Уравнения максвелла для гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея ξ=dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению элек­тродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Сле­довательно, возникновение э.д.с. электро­магнитной индукции возможно и в непод­вижном контуре, находящемся в перемен­ном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического про­исхождения (см. § 97). Поэтому возника­ет вопрос о природе сторонних сил в дан­ном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с хи­мическими процессами в контуре; их воз­никновение также нельзя объяснить сила­ми Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнит­ное поле возбуждает в окружающем про­странстве электрическое поле, которое

и является причиной возникновения ин­дукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в ко­тором появляется э.д.с., играет второсте­пенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.

первое уравнение Максвелла утверждает, что изменения электрического поля порождают вихревое магнитное поле.

Второе уравнен ие Максвелла выражает закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС в любом замкнутом контуре равна скорости изменения (т. е. производной по времени) магнитного потока. Но ЭДС равна касательной составляющей вектора напряженности электрического поля Е, помноженной на длину контура. Чтобы перейти к ротору, как и в первом уравнении Максвелла, достаточно разделить ЭДС на площадь контура, а последнюю устремить к нулю, т. е. взять маленький контур, охватывающий рассматриваемую точку пространства (рис. 9,в). Тогда в правой части уравнения будет уже не поток, а магнитная индукция, поскольку поток равен индукции, помноженной на площадь контура.
Итак, получаем: rotE = — dB/dt.
Таким образом, вихревое электрическое поле порождается изменениями магнитного, что и подано на рис. 9,в и представлено только что приведенной формулой.
Третье и четвертое уравнения Максвелла имеют дело с зарядами и порождаемыми ими полями. Они основаны на теореме Гаусса, утверждающей, что поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.

На уравнениях Максвелла основана целая наука — электродинамика, позволяющая строгими математическими методами решить множество полезных практических задач. Можно рассчитать, например, поле излучения различных антенн как в свободном пространстве, так и вблизи поверхности Земли или около корпуса какого-либо летательного аппарата, например, самолета или ракеты. Электродинамика позволяет рассчитать конструкцию волноводов и объемных резонаторов — устройств, применяющихся на очень высоких частотах сантиметрового и миллиметрового диапазонов волн, где обычные линии передачи и колебательные контуры уже непригодны. Без электродинамики невозможно было бы развитие радиолокации, космической радиосвязи, антенной техники и многих других разделов современной радиотехники.

Ток смещения

ТОК СМЕЩЕ́НИЯ, величина, пропорциональная скорости изменения переменного электрического поля в диэлектрике или вакууме. Название «ток» связано с тем, что ток смещения, так же как и ток проводимости, порождает магнитное поле.

При построении теории электромагнитного поля Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу (впоследствии подтвержденную на опыте) о том, что магнитное поле создается не только движением зарядов (током проводимости, или просто током), но и любым изменением во времени электрического поля.

Понятие ток смещения введено Максвеллом для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем.

В соответствии с теорией Максвелла, в цепи переменного тока, содержащей конденсатор, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, какое создавал бы ток, (названный током смещения), если бы он протекал между обкладками конденсатора. Из этого определения следует, что J_см = J (т. е., численные значения плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны), и, следовательно, линии плотности тока проводимости внутри проводника непрерывно переходят в линии плотности тока смещения между обкладками конденсатора. Плотность тока смещения j_см характеризует скорость изменения электрической индукции D во времени:

Ток смещения не выделяет джоулевой теплоты, его основное физическое свойство — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Вихревое магнитное поле создается полным током, плотность которого j, равна сумме плотности тока проводимости и тока смещения ?D/?t. Именно поэтому для величины?D/?t и было введено название ток.

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d 2 s/dt 2 + ω₀ 2 s = 0 или

(1)

где две точки сверху означают двукратное дифференцирование по времени. Колебания гармонического осциллятора есть важный пример периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений настолько малых, что можно было бы элементы контура считать линейными).

Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебанияминазывают движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, x_m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частотаколебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ₀ называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Уравнение гармонических колебаний

Уравнение (1)

дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде

дважды продифференцируем его по времени:

Видно, что выполняется следующее соотношение:

(2)

которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) — дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и j₀); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты

(4.1)

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

Убедимся в этом, сложив уравнения системы (4.1)

Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:

(4.2)

Можно найти такие величины А и φ0 , чтобы удовлетворялись уравнения

(4.3)

Рассматривая (4.3) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:

Подставляя (4.3) в (4.2), получим:

Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω

Определение частоты тона (звука определенной высоты биений эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

максвелла уравнения

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

1. Краткая история

2. Каноническая форма

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

6. Алгебраические Максвелла уравнения

7. Материальные уравнения

8. Граничные условия

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

13. Единственность решений Максвелла уравнений

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

15. Максвелла уравнения в различных системах единиц

Максвелла уравнения — ур-ния, к-рым подчиняется (в пределах применимости классической ыакроскопич. электродинамики, см. Электродинамика классическая), электромагнитное поле в вакууме и сплошных средах.

1. Краткая история

Установлению M. у. предшествовал ряд открытий законов взаимодействий заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в частности, законов Кулона, Био — Савара, Ампера). В 1831 M. Фарадей (M. Faraday) открыл закон эл—магн. индукции и примерно в то же время ввёл понятие электрич. и магн. полей как самостоят, физ. субстанций. Опираясь на фарадеевское представление о поле и введя ток смещения, равнозначный по своему магн. действию обычному электрич. току, Дж. К. Максвелл (J. С. Maxwell, 1864) сформулировал систему ур-ний, названную впоследствии ур-ниями Максвелла. M. у. функционально связывают электрич. и магн. поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма. Впервые о M. у. было доложено на заседании Лондонского Королевского общества 27 окт. 18(34. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогат. механич. моделям «эфира», но уже в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) эл—магн. поле рассматривалось как самостоят, физ. объект. Физ. основа M. у.- принцип близкодействия, утверждающий, что передача эл—магн. возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние Матем. аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ, представленный в инвариантной форме через кватернионы Гамильтона. Сам Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в матем. оформлении идей Фарадея.

2. Каноническая форма

Канонич. форма записи, принятая ныне, принадлежит Г. Герцу (H. Hertz) и О. Хевисайду (О. Heaviside) и основана на использовании не кватернионных, а векторных полей: напряжённости электрического поля E, напряжённости магнитного поля H, векторов электрической индукции D и магнитной индукции В. M. у. связывают их между собой, с плотностью электрического заряда и плотностью электрического тока J, к-рые рассматриваются как источники:

Здесь использована Гаусса система единиц (о записи M. у. в др. системах см. в разделе 15). Входящие в (1) — (4) величины E, D, j являются истинными, или полярными, векторами (а величина r — истинным скаляром), поля H к В — псевдовекторами, или аксиальными векторами. Все эти величины предполагаются непрерывными (вместе со всеми производными) ф-циями времени t и координат Следовательно, в ур-ниях (1) — (4) не учитывается ни дискретная структура электрич. зарядов и токов, ни квантовый характер самих полей. Учёт дискретности истинных источников может быть произведён даже в доквантовом (классич.) приближении с помощью Лоренца — Максвелла уравнений.

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

Используя Гаусса — Остроградского формулу и С такса формулу, ур-ниям (1) — (4) можно придать форму интегральных:

Криволинейные интегралы в (1a), (2a) берутся по произвольному замкнутому контуру (их наз. циркуляция-ми векторных полей), а стоящие в правых частях поверхностные интегралы — по поверхностям, ограниченным этими контурами (опирающимся на них), причём направление циркуляции (направление элемента контура) связано с направлением нормали к S (вектор) правовинтовым соотношением (если в качестве исходного выбрано пространство с правыми системами координат). В интегралах по замкнутым поверхностям (S) в (3а), (4а) направление вектора элемента площади совпадает с наружной нормалью к поверхности; V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью S.

M. у. в форме (1a) — (4a) предназначаются не только для изучения топологич. свойств эл—магн. полей, но и являются удобным аппаратом решения конкретных задач электродинамики в системах с достаточно высокой симметрией или с априорно известными распределениями полей. Кроме того, в матем. отношении эта система ур-ний содержательнее системы (1) — (4), поскольку пригодна для описания разрывных, нодиффе-ренцируемых распределений полей. Но в отношении физ. пределов применимости обе системы ур-ний равнозначны, т. к. любые скачки полей в макроэлектродинамике должны рассматриваться как пределы микромасштабно плавных переходов, с тем чтобы внутри них сохранялась возможность усреднения ур-ний Лоренца — Максвелла. С этими оговорками резкие скачки можно описывать и в рамках M. у. (1) — (4), прибегая к аппарату обобщённых функций.

