Уравнения лагранжа второго рода в теории удара

iSopromat.ru

Уравнения Лагранжа второго рода, которые представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат.

Для такой системы можно записать s уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q₁, q₂,…q_s.

Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Применение уравнений Лагранжа в теории удара. Уравнения

Вестник математики т. IV, 1867, Нивен показал, как использовать уравнение Лагранжа в теории ударов. Раус исследовал тот же вопрос ригидность, динамика, т.1. Методы, используемые этими авторами, могут быть улучшены, поскольку они все еще содержат удары связей из за новых связей, наложенных в момент удара. Поэтому эти уравнения не в полной мере соответствуют целям, которые преследует и настраивает Лагранж при получении уравнений, не связанных с реакциями связи. Вот как достичь этой цели: Рассмотрим подвижную голономную систему без фрикционной связи. Его позиция геометрически независимых параметра K кита м…. q кинетическая энергия этой системы T является 2 й производной qv q2……

В данный момент на систему внезапно накладывается новое соединение. Тогда движение будет нарушено, и за очень короткое время скорость различных точек системы со временем изменится Система практически не меняет своего положения. С точки зрения анализа, величина qt позволяет определить скорость за очень короткое время q 3… q k 0 изменяется от значения к значению очень быстро а о а….. ля Оценивать Между тем, qt, Hb, qk. При определении позиции не следует существенно изменять значение. Рассмотрим только первое приближение, предполагая, что интервал 10 пренебрежимо мал, и значение изменяется резко, а значение qt не изменяется change.

Третья аксиома, или закон о равенстве сил действия и противодействия, определяет зависимость между силами взаимодействия двух материальных точек: силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине или модулю и противоположны по направлению, т. Людмила Фирмаль

Кроме того, мы признаем, что новый, наложенный на LAR, также является бесфрикционной связью. Однако эти новые связи могут быть временными или постоянными. То есть после забастовки Она исчезает, но может и сохраняться. То, что изначально накладывается на систему связи, считается постоянным. Они существуют после удара. Переменная дь Д2,…. qk может быть выбран в любое время, поэтому, когда происходит удар, новое внезапно наложенное соединение выражается в уравнении.

Где l конкретное целое число меньше, чем k. In дело в том, что новая K n связь, внезапно наложенная на голономную систему, выражается в следующей форме отношений: .. Як = ок. Як =Ой И 12 м Яг Когда вы меняете переменную, Н + 1, Он берется в качестве нового параметра вместо N + r. г Новое наложенное на систему связи четко выражается отношением Р = 0. gy + 1 = 0 Предположим, что выбор такой переменной действительно сделан, и новое соотношение выражено в уравнении 1. После удара, переменная N + i Yak не равен нулю, если введенные связи являются временными, и нулю, если эти связи постоянны.

Для получения возможного смещения системы допускается муфта, существовавшая до удара, параметр QT, q2… дь tqu lq2. достаточно дать любое изменение bqk. Здесь мы ограничиваемся простейшими случаями. Подробный анализ наиболее распространенных случаев можно найти в статье, опубликованной в Journal de Mathdmatiques, 1896 1 er fascicule. … = 0 2 Но далее, Если желательно допустить движение по внезапно наложенным новым облигациям, то его надо принять, согласно формуле 1.

Оставьте его сушиться. bqn является необязательным. Уравнение движения системы через интервалы времени по Принцип Д Аламбера и преобразования Лагранжа выражается в следующей формуле: 3 Если они произвольны, то правая сторона, представляющая собой сумму возможных действий, приложенных к системе сил, включает в себя реакцию новой наложенной связи. Однако реакцию этих последних связей можно устранить, рассмотрев возможные смещения, приемлемые для всех соединений. Есть моменты влияния. То есть, предположим iqt, bq2. Обнулить. Затем Формула 3 разлагается Как связывающая реакция.

Потому что скорость быстро меняется ТВ 10, которая вызывается только реакцией связывания, которая за короткий промежуток времени становится очень большой. Количество Qт, …Qn. получается только из прямой приложенной нормальной силы, такой как гравитация, и интервала r 10.It остается конечным. Сумма также остается finite. So, обе части выражения 4 dt и значение Интеграла O в диапазоне tQ тогда Интегралы, включающие Q и Q, могут быть проигнорированы. Возьми Нини. K разность между a z , относительно линейной и однородной В уравнении 5 Величина qt, q2,…. Потому что 9 имеет значение, соответствующее моменту удара, yn+ , y + R…… y будет равно нулю.

Но нужно Производные дя + л н + 2…….Обратите внимание, что это не обязательно равно Ноль до и после удара. Только в определенных случаях, когда установленное соединение удерживается, оно будет равно нулю после удара. Тогда из n линейных уравнений 5 получим следующие значения: Е1 А……. У То есть, найти скорость после impact. In в других случаях есть k неизвестных для определения Вт. Ой ой. Уравнение только 1.Затем необходимо сделать дополнительные предположения о работе системы после удара, как в случае удара очень упругого объекта. Правила.

Но эти положения не будут устойчивыми в строгом смысле этого слова, так как если сообщить телу сколь угодно малое начальное вращение вокруг вертикали, то получится движение, при котором точки будут удаляться на конечные величины от их положений равновесия. Людмила Фирмаль

Резюмируя вышесказанное, можно сказать, что формула 5 представляет собой следующие правила: Частные производные T для производной параметра, который не исчезает в момент удара, имеют одинаковое значение до и после удара. Пример I. 2 прямое попадание мяча. Рассмотрим 2 шара, радиус которых равен Zt и p2, а масса mt и t .Их центр перемещается по фиксированной линии Ox. It предполагается, что оба шара совершают поступательные движения. xt и x обозначают абсциссу центра обоих шаров. Положение системы зависит от 2 параметров XT и x момента удара, новое соединение внезапно накладывается и выражается в следующем уравнении: х, х, РТ = Означает, что расстояние между центрами равно сумме radii.

