Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Приведение уравнений линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду
Страницы работы
Содержание работы
§. 5. Приведение уравнений линий и поверхностей
второго порядка к каноническому виду
Известно, что для любой квадратичной формы на конечном действительном евклидовом пространстве в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид. Используя этот факт, любую линию или поверхность второго порядка можно привести к каноническому виду по следующему плану.
1. Для квадратичной части уравнения (т. е. квадратичной формы) находим канонический вид и ортогональное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к этому каноническому виду.
2. Подставляем выражение старых переменных через новые в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах совпадают с собственными значениями ее матрицы, свободный член не меняется, линейная часть преобразуется непосредственно.
3. Получили уравнение, не содержащее произведений переменных. С помощью преобразования параллельного переноса избавляемся от лишних слагаемых первых степеней и тем самым окончательно приводим уравнение к каноническому виду.
Если линия или поверхность второго порядка имеет центр симметрии, то решение задачи можно существенно упростить, поменяв местами 1-й и третий пункты, а второй тогда совсем исчезает.
Для того чтобы точка была центром симметрии поверхности второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе линейных уравнений
(5. 3)
Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии поверхности второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле
. (5.4)
Аналогичные утверждения справедливы и для линий второго порядка (подробно обоснование см., например, в []).
Пример 1. Определить вид линии второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту линию, если ее уравнение имеет вид
. (5.5)
►В первую очередь проверим, имеет ли эта линия центр симметрии. Составляем систему линейных уравнений (5.3)
из которой находим: . Поместим с помощью параллельного переноса начало координат в точку (если в задаче используются несколько систем координат, то обязательно надо указывать, в какой именно из них вы даете координаты точки). По формуле (5.4) (подставляем координаты в левую часть (5.5)) находим . После преобразования параллельного переноса уравнение линии примет вид .
Теперь приведем к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:
, , .
Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору в силу симметричности матрицы А и что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора и в одной из них поменяв знак. Итак, . Применим ортогональное преобразование, в результате которого оси новой системы координат будут направлены по собственным векторам. После этого уравнение примет вид (коэффициенты при квадратах совпадают с найденными собственными значениями) , или , которое задает гиперболу с полуосями 1 и 3 и осью в качестве действительной.
Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. Намечаем новое начало координат – точку . От этой точки откладываем собственные векторы и , которые задают направление новых осей. В полученной системе координат рисуем полученную гиперболу (рис.5.1). ◄
Замечания. 1. При таком способе решения нет необходимости выписывать ни преобразование параллельного переноса, ни ортогональное преобразование, т. к. мы и без непосредственной подстановки их в уравнение знаем, как оно преобразуется. Нет необходимости даже собственные векторы нормировать: ортогональное преобразование не нужно, а векторы с целочисленными координатами легче рисовать. Именно поэтому задачу приведения линии второго порядка к каноническому виду в том случае, когда эта линия имеет центр симметрии, сложной не назовешь.
3.8. Приведение уравнения к каноническому виду
Эта задача следовала за нами практически с самого начала главы и в заключительном параграфе мы окончательно разберёмся, как общее уравнение линии второго порядка ( не равны одновременно нулю) свести к одному из девяти канонических случаев.
В предыдущих параграфах мы очень подробно отработали частный случай уравнения, когда коэффициент :
(не равны нулю одновременно)
Такое уравнение приводится методом выделения полного квадрата(ов) с дальнейшим применением формул , далее осуществляется поворот (опционально) на угол либо в некоторых случаях на и непременно параллельный перенос линии или системы координат.
…У вас такое уравнение? Значит, вам хватит материалов предыдущих параграфов!
Не такое? Значит, не хватит 🙂
Как многие подметили, члены общего уравнения «отвечают» за параллельный перенос, и логично предположить, что ненулевое слагаемое «отвечает» за поворот (за исключением угла и кратных ему углов, при которых , и мы отделываемся лёгким испугом).Простейший пример поворота на «нехалявный» угол нам уже встречался – это неканонически расположенная «школьная» гипербола .
Уравнение с ненулевым коэффициентом неприятно тем, что в общем случае его невозможно привести к каноническому виду с помощью обычных средств алгебры: переноса слагаемых, их группировки, вынесений за скобки, выделения полных квадратов и прочей школьной самодеятельности. Поэтому на помощь приходится привлекать более мощные методы решения.