Наконец, M. у. в интегральной форме облегчают физ. интерпретацию MH. эл—магн. явлений и поэтому нагляднее сопоставляются с теми экспериментально установленными законами, к-рым они обязаны своим происхождением. Так, ур-ние (1a) есть обобщение Био — Савара закона (с добавлением к току максвелловского смещения тока).

Ур-ние (2a) выражает закон индукции Фарадея; иногда его правую часть переобозначают через «магн. ток смещения»

где— плотность «магн. тока смещения», Ф В — магн. поток. Ур-ние (За) связывают с именем Гаусса , установившим соленоидальность поля В, обусловленную отсутствием истинных магн. зарядов. Впрочем вопрос о существовании магнитных монополей пока остаётся открытым. Но соответствующее обобщение M. у. произведено (Хевисайд, 1885) на основе принципа двойственной симметрии M. у. (см. в разделе 9), для чего в (2) и (2a) наряду с магн. током смещения вводится ещё и «истинный» магн. ток (процедура, обратная проделанной когда-то Максвеллом с электрич. током в первом ур-нии), а в ур-ние Гаусса (3), (За) — магн. заряд

где — плотность магн. заряда. Фактически все экспериментальные установки для регистрации ожидаемых магнитных монополей основаны на этом предположении. Наконец, ур-ние (4a) определяет поле свободного электрич. заряда; его иногда называют законом Кулона (Ch. A. Coulomb), хотя, строго говоря, оно не содержит утверждения о силе взаимодействия между зарядами, да и к тому же справедливо не только в электростатике, но и для систем с произвольным изменением поля во времени. На тех же основаниях иногда и ур-нпе (Ia) связывают с именем Ампера (A. Ampere).

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

Совокупность M. у. (1) — (4) составляет систему из восьми (двух векторных и двух скалярных) линейных дифференц. ур-ний 1-го порядка для четырёх векторов Источники (скаляри вектор) не могут быть заданы произвольно; применяя операцию к ур-нию (1) и подставляя результат в (4), получаем:

или в интегральной форме:

Это ур-ние непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда для замкнутых изолнров. областей,- один из фундам. физ. принципов, подтверждаемых в любых экспериментах.

Ур-ния (1) — (4) распадаются на два самостоят, «блока»: ур-ния (1) и (4), содержащие векторы и источники и ур-ния (2) и (3) — однородные ур-ния для не содержащие источников. Ур-ння (2) и (3) допускают получение общего решения, в к-ромвыражаются через т. H. потенциалы электромагнитного поляПри этом ур-ние (3) «почти следует» из (2), т. к. операция (у), применённая к (2), даёт что отличается от (3) только константой, определяемой нач. условиями. Аналогично ур-ние (4) «почти следует» из (1) и ур-ния непрерывности (5).

Система M. у. (1) — (4) не является полной: по существу, она связывает 4 векторные величины двумя векторными ур-ниями. Её замыкание осуществляется путём добавления соотношений, связывающих векторы 1-го «блока»с векторами 2-го «блока» Эти соотношения зависят от свойств сред (материальных сред), в к-рых происходят эл—магн. процессы, и наз. материальными ур-ниями (см. раздел 7).

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

В силу линейности системы (1) — (4) для её решений справедлив суперпозиции принцип .Часто оказывается удобным фурье-представление общего решения (1) — (4) как ф-ции времени (см. Фурье преобразование). Записывая временной фактор в виде , для комплексных фурье-амплитуди т. д.) получаем систему ур-ний

Система (1б) — (4б) в нек-ром смысле удобнее (1) — (4), ибо упрощает применение к эл—динамич. системам, обладающим временной дисперсией (см. раздел 7), т. е. зависимостью параметров от частоты

6. Алгебраические Максвелла уравнения

Если распространить (в силу линейности M. у.) фурье-разложение и на зависимость полей от пространственных координат, т. е. представить общее решение ур-ний (1) — (4) в виде суперпозиции плоских волн типа (k — волновой вектор), то для фурье-компонентов нолейk и т. д.) получим систему алгебраич. ур-ний:

