Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

1. Магнитных монополей не существует.
2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Электромагнитная теория Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

В 60-х гг. XIX в. английский физик Д. К. Максвелл развил теорию М. Фарадея об электромагнитном поле. Так появилась теория электромагнитного поля Максвелла.

Данная теория создана только в отношении магнитных и электрических полей, успешно объясняя большинство электромагнитных явлений.

Суть электромагнитной теории Максвелла

Согласно закону Фарадея, какое-либо изменение магнитного потока, сцепленного с контуром, провоцирует возникновение электродвижущей силы (ЭДС) индукции. Следствием этого становится появление индукционного тока.

Исходя из этого следует, что возникновение ЭДС электромагнитной индукции будет возможным и в неподвижном контуре, который находится в переменном магнитном поле. При этом ЭДС в любой цепи появится только если в ней на носителей тока воздействуют сторонние силы (неэлектростатического происхождения).

Такие сторонние силы не имеют отношения ни к тепловым, ни к химическим процессам в контуре. Их появление также невозможно объяснить силами Лоренца, так как они не действуют на неподвижные заряды. Максвелл предложил гипотезу о магнитном поле. Согласно данной гипотезе, любое переменное магнитное поле возбуждает электрическое в окружающем пространстве. Это поле и становится причиной появления в контуре индукционного тока.

Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором возникает ЭДС, имеет второстепенное значение, представляя собой только лишь прибор, обнаруживающий поле. Электрическое поле, возбуждаемое магнитным, как и оно само, является вихревым. Любое изменение электрического поля должно способствовать появлению вихревого магнитного поля в окружающем пространстве.

Максвелл ввел в рассмотрение такое понятие, как ток смещения. Этот ток способен создавать магнитное поле в окружающем пространстве. Согласно уравнениям Максвелла, источниками электрополя могут быть или электрические заряды, или магнитные поля, изменяющиеся во времени. Такие поля могут возбуждаться:

Готовые работы на аналогичную тему

• переменными электрическими полями;
• движущимися электрозарядами (электрическими токами).

Уравнения Максвелла не являются симметричными относительно магнитного и электрического полей. Это объясняется существованием в природе электрических зарядов и отсутствием магнитных. В стационарных случаях, если магнитное и электрическое поля во времени не изменяются, в качестве непосредственных источников электрического поля выступают только электрозаряды. При этом источниками магнитного поля выступят в этом случае только токи проводимости.

В этой ситуации магнитное и электрическое поля будут независимыми друг от друга. Это позволяет отдельно изучать постоянные магнитные и электрические поля. Уравнения Максвелла считаются наиболее общими уравнениями для магнитных и электрических полей в покоящихся средах. В электромагнетизме им отводится такая же важная роль, как законам Ньютона в механике.

Согласно уравнениям Максвелла, переменное магнитное поле будет всегда взаимосвязано с электрическим полем, порождаемым им. При этом переменное электрополе всегда взаимосвязано с порождаемым им магнитным. Таким образом, магнитное и электрическое поля неразрывно связаны и участвуют в образовании единого электромагнитного поля.

К электромагнитному полю может применяться только принцип относительности Эйнштейна. Это объясняется несовместимостью факта распространения электромагнитных волн в вакууме с одинаковой скоростью во всех системах отсчета с принципом относительности Галилея.

Уравнения Максвелла для электромагнитной теории

Уравнения Максвелла представляют систему уравнений в интегральной или дифференциальной форме с целью описания электромагнитного поля и его связи с электрозарядами, а также токами в сплошных средах и вакууме.

Уравнения, которые сформулировал Максвелл, возникли как следствие серии важных экспериментальных открытий, сделанных в 19 в. В 1820 г. Г. Х. Эрстед сделал открытие, согласно которому гальванический ток, пропускаемый через провод, провоцирует отклонение магнитной стрелки компаса.

В том же году было экспериментально получено выражение для порождаемой током магнитной индукции (появление закона Био-Савара). А. Амперу удалось обнаружить также, что между двумя проводниками, по которым пропускается ток, возникает взаимодействие на расстоянии. Ученый вводит термин «электродинамический» и выдвигает гипотезу о связи природного магнетизма и существования в магните круговых токов.

Воздействие тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело Фарадея к идее о существовании обратного влияния магнита на токи. После долгих экспериментов, в 1831 г. он делает следующее открытие: перемещающийся около проводника магнит порождает в нем электрический ток. Данное явление ученый называет электромагнитной индукцией. Фарадей вводит понятие «поля сил». Это некоторая среда, которая находится между токами и зарядами. Рассуждения Фарадея носили скорее качественный характер, но при этом существенно повлияли на исследования Максвелла.

Проведя анализ известных экспериментов, Максвелл получает систему уравнений для магнитного и электрического полей. В 1855 г. в статье о силовых линиях Фарадея ученый впервые представил систему уравнений электродинамики в дифференциальной форме, не используя понятие «ток смещения». Такая система уравнений давала описание всех известных к тому времени экспериментальных данных. При этом она не позволяла связать между собой токи и заряды и предсказать электромагнитные волны.

Дифференциальные уравнения Максвелла для электромагнитной теории

Уравнения Максвелла представляют в векторной записи систему из четырех уравнений. Эта система сводится в компонентном представлении к восьми линейным дифференциальным уравнениям в частных производных 1-го порядка для 12 компонент четырех векторных функций: $D$, $E$, $H$, $B$:

1. электрозаряд представляет источник электрической индукции: $\Delta D=4\pi p$ (закон Гаусса);
2. изменение магнитной индукции провоцирует порождение вихревого электрического поля: $\Delta E=-(\frac
   )$ (закон индукции Фарадея);

электроток и изменение электрической индукции участвуют в порождении вихревого магнитного поля: $\Delta H=j+\frac