоит на эскалаторе неподвижно), получим систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получим:

Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал n₁ = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Поскольку при увеличении скорости человек насчитал большее количество супенек, значит направления скоростей эскалатора и человека совпадают. Пусть v — скорость человека относительно эскалатора, u — скорость эскалатора, l — длина эскалатора, n — число ступенек на неподвижном эскалаторе. Число ступенек, умещающихся в единице длины эскалатора, равно n/l. Тогда время пребывания человека на эскалаторе при его движении относительно эскалатора со скоростью v равно l/(v+u), а путь, пройденный по эскалатору, равен vl/(v+u). Тогда количество ступенек, насчитываемых на этом пути, равно . Аналогично, для случая, когда скорость человека относительно эскалатора 3v, получим .

Таким образом, мы можем составить систему уравнений:

Исключив отношение u/v, получим:

Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии s = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время t₁ = 4 ч, а против течения, — за время t₂ = 10 ч. Определить скорость течения реки u и скорость катера v относительно воды.

Выразив расстояние s дважды, — для катера, идущего по течению, и катера, идущего против течения, — получим систему уравнений:

Решив эту систему, получим v = 17,5 км/ч, u = 7,5 км/ч.

Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии s₁ = 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время t = 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии s₂ = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость лодки относительно воды?

Пусть v — скорость моторной лодки, u — скорость течения реки. Поскольку от момента отправления моторной лодки от пристани до момента встречи моторной лодки с плотом, очевидно, пройдет одинаковое время и для плота, и для моторной лодки, то можно составить следующее уравнение:

где слева — это выражение времени, прошедшего до момента встречи, для плота, а справа — для моторной лодки. Запишем уравнение для времени, которое затратила моторная лодка на преодоление пути s₁ от пристани до поселка: t=s₁/(v+u). Таким образом, получаем систему уравнений:

Откуда получим v = 16 км/ч, u = 4 км/ч.

Колонна войск во время похода движется со скоростью v₁ = 5 км/ч, растянувшись по дороге на расстояние l = 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением головному отряду. Велосипедист отправляется и едет со скоростью v₂ = 25 км/ч и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через сколько времени t после получения поручения он вернулся обратно?

В системе отсчета, связанной с колонной, скорость велосипедиста при движении к головному отряду равна v₂—v₁, а при движении обратно v₂+v₁. Поэтому:

Упростив и подставив числовые значения, получим:

Вагон шириной d = 2,4 м, движущийся со скоростью v = 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно l = 6 см. Какова скорость движения пули?

Обозначим буквой u скорость пули. Время полета пули от стенки до стенки вагона равно времени, за которое вагон проходит расстояние l. Таким образом, можно составить уравнение:

Отсюда находим u:

Какова скорость капель v₂ отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом α = 60° к горизонту, когда скорость автомобиля v₁ больше 30 км/ч?

Как видно из рисунка,

чтобы капли дождя не оставляли следа на заднем стекле, наобходимо, чтобы время прохождения каплей расстояния h было равно времени, за которое автомобиль пройдет расстояние l:

На улице идет дождь. В каком случае ведро, стоящее в кузове грузового автомобиля, наполнится быстрее водой: когда автомобиль движется или когда он стоит?

С какой скоростью v и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за время t = 2 ч пролететь точно на Север путь s = 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом α = 30° к меридиану со скоростью u = 27 км/ч?

Запишем систему уравнений по рисунку.

Поскольку самолет должен лететь строго на север, проекция его скорости на ось Oy v_y равна y-составляющей скорости ветра u_y.

Решив эту систему, найдем, что самолет должен держать курс на северо-запад под углом 4°27′ к меридиану, а его скорость должна быть равна 174 км/ч.

По гладкому горизонтальному столу движется со скоростью v черная доска. Какой формы след оставит на этой доске мел, брошенный горизонтально со скоростью u перпендикулярно направлению движения доски, если: а) трение между мелом и доской пренебрежимо мало; б) трение велико?