Такое сведение M. у. к набору ур-ний для осцилляторов (осцилляторов поля) составляет важный этап перехода к квантовой электродинамике, где эл—магн. поле рассматривается как совокупность фотонов, характеризуемых энергиями и импульсами Однако и в макроэлектродинамике представления (1в) — (4в) оказываются иногда вполне адекватными физ. сущности процессов: напр., при выделении откликов высокодобротных систем (см. Объёмный резонатор) или при изучении «механизма формирования» мод со сложной пространственной структурой из набора плоских волн и т. п. Наконец, M. у. в форме (1в) — (4в) удобны для описания свойств эл—динамич. систем, обладающих не только временной, но и пространственной дисперсией, если последняя задаётся в виде зависимости параметров от волнового вектора k.

7. Материальные уравнения

В макроэлектродинамике материальные связи, характеризующие эл—магн. свойства сред, вводятся феноменологически; они находятся либо непосредственно из эксперимента, либо на основании модельных представлений. Существуют два способа описания: в одном векторы E и H считаются исходными и материальные ур-ния задаются в виде D = D(E , H) и В = В( Е,Н), в другом — за исходные берутся векторы 2-го «блока» E и В, и соответствующие материальные связи представляются иначе: D = D(E,В), H= H(E, В). Оба описания совпадают для вакуума, где материальные уравнения вырождаются в равенства D = E и B = H.

Рассмотрим простейшую модель среды, характеризуемую мгновенным, локальным поляризац. откликом на появляющиеся в ней поля E и H. Под действием поля E в такой среде возникает электрич. поляризация (см. Поляризации вектор), а под действием поля H — магн. поляризация . Чаще её наз. намагниченностью и обозначают М.

Материальные ур-ния для таких сред имеют вид

При этом индуцированные в среде электрич. заряды наз. связанными или поляризац. зарядами с плотностью , а токи, обусловленные их изменениями,- поляризац. токами с плотностью:

Эти понятия были перенесены и на магн. поля, что можно выразить в виде системы ур-ний, аналогичной

и только потом выяснилось, что истинными источниками намагничивания среды оказались электрич. токи , а не магн. заряды. Поэтому терминология сложилась на основе физически некорректной системы

тогда как следовало бы принять беззарядовые ур-ния

что равносильно замыканию исходных M. у. (1) — (4) с помощью материальных связей

Из (6) и (7a) следует, что 2-й вариант представления материальных соотношений, в к-ром постулируются в качестве исходных векторы E и B, физически предпочтительнее.

В модели Лоренца — Максвелла усреднение микрополя Нмикро, произведённое с учётом вклада со стороны индуциров. полей, приводит к ур-ниям (9) и соответственно = В. Однако обычно параметры сред вводятся с помощью ур-ний (7), что облегчает двойственную симметризацию ф-л (подробнее см. в разделе 9). Напр., скалярные восприимчивости сред (c e , c m ) определяются соотношениями

Простейшие модели сред характеризуются пост, значениямиВ случае вакуума0.

Классификация разл. сред ооычно основывается на материальных ур-ниях типа (10) и их обобщениях. Если проницаемости e и m не зависят от полей, то M. у. (1) — (4) вместе с материальными ур-ниями (10) остаются линейными, поэтому о таких средах говорят как о линейных средах. При наличии зависимостейсреды наз. нелинейными: решения M. у. в нелинейных средах не удовлетворяют принципу суперпозиции. Если проницаемости зависят от координат то говорят о неоднородных средах, при зависимости от времени — о нестац попарных средах (иногда такие эл—динамич. системы наз. параметрическими). Для анизотропных сред скаляры e, m в (10) заменяются на тензоры: (по дважды встречающимся индексам производится суммирование). Важное значение имеют также эффекты запаздывания и нелокальности отклика среды на внеш. поля.

Значение индуциров. поляризации Р е , напр, в момент г, может определяться, вообще говоря, значениями полей во все предыдущие моменты времени, т. е.

что при преобразовании Фурье по времени приводит к зависимости [соответственноi]. Такие среды наз. средами с временной (частотной) дисперсией или просто диспергирующими средами. Аналогичная связь устанавливается и для нелокальных взаимодействий, когда отклик в точке г зависит от значения полей, строго говоря, во всех окружающих точкахно обычно всё-таки в пределах нек-рой конечной её окрестности: При преобразовании Фурье по г это приводит к появлению зависимостей такие среды наз. средами с пространственной дисперсией (см. Дисперсия пространственная).

