Уравнения корень уравнения равносильные уравнения свойства уравнений

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях

Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений. В состав этих алгебраических выражений обычно входят переменные, которые называются неизвестными.

Значения неизвестных, при которых уравнение обращается в истинное равенство, называются решениями (корнями) уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Уравнения могут быть как с одной, так и с несколькими переменными. Например, 2x-5=3 – это уравнение с одной переменной, x=4 его единственный корень; а x-y=0 — уравнение с двумя переменными, оно имеет бесконечно много решений, например пары (1;1), (2;2), (-101,-101)… являются его решениями.

Уравнения могут не иметь решений, иметь одно решение или несколько решений, иметь бесконечно много решений. Уравнение, у которого нет корней, называется неразрешимым.

Уравнение не имеет решений в поле действительных чисел, так как корень всегда число положительное;

Уравнение имеет единственное решение в поле действительных чисел x=12;

Уравнение (x-1)(x-11)x=0 имеет три решения в поле действительных чисел x=1 x=11 и x=0;

Уравнение 0*x=0 имеет бесконечно много решений в поле действительных чисел, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот – каждое решение второго уравнения является решением первого.

Уравнения (x-1)(x-11)x=0 и (2x-2)(3x-33)x=0 равносильны, так как решениями и первого, и второго уравнения являются числа 1, 11 и 0. Других решений ни у того, ни у другого уравнения нет.

Уравнения x-1=0 и x 2 -1=0 не являются равносильными, так как решениями первого уравнения является только число 1, а второго числа 1 и -1. При этом число -1 не является решением первого уравнения.

Иногда при решении уравнений исходное уравнение приходится заменять неравносильным ему уравнением, но таким, что все решения первого будут и решением второго. Особенно часто это приходится делать при решении иррациональных уравнений. Если применяется этот метод, то в конце решения обязательно нужно проверить простой подстановкой в исходное уравнение, не получилось ли лишних корней.

Решить уравнение .

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части в квадрат, помня, что могут появиться лишние корни.

Проверим, нет ли лишних корней

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Краткосрочный план по математике Уравнения. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Свойства уравнения.»»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Занятие по специальности, предмету: Математика

Раздел: Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Тема: Уравнения. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Свойства уравнения.

Колледж: колледж Агробизнеса

Количество: отсутствующих — , присутствующих —

Цели обучения, которые будут достигнуты с помощью данного занятия

Обучающиеся будут знать понятие уравнения, корня уравнения, равносильных уравнений, смогут выработать алгоритм решения, смогут применять свойства уравнения при решении, смогут повторить, систематизировать и закрепить знания и умения по теме.

Все обучающиеся: знают понятие уравнения, корня, равносильных уравнений.

Большинство обучающихся: понимают и умеют использовать свойства уравнений, умеют ориентироваться при решении уравнений.

Некоторые обучающиеся: умеют проанализировать, обсудить и дать совет по решению уравнений.

Студенты правильно произносят слова и выражения по данной теме и используют их в речи.

«при решении данного уравнения мы используем свойство…», «при переносе одного слагаемого из одной части в другую …», «при делении или умножении обеих частей уравнения …», «у равносильных уравнений …»

На предыдущих занятиях студенты изучили тему «Роль математики в подготовке конкурентоспособных специалистов». Знают буквенные, числовые выражения, вычисление, решение, уравнение, корень, переменная, постоянная.

3.Объяснение нового материала

4.Закрепление нового материала

Приветствие, отметка отсутствующих.

Математический диктант

Студентам предлагается выполнить математический диктант (Слайд 2)

Закончите предложение: “Выражение 2х – 5 [3 4 + 5] является …” (буквенным/числовым)

Составьте выражение по условию задачи: “Карандаш стоит х тенге, а блокнот — 25 тенге. Сколько стоят 3 карандаша и 1 блокнот [1 карандаш и 2 блокнота]? (3х + 25 / х + 2 25)

Найдите значение полученного выражения при х = 10. (55 тенге/60 тенге)

Хватит ли Олжасу денег на всю покупку, если у него всего 58 тенге? (да/нет)

Решите уравнение
5х – 4 = 6
[3х + 2 = 8].
(х = 2)
Задания, приведённые в квадратных скобках, предназначены для второго варианта.

Студенты обмениваются тетрадями, проверяют друг у друга работы. Ответы проецируются на доску. (Слайд 3)

— Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

Формулирование темы и задачи занятия.

Ц.О. Обучающиеся будут знать понятие уравнении, корня, равносильных уравнении, смогут выработать алгоритм решения, смогут применять свойства уравнения при решении уравнений, смогут повторить, систематизировать и закрепить знания и умения по теме.

– Запишите тему нашего урока “ Уравнения. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Свойства уравнений. ” (Слайд 1)

2) – Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое? (Слайд 4)

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

д) 1.5 х + 2.8 = 5,8. (Слайд 5)

студенты объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

4) — Вспомните, пожалуйста, что называют корнем уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.(Слайд 6)

— Проверим ваши ответы. (Слайд 5)

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения устно:

в) 6(3х – 1) = 12х + 6. (Слайд 7)

Студенты подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Определите, какие из чисел – 2, — 1, 0, 2, 3 являются корнем уравнения х 2 + 3х = 10. (Слайд 8)

Задание выполняется студентами в тетради. Некоторые студенты по очереди делают соответствующие записи на доске.

Образец выполнения задания:

Корнем уравнения х 2 + 3х = 10 число

а) -2 не является, так как (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = — 2, а -2 10;

б) – 1 не является, так как (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, а – 2 10;

в) 0 не является, так как 0 2 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

7) – Продолжим работать дальше.

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3. (Слайд 9)

После самостоятельного выполнения задания некоторые студенты зачитывают получившиеся у них уравнения, группа определяет, правильно ли выполнено задание.

8) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет. (Слайд 10)

9) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

в) 3х + 12 = 3(х + 4). (Слайд 11)

Студенты дают ответы, обосновывая их.

10) – Что называется модулем числа?

— Чему равен модуль положительного числа?

— Модуль нуля? Отрицательного числа?

— Может ли модуль числа равняться отрицательному числу?

Как вы думаете, имеют ли данные уравнения корни и, если имеют, то сколько:

11) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение. Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями . (Слайд 13)

12) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50? (Слайд 14)

Студенты составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются группой.

13) – При решении уравнений используются свойства, которые вы учили в 6 классе. Давайте их вспомним. (Слайд 15)

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

14) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

в) — 0,7х = — 4,9. (Слайд 16)

— Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b: