Дифференциальное уравнение Клеро
Решение дифференциального уравнения Клеро
Рассмотрим уравнение Клеро:
(1)
Не трудно убедиться, что его общее решение имеет вид:
(2)
Действительно, поскольку – постоянная, то – тоже постоянная. Тогда дифференцируя (2) имеем:
;
(3) .
Подставляя (2) и (3) в (1), получаем тождество:
.
Особое решение дифференциального уравнения Клеро
Уравнение Клеро может иметь особое решение. Как известно, если общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
,
то особое решение может получиться исключением из уравнений:
;
.
В нашем случае, решение (2) можно записать в виде:
.
Тогда
.
Тогда особое решение может получиться, исключением из уравнений:
;
.
Поскольку возможны посторонние решения, то после нахождения особого решения, необходимо проверить, удовлетворяет ли он исходному уравнению (1).
Пример
Решить уравнение:
(1.1)
Это уравнение Клеро. Его общее решение имеет вид:
Ищем особое решение. Перепишем общее решение в виде:
.
Дифференцируем по :
.
Тогда особое решение может получиться исключением из уравнений:
(1.2) ;
(1.3) .
Исключаем . Из уравнения (1.3) имеем:
(1.4) .
Возводим в квадрат и преобразуем:
;
;
. Отсюда следует, что .
Извлекаем квадратный корень:
(1.5) .
Поскольку мы возводили в квадрат, то, возможно, (1.5) содержит лишние решения, которые не удовлетворяют (1.4). Сейчас мы примем (1.5), а отсев лишних решений сделаем в самом конце.
Подставим (1.4) и (1.5) в (1.2):
.
Итак, особые решения имеют вид:
(1.6) .
Теперь сделаем проверку, чтобы выяснить, удовлетворяет ли исходному уравнению (1.1):
(1.1) .
Находим производную (1.6) и выполняем преобразования:
;
;
.
Подставляем в (1.1):
(1.7) .
При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять нижний знак:
.
То есть при , .
При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять верхний знак:
.
То есть при , .
Общее решение уравнения имеет вид:
При уравнение имеет особое решение:
.
При уравнение имеет особое решение:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 24-08-2012 Изменено: 10-04-2016
Лекция 2. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной .
Рассмотрим уравнение вида
F ( x , y , y ‘ ) = 0 ,
не разрешённое относительно производной. Если попытаться выразить из него y ‘ , то можно получить , вообще говоря , несколько уравнений
Геометрически это означает , что в каждой точке задаётся несколько направлений поля (см.рис.2).
Следовательно через любую точку M ( x , y ) может проходить несколько интегральных кривых . Для того, чтобы выделить из этого множества единственную интегральную кривую, проходящую через заданную точку M0 ( x0 , y0) , надо помимо значений ( x0 , y0 ) дополнительно задать в этой точке направление поля y ‘ ( x0) = y ‘0 .
Задача Коши . Найти решение уравнения F ( x , y , y ‘ ) = 0, удовлетворяющее начальным условиям y ( x0) = y0 и y ‘ ( x0) = y ‘0 , где y ‘0 — решение уравнения F ( x0 , y0 , y ‘ ) = 0.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть в некоторой окрестности U точки (x0 , y0 , y ‘0 ), где y ‘0 — решение уравнения F ( x0 , y0 , y ‘ ) = 0, выполнены условия :
1) F( x , y , y ‘ ) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные F’y и F’y ‘ по совокупности переменных ( x , y , y ‘ ) ;
2) значение производной Fy‘‘ (x0 , y0 , y’0 )0.
Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует единственное решение уравнения F (x, y, y’) = 0, удовлетворяющее условиям y(x0) = y0 и y’ (x0) = y’0 .
Метод введения параметра.
На практике при решении уравнений F( x , y , y ‘ ) = 0 часто используют следующий метод.
Предположим , что уравнение F( x , y , y ‘ ) = 0 “легко” решить относительно y : y = f ( x , y ‘ ). Тогда введем замену y ‘ = p ( параметр зависит от x ). Предполагая, что дифференциальное уравнение имеет решение y = y ( x ) , получим ( в силу уравнения )
Из этих равенств выражаем :
Это уравнение разрешено относительно производной . Пусть его общее решение имеет вид p = p ( x , C ) .Тогда общее решение заданного уравнения можно записать в виде y =f ( x , p ( x , C ) ). Решение найдено.