В проводящих средах входящая в M. у. (1) — (5) плотность тока состоит из двух слагаемых: одно по-прежнему является сторонним токомобусловленным заданным перемещением электрич. зарядов под действием сторонних сил (обычно неэлектрич. происхождения), а другое — током проводимостизависящим от полей, определяемых системой M. у., и связанным с ними материальными ур-ниями вида В простейшем случае эта зависимость сводится к локальному Ома закону,

где — электропроводность (проводимость) среды. Иногда в (11) вводят обозначение, благодаря к-рому различают системы с заданными токами и системы с заданными полями (напряжениями). Для синусоидальных во времени полей, подчинённых ур-ниям (1б) — (4б) и материальным связям (10) и (11), вводится комплексная диэлектрич. проницаемость, объединяющая (10) и (11),, мнимая часть к-рой обусловлена проводимостью и определяет диссипацию энергии эл—магн. поля в среде. По аналогии вводится комплексная магн. проницаемость, мнимая часть к-рой обусловливает потери, связанные с перемагничиванием среды. Комплексные проницаемости в общем случае зависят от частоты w и волнового вектораэти зависимости не могут быть произвольными: причинности принцип связывает их действительные и мнимые части Крамерса — Кронига соотношениями.

В общем случае вид материальных ур-ний зависит также и от системы отсчёта, в к-рой эти ур-ния рассматривают. Так, если в неподвижной системе К среда характеризуется простейшими ур-ниями (10), то в инер-циальной системе К’ , движущейся относительно К с пост, скоростью и, появляется анизотропия:

где индексыобозначают продольные и поперечные ксоставляющие векторов. В рамках алгебраич. M. у. (1в) — (4в) материальные ур-ния (12) могут быть переписаны в виде

что можно трактовать как наличие временной и пространственной дисперсии. Исследование процессов с материальными связями типа (12) составляет предмет электродинамики движущихся сред. Заметим, что хотя характеристики е и m удобно симметризуют материальные ур-ния, их введение не является непременным условием замыкания M. у. Соответствующей перенормировкой допустимо свести описание магн. поля к одно-векторному, т. е. сделать но при этом даже для изотропной среды диэлектрич. проницаемость становится тензором, она различна для вихревых и потенциальных полей. Физически это связано с неоднозначностью модельного представления диполь-ных моментов, во всяком случае приони могут равноправно интерпретироваться и как зарядовые, и как токовые.

8. Граничные условия

Поскольку M. у. справедливы для любых (в рамках применимости макроэлектродинамики) неоднородных сред, то в областях резкого изменения их параметров иногда можно игнорировать тонкую структуру распределения полей в переходном слое и ограничиться «сшиванием» полей по разные стороны от него, заменяя тем самым переходный слой матем. поверхностью — границей, лишённой толщины. Если внутри переходной области имелись заряды с объёмной плотностьюили токи с объёмной плотностьюто при сжатии слоя в поверхность сохраняются их интегральные значения ·- вводятся поверхностные заряды r пов и поверхностные токи

— толщина переходного слоя.

Применение M. у. и ур-ния непрерывности приводит к следующим граничным условиям:

Здесь индексы 1 и 2 характеризуют поля по разные стороны от границы, а— единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2. Правила (1г) — (5г) пригодны для перехода через любые поверхности, независимо от того, совпадают ли они с границами раздела сред или проходят по однородным областям, поэтому их иногда наз. поверхностными M. у.

Иногда граничные условия (1г) — (5г) порождают краевые условия, т. е. задают не правила перехода через границу, а сами поля на ней. Напр., внутри идеального проводника в силу (11) (иначе возник бы ток неограниченной плотности), поэтому на границе раздела диэлектрик — идеальный проводник в согласии с (2г)Такие границы наз. идеальными электрич. стенками. Аналогично вводится понятие идеальной магн. стенки, на к-рой Если структура полей по одну сторону от границы универсальна, т. е. не зависит от распределения полей по др. сторону, то краевые условия могут состоять в задании не самих полей, а лишь связей между ними, напр. где Z — нек-рая скалярная или тензорная ф-ция координат границы (— тангенциальный компонент). К условиям такого рода относится, в частности, Леонтовича граничное условие для синусоидально меняющихся во времени полей на поверхности хороших проводников.

