Задача 43260 Решите уравнение.Косинус x в модуле.
Условие
Решите уравнение.Косинус x в модуле.
Решение
1) при cosx ≥ 0
тогда |cosx|=cosx
Уравнение принимает вид:
5sin^2x+8cosx+1=cosx+cos^2x
Заменим
sin^2x=1-cos^2x
получим квадратное уравнение:
6cos^2x-7cosx-6=0
D=49-4*6*(-6)=49+144=193
первое уравнение имеет корни во второй и третьей четверти,
не выполняется условие первого случая cosx ≥ 0
второе вообще не имеет корней, так как
[m]\frac<7+\sqrt<193>><12>[/m] > 1
о т в е т первого случая : нет корней
Тригонометрические уравнения с модулем
Разделы: Математика
Раскрытие модуля по определению
Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а 2 x-sinx=0
sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)
Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx 2
cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1
х= -0,5 х = -2,5
Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)
Ответ:
№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].
Решение. Перепишем уравнение в виде
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим
Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии
Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.
Ответ:
№6 Решить уравнение.
Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай:
х=2
Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2
№7. Решить уравнение.
Решение. ОДЗ:
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида
Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.
Ответ:
№8. Решить уравнение.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Ответ:
№9. Решить уравнение.
Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.
Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x 2 +15x-45=(-x 2 +15x-44)-1≤-1
при причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.
При решении уравнения второй системы получается:
В промежутке только одно целое нечетное число 3, т.е
Другие способы раскрытия модулей.
Уравнения вида можно решать и следующим способом:
№10. Решить уравнение.
Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx 21.02.2008
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев
АЛГЕБРА
и начала математического
анализа
10 класс
учреждений. Базовый и
§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3
Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.
Задача 1 . Решите систему уравнений
Из первого уравнения находим и подставляем во второе.
Получаем
Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.
Действительно, в таком случае имеем
Тогда, например, при n = 0 получаем
Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:
Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.
Поэтому следует запомнить:
Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».
Задача 2 . Решите систему уравнений
Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему
Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:
Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:
Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.
Вопросы для контроля
- Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
- Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.
Упражнения
Решите систему уравнений (1–8).
http://urok.1sept.ru/articles/507334
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/282