Уравнения лагранжа для дифференциальных уравнениях

Уравнение Лагранжа

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общий метод решения уравнения Лагранжа

Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $F\left(x,y,y’\right)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=f\left(x,y’\right)$.

Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=x\cdot \phi \left(y’\right)+\psi \left(y’\right)$, в котором $\phi \left(y’\right)\ne y’$.

Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y’=p$.

При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.

Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=p\cdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x\left(p\right)$ и её производной $\frac $, а именно: $\frac -\frac<\phi '\left(p\right)>\cdot x=\frac<\psi '\left(p\right)>$.

Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=F\left(p,C\right)$.

Подставив полученный результат в соотношение $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$, получим $y=F\left(p,C\right)\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.

Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$ и подстановки их в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.

Решение типичных задач

Решить дифференциальное уравнение $y=-x\cdot y’+y’^ <2>$.

Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=-y’$ и $\psi \left(y’\right)=y’^ <2>$.

Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=-x\cdot p+p^ <2>$, а также $\phi \left(p\right)=-p$ и $\psi \left(p\right)=p^ <2>$.

Теперь получим уравнение вида $\frac -\frac<\phi '\left(p\right)>\cdot x=\frac<\psi '\left(p\right)>$. Для этого находим: $\phi ‘\left(p\right)=-1$; $\psi ‘\left(p\right)=2\cdot p$; $p-\phi \left(p\right)=p-\left(-p\right)=2\cdot p$.

Уравнение приобретает вид: $\frac +\frac<1> <2\cdot p>\cdot x=1$.

Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

1. Стандартный вид $\frac+\frac<1><2\cdot p>\cdot x=1$, где $P\left(p\right)=\frac<1><2\cdot p>$, $Q\left(p\right)=1$.
2. Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac<1><2\cdot p>\cdot dp =\frac<1><2>\cdot \ln \left|p\right|$.

Записываем частное решение $v\left(p\right)=e^<-\frac<1> <2>\cdot \ln \left|p\right|> $, выполняем упрощающие преобразования: $\ln v\left(p\right)=-\frac<1> <2>\cdot \ln \left|p\right|$; $\ln \left(v\left(p\right)\right)^ <2>+\ln \left|p\right|=0$; $\left(v\left(p\right)\right)^ <2>\cdot \left|p\right|=1$.

Выбираем для $v\left(p\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(p\right)=\frac<1> <\sqrt

> $.

ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ ме­ха­ни­ки, обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния вто­ро­го по­ряд­ка, опи­сы­ваю­щие дви­же­ние ме­ха­нич. сис­тем под воз­дей­ст­ви­ем при­ло­жен­ных к ним сил. Вы­ве­де­ны Ж. Ла­гран­жем в 1788 в двух фор­мах: Л. у. 1-го ро­да – урав­не­ния в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах с не­оп­ре­де­лён­ны­ми мно­жи­теля­ми Ла­гран­жа, и Л. у. 2-го ро­да – урав­не­ния в обоб­щён­ных ла­гран­же­вых ко­ор­ди­на­тах.

Уравнения Лагранжа

Рассмотрим систему материальных точек <с идеальными голономными нестационарными связями. Все возможные, в том числе и действительный закон движения точки, то есть ее радиус-вектор, являются функциями независимых обобщенных координат и времени

Вычислим скорость k-той точки:

Повторяющийся индекс говорит о суммирование по индексу: от 1 до n, от 1 до l.

Докажем первое тождество Лагранжа

Поскольку (*) — линейная функция i с коэффициентами , то тождество L1 верно.

Второе тождество Лагранжа

доказывается прямым вычислением правой и левой частей тождества.

Дифференцируя (**) по времени, получаем

Дифференцируя (*) по qj, получаем то же выражение

Тождество (L2) доказано.

Уравнение Лагранжа второго рода.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы в виде

(повторяющийся индекс говорит о суммирование по индексу: от 1 до n, от 1 до l).

При нестационарных связях радиусы векторы точек системы являются функциями обобщенных координат и времени . Как было показано, скорость каждой точки складывается из переносной и относительной скоростей

Переносные и относительные скорости точек независимы, поэтому теорема об изменении кинетической энергии распадается на два соотношения

В (4) учтена идеальность связей

Покажем, что соотношение (4) приводит к уравнениям Лагранже. Как известно, мощность активных сил выражается через обобщенные силы и скорости

Найдем сумму

Здесь использованы тождества Лагранжа

Возможные обобщенные скорости только независимы, но и произвольны. Поэтому все скобки обязаны обратиться в ноль.

Уравнения Лагранжа позволяют получить дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, но оставляют вопрос о реакциях идеальных связей открытым. Обычно для того, чтобы найти реакции, прибегают к уравнениям Ньютона.

Можно показать, что соотношение (5) позволяет найти реакции идеальных связей.

Уравнения Лагранжа являются алгоритмом для вывода дифференциальных уравнений движения системы.

Чтобы получить дифференциальные уравнения, нужно:

1.Записать функцию кинетической энергии Т через обобщенные координаты и скорости

2.Взять соответствующие производные от Т

3.Вычислить одним из способов обобщенные силы Qi

4.Подставив результат в уравнения Лагранжа, мы получим l штук обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат как функций времени

Уравнение Лагранжа является наиболее универсальным способом вывода дифференциальных уравнений движения голономной системы с идеальными связями, в том числе и не стационарными.

Преимущества и недостатки метода Лагранжа по сравнению с методом Ньютона:

1) Формализм метода Лагранжа, состоящий в том, что задача сводится к дифференцированию функции Т, удобен, но не позволяет увидеть физические законы, как в методе Ньютона.

2) Метод Лагранжа позволяет изначально исключить из рассмотрения реакции идеальных связей, что позволяет быстро получить дифференциальные уравнения движения системы. Для определения этих реакций после интегрирования уравнений придется, однако, вернуться к методу Ньютона.

Чтобы получить дифференциальные уравнения движения эллиптического маятника методом Ньютона, пришлось бы:

· учесть реакцию идеальной связи в виде натяжения нити,

· составить одно уравнение поступательного движения тела m1, и два уравнения плоского движения точки m2.

· Из трех уравнений — два будут дифференциальными и одно послужит для определения натяжения нити.

Найдем дифференциальные уравнения методом Лагранжа:

Система имеет две степени свободы, которым соответствуют обобщенные координаты x, φ и уравнения Лагранжа

Обобщенные силы мы нашли раньше

Qx=0 Qφ= — m2glSinφ

Кинетическую энергию системы T ищем в момент прохождения системой положения равновесия

T не зависит от х:

Замечаем, что этот интеграл выражает ожидаемое сохранение количества движения системы вдоль оси х.

Первое дифференциальное уравнение движения системы получим после дифференцирования

Для получения второго уравнения, найдем соответствующие производные.

При подстановке во второе уравнение Лагранжа подобные выражения сокращаются, и мы находим второе дифференциальное уравнение движения системы

При фиксации тела m1 получаем уравнение колебаний математического маятника m2