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

Двойственная симметрия M. у. имеет место для любой формы их записи. Она состоит в инвариантности M. у. относительно линейных преобразований нолей, производимых по след, правилам:

Здесь— произвольный угл. параметр; в частности, при= О получаются тождественные преобразования, а при — стандартные преобразования перестановочной двойственности (операция ): замена даёт в областях, свободных от источников, новое решение M. у. При этом, однако, оно меняет местами ур-ния

и, следовательно, там, где раньше были распределены электрич. источники, возникают источники магнитные

. Поэтому с точки зрения двойственной симметрии M. у. задание материальных связей в виде представляется вполне удобным. Дуально-симметричные M. у. обладают рядом достоинств, по крайней мере в чисто методич. плане. Так, напр., они симметризуют скачки тангенциальных компонентов магн. и электрич. полей и, если задание ff Tall на поверхности идеальной электрич. стенки эквивалентно заданию поверхностного электрич. тока, то задание Я 1а „ на идеальной магн. стенке сводится к заданию магн. поверхностного тока:

Таким сведением задач с заданнымиполями к задачам с заданными токами широко пользуются в теории дифракции волн, в частности в дифракции радиоволн.

Принцип перестановочной двойственности является представителем класса дискретных преобразований (см. Симметрия ),оставляющих инвариантными M. у. Такого же сорта преобразованиями являются, в частности, операция обращения времени

последовательно осуществляемые комбинации операций

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

Придавая времени t смысл четвёртой координаты и представляя её чисто мнимой величиной (см. Минковского пространство-время ),можно заключить описание электромагнетизма в компактную форму. Эл—магн. поле в 4-описании может быть задано двумя антисимметричными тензорами

где— Леви-Чивиты символ ,лат. индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3. В 4-век-торе тока объединены обычная плотность тока j e и плотность электрич. заряда

аналогично вводят 4-вектор магн. тока.

В этих обозначениях M. у. допускают компактное 4-мерное представление:

Взаимной заменой векторов поля и индукции в ф-лах (13),(14) вводятся тензоры индукции эл—магн. поля

через к-рые также могут быть записаны M. у.:

Любая пара тензорных ур-ний, содержащая в правых частях оба 4-тока (электрич. и мат.), тождественна системе M. у. Чаще используют пару ур-ний (15 а), (18), при этом материальные ур-ния сводятся к функциональной связи между тензорами (последний чаще обозначают через.

Из антисимметрии тензоров поля, индукции и M. у. в форме (17) — (18) следует равенство нулю 4-дивергенций 4-токов:

к-рое представляет собой 4-мерную запись ур-ний непрерывности для электрич. (магн.) зарядов. T. о., 4-векторы токов являются чисто вихревыми, и соотношения (17), (18) можно рассматривать как их представление в виде 4-роторов соответствующих тензоров. Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мерное описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом О) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гипербодич. сигнатура в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и контравариантность).

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

Все экспериментально регистрируемые эл—динамич. явления удовлетворяют относительности принципу .Вид M. у. сохраняется при линейных преобразованиях, оставляющих неизменным интервал и составляющих 10-мерную Пуанкаре группу: 4 трансляции, 3 пространственных (орто-) поворота и 3 пространственно-временных (орто-хроно-) поворота, иногда называемых ло-ренцевыми вращениями. Последние соответствуют перемещениям системы отсчёта вдоль осей x a с пост, скоростямиВ частности, для получается простейшая разновидность Лоренца преобразований:

, где Соответственно поля преобразуются по правилам:

Релятивистски-ковариантная запись M. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты электромагнитного поля ).Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты:

В-третьих, это потенциальные инварианты:

где— магн. потенциалы (получающиеся из А е и преобразованием перестановочной двойственности), источниками к-рых являются магн. токи j m и заряды. И, наконец, многочисл. коыбиниров. инварианты типаи им подобные. Число таких комбиниров. инвариантов (квадратичных, кубичных и т. д.) по полям н источникам неограниченно.