Мел оставит на доске след, представляющий собой прямую линию, составляющую угол arctg(u/v) с направлением движения доски, т. е. совпадает с направлением суммы векторов скорости доски и мела. Это справедливо и для случая а) и для случая б), т. к. сила трения не влияет на направление движения мела, поскольку лежит на одной прямой с вектором скорости, то она лишь уменьшает скорость мела, поэтому траектория в случае б) может не доходить до края доски.

Корабль выходит из пункта A и идет со скоростью v, составляющей угол α с линией AB.

Под каким углом β к линии AB следовало бы выпустить из пункта B торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в тот момент, когда корабль находился в пункте A. Скорость торпеды равна u.

Точка C на рисунке — это место встречи корабля и торпеды.

AC = vt, BC = ut, где t — время от старта до момента встречи. Согласно теореме синусов

Отсюда находим β:

К ползуну, который может перемещаться по направляющей рейке,

прикреплен шнур, продетый через кольцо. Шнур выбирают со скоростью v. С какой скоростью u движется ползун в момент, когда шнур составляет с направляющей угол α?

Ответ и решение

За очень малый промежуток времени Δt ползун перемещается на расстояние AB = Δl.

Шнур за этот же промежуток времени выбирают на длину AC = Δlcosα (угол ∠ACB можно считать прямым, поскольку угол Δα очень мал). Поэтому можно записать: Δl/u = Δlcosα/v, откуда u = v/cosα, что означает, что скорость выбирания веревки равна проекции скорости ползуна на направление веревки.

Рабочие, поднимающие груз,

тянут канаты с одинаковой скоростью v. Какую скорость u имеет груз в тот момент, когда угол между канатами, к которым он прикреплен, равен 2α?

Ответ и решение

Проекция скорости груза u на направление веревки равна скорости веревки v (см. задачу 15), т. е.

Стержень длиной l = 1 м шарнирно соединен с муфтами A и B, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам.

Муфта A движется с постоянной скоростью v_A = 30 см/с. Найти скорость v_B муфты B в момент, когда угол OAB = 60°. Приняв за начало отсчета времени момент, когда муфта A находилась в точке O, определить расстояние OB и скорость муфты B в функции времени.

Ответ и решение

v_B = v_Actgα = 17,3 см/с; , .

В любой момент времени проекции скоростей v_A и v_B концов стержня

на ось стержня равны между собой, так как иначе стержень должен был бы укорачиваться или удлиняться. Значит, можно записать: v_Acosα = v_Bsinα. Откуда v_B = v_Actgα.

В любой момент времени для треугольника OAB справедлива теорема Пифагора: l 2 = OA 2 (t) + OB 2 (t). Найдем отсюда OB(t): . Поскольку OA(t) = v_At, тогда окончательно запишем выражение для OB(t) так: .

Поскольку ctgα в любой момент времени равен OA(t)/OB(t), то можно записать выражение для зависимости v_B от времени: .

Танк движется со скоростью 72 км/ч. С какой скоростью движутся относительно Земли: а) верхняя часть гусеницы; б) нижняя часть гусеницы; в) точка гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к танку?

Ответ и решение

а) 40 м/с; б) 0 м/с; в) ≈28,2 м/с.

Пусть v — скорость скорость танка относительно Земли. Тогда скорость любой точки гусеницы относительно танка также равна v. Скорость любой точки гусеницы относительно Земли есть сумма векторов скорости танка относительно Земли и скорости точки гусеницы относительно танка. Тогда для случая а) скорость будет равна 2v, для б) 0, а для в) v.

1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v₁ = 40 км/ч, вторую — со скоростью v₂ = 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути.