To определите расположение системы, возьмите 2 параметра 1 = 1 и 5 = Х2 Т Два Отношения, которые были внезапно введены Из предыдущей теории существует одно уравнение qy исчезает, чтобы не отменить условие. Вице. Е1 м+ 2 1 + GO i o W = Это единственное уравнение, которое можно вывести из теории. Сумма проекции импульса и оси Ox остается неизменной. Чтобы завершить определение 1 1 и q f. как и 510, вам нужно сделать дополнительные предположения. Пример II круговой однородный диск с радиусом R и массой M движется в вертикальной плоскости xOy.

Время t0, он сталкивается с неподвижной осью Ox и может вращаться только вдоль этой оси n .Определите скорость диска Положение удара зависит от 3 параметров. Вращается в координатах X и y центра тяжести диска, а в координатах X оси на 9 в отрицательном положении. direction. At в момент удара были введены 2 новых соединения. 1 диск остается в контакте с осью Ox г = я 2 диск вращается вдоль оси Ox, поэтому если исходное положение выбрано соответствующим образом, то x = 6. Возьмите его в качестве параметра Вновь наложенные связи представляются уравнениями= 0 и qs = 0. 7 = П2 + х 2 + г 2 Где Mki момент инерции fis относительно центра.

С новыми опциями Единственным параметром, который не исчезает из вновь наложенных связей, является qt. Следовательно, существует только одно уравнение Однако, поскольку он остается нулевым, с q = 0, вернитесь к предыдущей переменной x, y, 0 = о Где индексы 0 и 1 обозначают начальное и конечное значения производительности, а это выражение указывает конечную скорость центра диска при его вращении. Например, в момент удара движения 4 + d2b = 0 После этого диск остановится.

Замечания Распространиться О неголономной системе. Результаты получены в неголономной системе. Это продолжается от следующего. Вы будете дуть. Уравнение системы. Лагранж не применим к конечному движению этих движений. где функция и пункт 464. Поэтому, если вы умножите обе стороны этих уравнений на dt и интегрируете их в интервале от ta до, то интегралы, содержащие Qi, можно игнорировать, пока продолжается удар, и, как и раньше, вы получите N уравнений.

Если вам потребуется заказать теоретическую механику вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Уравнения Лагранжа (второго рода)

Уравнения Лагранжа — это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, имеющие следующий вид:

;

где — кинетическая энергия системы.

Преимущества уравнений Лагранжа:

– дают единый метод решения задач динамики;

– число уравнений Лагранжа определяется только числом степеней свободы системы и не зависит от числа точек системы и характера их движения;

– при идеальных связях в правые части входят обобщенные активные силы, то есть из рассмотрения исключены реакции связей.

Алгоритм составления уравнений Лагранжа:

– установить число степеней свободы системы;

– выбрать обобщенные координаты;

– изобразить систему в произвольном положении и приложить все активные силы, включая силу трения;

– определить обобщенные силы;

– определить кинетическую энергию систему в ее абсолютном движении;

– выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости ;

– определить частные производные и и подставить их в уравнения Лагранжа;

– если заданы действующие силы и начальные условия, то, интегрируя уравнения, находим закон движения системы в виде:

– ;

– если задан закон движения, то определяем действующие силы.

Вопросы для самоконтроля

Ø Что такое обобщенные скорости системы? В каких единицах они измеряются?

Ø Что такое обобщенные силы? В каких единицах они измеряются? Каков порядок вычисления обобщенной силы?

Ø Как математически записываются Уравнения Лагранжа? В чем их преимущества? Каков порядок составления?

ЛЕКЦИЯ №18

Теория удара. Основные понятия и теоремы

Основные понятия.

Ударом называется явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину.

Ударными силами называются силы, под действием которых происходит удар.

Временем удара называется промежуток времени, в течение которого происходит удар.

Ударный импульс равен:

Графически изображается заштрихованной площадью под кривой .

Средняя ударная сила равна:

Так как τ мало, то велико, поэтому , а . Поэтому импульсами неударных сил пренебрегают.

Так как τ мало, то считают, что за время удара точки тела не успевают изменить своего положения, поэтому перемещениями точек тел за время удара пренебрегают.

18.1.2 Основные теоремы теории удара:

Теорема об изменении количества движения точки при ударе: Изменение количества движения точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.

где и — скорости точки до и после удара.

Теорема об изменении количества движения системы при ударе: Изменение количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

Следствие: Если , то , то есть количество движения системы не изменяется, если сумма внешних ударных импульсов равна нулю.

Теорема о движении центра масс системы:

Следствие: Если , то , то есть скорость центра масс системы не изменится, если сумма внешних ударных импульсов равна нулю.

Теорема Кельвина (для точки): Работа силы, приложенной к точке за какой-либо промежуток времени равна скалярному произведению импульса силы за тот же промежуток времени на полусумму начальной и конечной скоростей.

Теорема Кельвина для системы:

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе: Изменение кинетического момента системы относительно точки за время удара равно векторной сумме моментов относительно той же точки внешних ударных импульсов приложенных к точкам системы.