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

M. у. могут быть получены из наименьшего действия принципа, т. е. их можно совместить с Эйлера — Лаг-ранжа уравнениями, обеспечивающими вариационную акстремальность ф-ции действия:

здесь — лагранжиан ,являющийся релятивистски-инвариантной величиной; интегрирование ведётся по 4-мерному объёму V, (t 2 — t 1 ) с фиксиров. границами. В качестве обобщённых координат принято обычно использовать потенциалы А a и f. Поскольку лагран-жев формализм должен давать полное (замкнутое) динамич. описание системы, то при его построении нужно принимать во внимание материальные ур-ния. Они фигурируют как зависимости связанных зарядов и токов от полей В и Е·

В результате лагранжиан принимает вид инвариантной комбинации полей, потенциалов и источников:

А ур-ния Эйлера — Лагранжа для нек-рой обобщённой координаты получают приравниванием нулю соответствующих вариационных производных:

Для приходим к (4), для- к ур-нию (1) в соответствующих обозначениях. Вариационный подход позволяет придать теории универсальную форму описания, распространяемую и на описания динамики любых взаимодействий, даёт возможность получать ур-ния для комбиниров. динамич. систем, напр, электромеханических. В частности, для систем с сосредоточенными параметрами, характеризуемых конечным числом степеней свободы, соответствующие ур-ния наз. ур-ниями Лагранжа — Максвелла.

13. Единственность решений Максвелла уравнений

Различают теоремы единственности для стационарных и нестационарных процессов. Условия единственности нестационарных решений извлекаются из Пойн-тинга теоремы, где источники считаются заданными ф-циями координат и времени. Если бы они порождали два разл. поля, то разность этих полей в вакууме (или в любой линейной материальной среде) вследствие принципа суперпозиции была бы решением однородных M. у. Для обращения этой разности в нуль и, следовательно, получения единств, решения достаточно удовлетворить след, трём условиям. 1) На поверхности S, окружающей область V, где ищется поле, должны быть заданы тангенциальные составляющие поля Е тан или поля Н тан либо соотношения между ними импедансного типа: (п — нормаль к S) со значениями Z, исключающими приток энергии извне. К таковым относятся, в частности, условия излучения (см. Зоммерфельда условия излучения ),к-рым удовлетворяют волны в однородной среде на больших расстояниях от источников. Во всех случаях поток энергии для разностного поля вообще исчезает или направлен наружу (из объёма). 2) В нач. момент времени должны быть заданы все поля всюду внутри V. 3) Плотность энергии электромагнитного поля HB) должна быть положительна (вакуум, среды с . Эта частная теорема единственности обобщается на среды с нелокальными связями, а также на нек-рые виды параметрич. сред. Однако в нелинейных средах, где принцип суперпозиции не работает, никаких общих утверждений о единственности не существует.

В стационарных режимах нач. условия выпадают, и теоремы единственности формулируются непосредственно для установившихся решений. Так, в электростатике достаточно задать все источники r e ст , все полные заряды на изолиров. проводниках или их потенциалы, чтобы при соответствующих условиях на бесконечности (нужное спадание поля) решение было бы единственным. Аналогичные теоремы устанавливаются для магнитостатики и электродинамики пост, токов в проводящих средах.

Особо выделяется случай синусоидальных во времени процессов, для к-рых формулируют след, признаки, достаточные для получения единств, решения: 1) задание источников задание E тан или Н тан на ограничивающей объём V поверхности S или соответствующих импедансных условий, обеспечивающих отсутствие потока вектора Пойнтинга внутрь V; 3) наличие малого поглощения внутри V или малой утечки энергии через S для исключения существования собств. колебаний на частоте

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

Классификация приближений M. у. обычно основывается на безразмерных параметрах, определяющих и критерии подобия для эл—магн. полей. В вакууме таким параметром является отношение , где — характерный масштаб изменения полей (либо размер области, в к-рой ищется решение), — характерный временной масштаб изменения полей.

а) а = 0 — статич. приближение, статика.

Система M. у. распадается на три.

Материальная связь в простейшем случае имеет вид . Это система M. у. для электростатики, в к-рой источниками служат заданные распределения плотности электрич. заряда и сторонней поляризации . В однородной среде эл—статич. потенциал f определяется Пуассона уравнением

Уравнения Максвелла

К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними. В частности, были известны:

• закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами,
• теорема Гаусса, исключающая возможность существования в природе изолированных магнитных зарядов (магнитных монополей),
• закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами (см. такжеЗакон Ампера и Открытие Эрстеда), и
• законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках (см. такжеПравило Ленца).