Рассмотрим в качестве примера уравнение . Какие будут идеи? …Да ладно с ними, с идеями, тут даже не понятно, какую линию оно задаёт. Эллипс? Гиперболу? Параболу? Что-то другое из классификации?
Немного потраченного времени, и вы научитесь довольно легко находить ответы на эти вопросы, в частности, без особых проблем сможете определить, что данное уравнение определяет эллипс с полуосями , который расположен центром в точке и повёрнут относительного своего канонического положения на отрицательный угол, составляющий примерно :
Мысленно возьмите эллипс в руки, поверните его на любой угол и переместите в произвольное место плоскости. Новому положению эллипса будет соответствовать совершенно другое уравнение, и если вам предъявить его без чертежа, то никто в жизнь не догадается, что оно определяет тот же самый эллипс.
Именно поэтому и появилась задача приведения уравнения к каноническому виду – чтобы независимо от расположения линии выяснить, что это за зверь и каким нравом он обладает.
Выше я рассматривал два способа приведения. Применительно к нашему примеру:
1) Осуществим параллельный перенос эллипса центром в начало координат (представляем мысленно) и повернём его на угол (против часовой стрелки). В результате получится нужное уравнение .
2) Перейдём к прямоугольной системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на вокруг начала координат и её параллельного переноса центром в точку . Таким образом, в новой системе координат уравнение данного эллипса запишется в каноническом виде :
«Навскидку» второй способ кажется вычурным и неуклюжим, однако, если немного призадуматься, то он более корректен. И толстый намёк на это уже проскочил чуть выше: куда бы мы ни переместили данную линию, какую бы систему координат ни выбрали – эллипс останется тем же самым эллипсом с полуосями , своими фокусами и другими индивидуальными характеристиками.
Но стОит ли перемещать САМУ линию? Представьте, что крыша вашего дома имеет эллиптическую форму, и шаловливый Карлсон выбрал начало координат на трубе кочегарки J. Что вы будете делать, чтобы с комфортом исследовать эллипс? Разумеется, не станете переносить крышу, а перейдёте к удобной системе координат.
То есть, система координат относительна и вторична по отношению к тому или иному объекту. Следовательно, вполне логично и правомерно тревожить именно её, а не «уникальный» эллипс, крышу дома или что-то ещё.
А суть преамбулы состоит в том, что далее мы будем приводить уравнение линии 2-го порядка путём перехода к новой прямоугольной системе координат, в которой уравнение исследуемой линии примет канонический вид.
Существует несколько практических методов приведения уравнения линии к каноническому виду, причём, некоторые из них являются достаточно трудными. Я постараюсь составить максимально простой конспект, доступный человеку с любым уровнем подготовки.
Для этого нам потребуется ещё одно теоретическое понятие:
Все линии 2-го порядка можно разделить на две большие группы:
1) центральные линии, обладающие единственным центром (точкой) симметрии (эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара мнимых или действительных пересекающихся прямых);
2) нецентральные линии, у которых центры симметрии отсутствуют (парабола), либо их бесконечно много (пара действительных или мнимых параллельных прямых, пара совпавших прямых).
Итак, вы счастливый обладатель уравнения
с ненулевым коэффициентом .
С чего начать? На первом шаге целесообразно выяснить, к какой группе относится линия. Для этого нужно мысленно либо на черновике составить и вычислить определитель . Если , то перед нами уравнение центральной линии, если же – то нецентральной.
Для уравнения :
, значит, оно определяет центральную линию.
Зачем это нужно? Чтобы выбрать наиболее выгодный способ решения. Да, конечно, ваш учебный план может и не предоставить возможность выбора, но, тем не менее, я постараюсь провести вас через дебри самой комфортной и короткой тропинкой.
Для приведения уравнения центральной линии, по моему мнению, лучше всего использовать метод инвариантов. Но, к сожалению, он перестаёт работать в нецентральном случае, поэтому на помощь придётся привлечь достаточно трудоёмкий универсальный способ решения либо ортогональное преобразование квадратичной формы (но тут уже надо ориентироваться в другой теме). Сначала разберём одно, затем другое, и даже если вам нужно разделаться лишь с нецентральной линией, постарайтесь не пропускать нижеследующий параграф, поскольку вся информация взаимосвязана:
http://vunivere.ru/work86119
http://mathter.pro/angem/3_8_privedenie_uravneniya_k_kanonicheskomu_vidu.html