2. Автомобиль проехал половину пути со скоростью v₁ = 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью v₂ = 15 км/ч, а последний участок — со скоростью v₃ = 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Ответ и решение

1. Пусть s — весь путь, t — время, затраченное на преодоление всего пути. Тогда средняя скорости на всем пути равна s/t. Время t состоит из суммы промежутков времени, затраченных на преодоление 1-й и 2-й половин пути:

Подставив это время в выражение для средней скорости, получим:

. (1)

2. Решение этой задачи можно свести к решению (1.), если сначала определить среднюю скорость на второй половине пути. Обозначим эту скорость v_ср2, тогда можно записать:

где t₂ — время, затраченное на преодоление 2-й половины пути. Путь, пройденный за это время, состоит из пути, пройденного со скоростью v₂, и пути, пройденного со скоростью v₃:

Подставив это в выражение для v_ср2, получим:

Далее, подставив это значение в (1) вместо v₂, получим:

Поезд первую половину пути шел со скоростью в n=1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость поезда на всем пути v_cp = 43,2 км/ч. Каковы скорости поезда на первой (v₁) и второй (v₂) половинах пути?

Ответ и решение

Пусть t₁ и t₂ — время прохождения поездом соответственно первой и второй половин пути, s — весь путь, пройденный поездом.

Составим систему уравнений — первое уравнение представляет собой выражение для первой половины пути, второе — для второй половины пути, а третье — для всего пути, пройденного поездом:

Сделав подстановку v₁=nv₂ и решив получившуюся систему уравнений, получим v₂.

Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям, имеющим форму, изображенную на рисунке.

Как будут отличаться скорости и времена движения шариков к моменту их прибытия в точку B? Трением пренебречь.

Ответ и решение

Скорости будут одинаковы. Время движения первого шарика будет больше.

На рисунке изображены приблизительные графики движения шариков.

Т.к. пути, пройденные шариками, равны, то площади заштрихованных фигур также равны (площадь заштрихованной фигуры численно равна пройденному пути), поэтому, как видно из рисунка, t₁>t₂.

Самолет летит из пункта A в пункт B и возвращается назад в пункт A. Скорость самолета в безветренную погоду равна v. Найти отношение средних скоростей всего перелета для двух случаев, когда во время перелета ветер дует: а) вдоль линии AB; б) перпендикулярно линии AB. Скорость ветра равна u.

Ответ и решение

Время полета самолета из пункта A в пункт B и обратно в случае, когда ветер дует вдоль линии AB:

Тогда средняя скорость в этом случае:

В случае, если ветер дует перпендикулярно линии AB, вектор скорости самолета должен быть направлен под углом к линии AB так, чтобы скомпенсировать влияние ветра:

Время полета «туда-обратно» в этом случае составит:

Скорости полета самолета в пункт B и обратно одинаковы и равны:

Теперь можно найти отношение средних скоростей, полученных для рассмотренных случаев:

Расстояние между двумя станциями s = 3 км поезд метро проходит со средней скоростью v_ср = 54 км/ч. При этом на разгон он затрачивает время t₁ = 20 с, затем идет равномерно некоторое время t₂ и на замедление до полной остановки тратит время t₃ = 10 с. Построить график скорости движения поезда и определить наибольшую скорость поезда v_макс.

Ответ и решение

На рисунке изображен график скорости движения поезда.

Пройденный поездом путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком и осью времени t, поэтому можно записать систему уравнений:

Из первого уравнения выражаем t₂:

тогда из второго уравнения системы найдем v_макс:

От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью v₀. Как будут относиться пути, пройденные поездом и вагоном к моменту остановки вагона? Считать, что вагон двигался равнозамедленно. Решить задачу также графически.

В момент, когда тронулся поезд, провожающий начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью v₀=3,5 м/с. Принимая движение поезда равноускоренным, определить скорость поезда v в тот момент, когда провожаемый поравняется с провожающим.

График зависимости скорости некоторого тела от времени изображен на рисунке.

Начертить графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени.

Графики зависимости ускорения, координаты тела, а также пройденного им пути от времени изображены на рисунке.

График зависимости ускорения тела от времени имеет форму, изображенную на рисунке.

Начертить графики зависимости скорости, смещения и пути, пройденного телом, от времени. Начальная скорость тела равна нулю (на участке разрыва ускорение равно нулю).

Тело начинает двигаться из точки A со скоростью v₀ и через некоторое время попадает в точку B.