Таким методом можно решать , в частности , уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнение вида называется уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных x и y . Частным случаем этого уравнения является уравнение Клеро. Оно имеет вид :
Пример 1 . Решить уравнение
Решение. Выразим из уравнения (5) переменную y :
.Заменим и получим
Продифференцируем его по x :
Из этих равенств получаем :
После подстановки этих выражений в (6) будем иметь
Ответ :
Этим методом можно также решать уравнения , в которых «легко» выражается переменная x . Рассмотрим
Пример 2 . Решить уравнение
Решение . Выразим из уравнения (7) переменную x и введём параметр p :
Продифференцируем уравнение (8) по p :
Отсюда в силу равенства dy = p dx получим :
Проинтегрируем это уравнение :
Таким образом , с учётом ( 8 ) , получаем общее решение в параметрическом виде :
Примеры. Решить уравнения :
Уравнения в полных дифференциалах.
Если в уравнении (9) функции
В этом случае уравнение (9) называют уравнением в полных дифференциалах. После интегрирования получим общее решение уравнения
Теорема 1. Пусть функции непрерывные в некоторой односвязной области . Тогда необходимым и достаточным условием того, что уравнение (9) — в полных дифференциалах , является условие
Доказательство. 1. Необходимость.
Если выбрать функцию так, чтобы
то и , следовательно ,
Таким образом , в уравнении (9)
Теорема 1 доказана.
Из теоремы следует , что общее решение уравнения (9) можно записать в виде
если Функцию U можно также представить в виде
Предположим , что . Тогда можно попытаться найти такую функцию , чтобы . Функция называется интегрирующим множителем . В этом случае мы получаем уравнение
в полных дифференциалах. Следовательно, в силу теоремы 1,
Это уравнение позволяет найти интегрирующий множитель. Рассмотрим
Пример. Решить уравнение
Решение. Простой проверкой убеждаемся , что (10) не является уравнением в полных дифференциалах. Умножим его на неизвестную функцию :
Попробуем найти из уравнения :
Пусть . Обозначим через и получим
После подстановки этих выражений в (11) будем иметь :
Проинтегрируем полученное уравнение :
Таким образом, интегрирующий множитель можно взять в виде
Умножим теперь уравнение (10) на функцию
Теорема 2. Если функции M и N непрерывные , имеют непрерывные частные производные первого порядка по x и по y , и , то интегрирующий множитель существует.
Замечание. Точка ( x0 , y0 ), в которой M ( x0 , y0 ) = N ( x0 , y0 ) = 0 является особой точкой уравнения (9). Поведение решений в окрестности особой точки изучается в лекции 3.
Примеры. Решить дифференциальные уравнения :
Примеры выполнения отчета по практике
Уравнения Лагранжа и Клеро.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y ’ .
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y ’ .
Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С учетом замены , уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или
В первом случае :
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр р, получаем второе решение F ( x , y ) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
Дифференцируя, получаем:
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:
Итого, общее решение:
C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C .
Окончательно получаем:
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
Пример. Найти общий интеграл уравнения .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл имеет вид:
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.
С = — 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2
С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2
Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение имеет вид:
Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.
Окончательно получаем:
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Тогда
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Итого
С учетом начального условия у(0) = 0 получаем
Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.
Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Итого
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.
(верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Окончательно
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
с начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.
С учетом начального условия :
Окончательно
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Подставим в исходное уравнение :
Общее решение будет иметь вид:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Обозначим :
Уравнение принимает вид :
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Сделаем обратную замену:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = е:
Частное решение:
Второй способ решения.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное :
Решение исходного уравнения ищем в виде:
Тогда
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Получаем общее решение:
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
Уравнение принимает вид :
Делаем обратную подстановку:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Второй способ решения.
Замена переменной :
Общее решение:
III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).
18. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.
19. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.
20. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.
21. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
IV. Исследование функций с помощью производных
22. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
23. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.
24. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.
25. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу.
26. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
27. Комплексные функции действительного переменного. Их дифференцирование. Формула Эйлера.
Базисы на плоскости и в пространстве Определение 1. Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом на этой плоскости. Если , — базис на плоскости, то для любого вектора , лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числа и , что будет . Числа и называются координатами вектора в данном базисе.
http://vicaref.narod.ru/ODE/lec2.html
http://atomas.ru/mat/sem3/lec8.htm