Какой путь прошло тело, если оно двигалось равноускоренно с ускорением, численно равным a? Расстояние между точками A и B равно l. Найти среднюю скорость тела.

На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени.

После момента t=t₁ кривая графика — парабола. Что за движение изображено на этом графике? Построить график зависимости скорости тела от времени.

На участке от 0 до t₁: равномерное движение со скоростью v₁ = tgα;

на участке от t₁ до t₂: равнозамедленное движение;

на участке от t₂ до t₃: равноускоренное движение в противоположную сторону.

На рисунке изображен график зависимости скорости тела от времени.

На рисунке даны графики скоростей для двух точек, движущихся по одной прямой от одного и того же начального положения.

Известны моменты времени t₁ и t₂. В какой момент времени t₃ точки встретятся? Построить графики движения.

За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в равноускоренном движении, втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости?

Ответ и решение

За вторую секунду.

Проще всего эту задачу решить графически. Т.к. пройденный телом путь численно равен площади фигуры под линией графика скорости, то из рисунка очевидно, что путь, пройденный за вторую секунду (площать под соответствующим участком графика равна площади трех треугольников), в 3 раза больше пути, пройденного на первую секунду (площадь равна площади одного треугольника).

Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, находящееся на расстоянии L. Она может ускорять или замедлять свое движение только с одинаковым по величине и постоянным ускорением a, переходя затем в равномерное движение или останавливаясь. Какой наибольшей скорости v должна достичь вагонетка, чтобы выполнить указанное выше требование?

Ответ и решение

Очевидно, что вагонетка перевезет груз за минимальное время, если она будет первую половину пути двигаться с ускорением +a, а оставшуюся половину с ускорением —a.

откуда находим максимальную скорость:

Реактивный самолет летит со скоростью v₀=720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t=10 с и в последнюю секунду проходит путь s=295 м. Определить ускорение a и конечную скорость v самолета.

Ответ и решение

Изобразим график скорости самолета на рисунке.

Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за t₁=1 с, а второй — за t₂=1,5 с. Длина вагона l=12 м. Найти ускорение a поезда и его скорость v₀ в начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным.

Ответ и решение

Путь, пройденный поездом к моменту времени t₁ равен:

Из первого уравнения найдем v₀:

Подставив полученное выражение во второе уравнение, получим ускорение a:

Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длиной l каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за t секунд, второй — за 3t секунд. Найти скорость v шарика в конце первого отрезка пути.

Ответ и решение

Поскольку рассматриваемое движение шарика обратимо, целесообразно выбрать началом отсчета общую точку двух отрезков. При этом ускорение при движении на первом отрезке будет положительным, а при движении на втором отрезке — отрицательным. Начальная скорость в обоих случаях равна v. Теперь запишем систему уравнений движения для путей, пройденных шариком:

Исключив ускорение a, получим искомую скорость v:

Доска, разделенная на пять равных отрезков, начинает скользить по наклонной плоскости. Первый отрезок прошел мимо отметки, сделанной на наклонной плоскости в том месте, где находился передний край доски в начале движения, за τ=2 с. За какое время пройдет мимо этой отметки последний отрезок доски? Движение доски считать равноускоренным.

Ответ и решение

Найдем длину первого отрезка:

Теперь запишем уравнения движения для точек начала (момент времени t₁) и конца (момент времени t₂) пятого отрезка:

Выполнив подстановку найденной выше длины первого отрезка вместо l и найдя разность (t₂ — t₁), получим ответ.

Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась она внутри вала? С каким ускорением? Какова была ее скорость на глубине 18 см? На какой глубине скорость пули уменьшилась в три раза? Движение считать равнопеременным. Чему будет равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99% своего пути?

Ответ и решение

t = 1,8·10 -3 с; a ≈ 2,21·10 5 м/с 2 ; v ≈ 282 м/с; s = 32 см; v₁ = 40 м/с.

Время движения пули внутри вала найдем из формулы h = vt/2, где h — полная глубина погружения пули, откуда t = 2h/v. Ускорение a = v/t.

По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии l = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через t₁ = 1 с и через t₂ = 2 с после начала движения. Определить начальную скорость v₀ и ускорение a движения шарика, считая его постоянным.

Ответ и решение

Зависимость скорости шарика от времени выражается формулой v = v₀ — at. В момент времени t = t₁ и t = t₂ шарик имел одинаковые по величине и противоположные по направлению скорости: v₁ = — v₂. Но v₁ = v₀ — at₁ и v₂ = v₀ — at₂, поэтому

Т.к. шарик движется равноускоренно, то расстояние l можно выразить следующим образом:

Теперь можно составить систему из двух уравнений:

решив которую, получим:

; .

Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую, за последнюю секунду своего движения?

Определить время открытого положения фотографического затвора τ, если при фотографировании шарика, падающего вдоль вертикальной сантиметровой шкалы от нулевой отметки без начальной скорости, на негативе была получена полоска, простирающаяся от n₁ до n₂ делений шкалы?

Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти высоту падения.

Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.

С какой начальной скоростью v₀ надо бросить вниз мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h? Трением о воздух и другими потерями механической энергии пренебречь.

С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями было 25 м? Трением о воздух пренебречь.

Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток времени t₀ между двумя моментами, когда тело проходит точку B, находящуюся на высоте h. Найти начальную скорость бросания v₀ и время всего движения тела t.

; .

Из точек A и B, расположенных по вертикали (точка A выше) на расстоянии l = 100 м друг от друга, бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью 10 м/с: из A — вертикально вниз, из B — вертикально вверх. Через сколько времени и в каком месте они встретятся?

t = 5 с; на 75 м ниже точки B.

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Когда оно достигло высшей точки пути, из того же начального пункта с той же скоростью v₀ брошено второе тело. На какой высоте h от начального пункта они встретятся?

Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью v₀ = 19,6 м/с с промежутком времени τ = 0,5 с. Через какое время t после бросания второго тела и на какой высоте h встретятся тела?

Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с 2 . Через τ = 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через сколько времени t этот предмет упадет на Землю?

С аэростата, опускающегося со скоростью u, бросают вверх тело со скоростью v₀ относительно Земли. Какое будет расстояние l между аэростатом и телом к моменту наивысшего подъема тела относительно Земли? Каково наибольшее расстояние l_макс между телом и аэростатом? Через какое время τ от момента бросания тело поравняется с аэростатом?

Тело, находящееся в точке B на высоте H = 45 м от Земли, начинает свободно падать. Одновременно из точки A, расположенной на расстоянии h = 21 м ниже точки B, бросают другое тело вертикально вверх. Определить начальную скорость v₀ второго тела, если известно, что оба тела упадут на Землю одновременно. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с 2 .

Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H > h) вертикально вниз. Оба тела упали на землю одновременно. Определить начальную скорость v₀ второго тела. Проверить правильность решения на численном примере: h = 10 м, H = 20 м. Принять g = 10 м/с 2 .

Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей уклон α. С какой скоростью v₀ должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины?

Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит 2 с?

Самолет летит на постоянной высоте h по прямой со скоростью v. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом к вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы? Каково в этот момент расстояние от цели до точки, над которой находится самолет? Сопротивление воздуха движению бомбы не учитывать.

; .

Два тела падают с одной и той же высоты. На пути одного тела находится расположенная под углом 45° к горизонту площадка, от которой это тело упруго отражается. Как различаются времена и скорости падения этих тел?

Время падения тела, на пути которого находилась площадка, больше, поскольку вектор набранной к моменту сооударения скорости изменил свое направление на горизонтальное (при упругом соударении меняется направление скорости, но не его величина), значит вертикальная составляющая вектора скорости стала равна нулю, в то время как у другого тела вектор скорости не изменялся.

Скорости падения тел равны до момента столкновения одного из тел с площадкой.

Лифт поднимается с ускорением 2 м/с 2 . В тот момент, когда его скорость стала равна 2,4 м/с, с потолка лифта начал падать болт. Высота лифта 2,47 м. Вычислить время падения болта и расстояние, пройденное болтом относительно шахты.

На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом 45° к вертикали со скоростью 20 м/с: одно вниз, другое вверх. Определить разность высот Δh, на которых будут тела через 2 с. Как движутся эти тела друг относительно друга?

Δh ≈ 56,4 м; тела отдаляются друг от друга с постоянной скоростью.

Доказать, что при свободном движении тел вблизи поверхности Земли их относительная скорость постоянна.

Из точки A свободно падает тело. Одновременно из точки B под углом α к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе.

Показать, что угол α не зависит от начальной скорости v₀ тела, брошенного из точки B, и определить этот угол, если . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Тело брошено под углом α к горизонту со скоростью v₀. Определить скорость v этого тела на высоте h над горизонтом. Зависит ли эта скорость от угла бросания? Сопротивление воздуха не учитывать.

Под углом α=60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью v=20 м/с. Через сколько времени t оно будет двигаться под углом β=45° к горизонту? Трение отсутствует.

Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью бьют струи воды: под углом 60, 45 и 30° к горизонту. Найти отношения наибольших высот h подъема струй воды, вытекающих из каждой трубы, и дальностей падения l воды на землю. Сопротивление воздуха движению водяных струй не учитывать.

Из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра d некоторой окружности, по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения грузы.

Определить, через какой промежуток времени t грузы достигнут окружности. Как это время зависит от угла наклона хорды к вертикали?

Начальная скорость брошенного камня v₀=10 м/с, а спустя t=0,5 с скорость камня v=7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

На некоторой высоте одновременно из одной точки с одинаковыми скоростями выбрасываются по всевозможным направлениям шарики. Что будет представлять собой геометрическое место точек нахождения шариков в любой момент времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Геометрическим местом точек нахождения шариков в любой момент времени будет сфера, радиус которой v₀t, а ее центр расположен ниже начальной точки на величину gt 2 /2.

Цель, находящаяся на холме, видна с места расположения орудия под углом α к горизонту. Дистанция (расстояние по горизонтали от орудия до цели) равна L. Стрельба по цели производится при угле возвышения β.

Определить начальную скорость v₀ снаряда, попадающего в цель. Сопротивление воздуха не учитывать. При каком угле возвышения β₀ дальность стрельбы вдоль склона будет максимальной?

Ответ и решение

, .

Выберем систему координат xOy таким образом, чтобы точка отсчета совпала с орудием. Теперь запишем кинематические уравнения движения снаряда:

Заменив x и y на координаты цели (x = L, y = Ltgα) и исключив t, получим:

Дальность l полета снаряда вдоль склона l = L/cosα. Поэтому формулу, которую мы получили, можно переписать так:

это выражение максимально при максимальном значении произведения

Поэтому l максимально при максимальном значении = 1 или

При α = 0 мы получаем ответ β₀ = π/4 = 45°.

Упругое тело падает с высоты h на наклонную плоскость. Определить, через сколько времени t после отражения тело упадет на наклонную плоскость. Как время зависит от угла наклонной плоскости?

, от угла наклонной плоскости не зависит.

С высоты H на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол α=45°, свободно падает мяч и упруго отражается с той же скоростью. Найти расстояние от места первого удара до второго, затем от второго до третьего и т. д. Решить задачу в общем виде (для любого угла α).

; s₁ = 8Hsinα; s₁:s₂:s₃ = 1:2:3.

Расстояние до горы определяют по времени между выстрелом и его эхом. Какова может быть погрешность τ в определении моментов выстрела и прихода эха, если расстояние до горы не менее 1 км, а его нужно определить с точностью 3%? Скорость звука в воздухе c=330 м/с.

Глубину колодца хотят измерить с точностью 5%, бросая камень и замечая время τ, через которое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений τ необходимо учитывать время прохождения звука? Скорость звука в воздухе c=330 м/с.

источники:

http://spadilo.ru/uravnenie-koordinaty-pri-ravnouskorennom-pryamolinejnom-dvizhenii/

http://fizikazadachi.ru/mehanika/kinematika/