Эти четыре группы законов и были обобщены Джеймсом Клерком Максвеллом, которому удалось объединить их в стройную систему (получившую его имя), состоящую из четырех уравнений и исчерпывающим образом описывающую все измеримые характеристики электромагнитных полей и электрических токов, которая названа его именем. Прежде всего, Максвеллу мы обязаны строгим математическим описанием всех известных законов электромагнетизма (Фарадей, например, вообще формулировал все открытые им законы исключительно в словесной форме). Во-вторых, в сформулированную им систему Максвелл внес немало принципиально новых идей, отсутствовавших в исходных законах. В-третьих, он придал всем электромагнитным явлениям строгое теоретическое обоснование. И, наконец, в-четвертых, на основе составленной им системы уравнений Максвелл сделал ряд важных предсказаний и открытий, включая предсказание существования спектра электромагнитного излучения.

Давайте начнем со второго пункта. Согласно закону Био—Савара, электрический ток, проходящий по проводнику, возбуждает вокруг него магнитное поле. А что если электрический ток протекает не по проводнику, а через плоский конденсатор? Фактически, электроны не перескакивают с одной пластины на другую, однако ток всё равно проходит через конденсатор, поскольку электроны одной пластины взаимодействуют с электронами другой пластины, находясь в непосредственной близости друг от друга, и, в силу взаимного отталкивания, передают друг другу колебания (так называемые осцилляции) переменного тока, обеспечивая, тем самым, протекание тока через, казалось бы, очевидный разрыв в электрической цепи.

Максвелл понял, что закон Ампера в этой ситуации не объясняет прохождение тока. Он также понял, что, хотя заряды с пластины на пластину не переходят, электрическое поле (сила, которая возникла бы, если бы мы поместили между пластинами воображаемый электрический заряд) увеличивается. Исходя из этого он постулировал, что в мире электромагнитных явлений изменяющееся электрическое поле может играть ту же роль в порождении магнитного поля, что и электрический ток. Максвелл ввел принципиально новое понятие тока смещения, добавив его в качестве отдельного слагаемого в обобщенный закон Ампера — первое уравнение Максвелла. И с тех пор наличие токов смещения раз за разом безоговорочно подтверждается экспериментальными данными.

Внеся столь важное дополнение в первое из четырех уравнений, Максвелл на основании составленной им системы уравнений чисто математически вывел фантастическое по тем временам предсказание: в природе должны существовать электромагнитные волны, формирующиеся в результате колебательного взаимодействия электрических и магнитных полей, и скорость их распространения должна быть пропорциональна силе между зарядами или между магнитами. Решив составленное им дифференциальное волновое уравнение, Максвелл с удивлением обнаружил, что скорость распространения электромагнитных колебаний совпадает со скоростью света, к тому времени уже определенной экспериментально. Это означало, что столь знакомое всем явление, как свет, представляет собой электромагнитные волны! Более того, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн во всем известном спектре — от радиоволн до гамма-лучей. Таким образом, доскональное теоретическое исследование природы электричества и магнетизма привело к открытию, принесшему человечеству неисчислимые блага — от микроволновых печей до рентгеновских установок в стоматологических клиниках.

Шотландский физик, один из самых выдающихся теоретиков XIX столетия. Родился в Эдинбурге, происходит из старинного дворянского рода. Учился в Эдинбургском и Кембриджском университетах. Первую научную статью (о методе начертания идеального овала) опубликовал в возрасте 14 лет. Максвелл занимал должность профессора кафедры экспериментальной физики Кембриджского университета, когда в 48 лет безвременно скончался от рака.

Первым большим теоретическим исследованием Клерка Максвелла, как его часто именуют, стала работа по теории цвета и цветного зрения. Он первым показал, что вся гамма видимых цветов может быть получена путем смешения трех основных цветов — красного, желтого и синего; объяснил природу дальтонизма (дефекта зрения, приводящего к нарушению восприятия цветовой гаммы) врожденным или приобретенным дефектом рецепторов сетчатки глаза. Он первым изобрел реально работающий цветной фотоаппарат (с использованием тартановой ленты в качестве светочувствительного материала) и продемонстрировал его работу на собрании Лондонского королевского общества в 1861 году. Как бы между делом тщательно рассчитал возможную структуру колец Сатурна и доказал, что они не могут быть жидкими, как ранее считалось, а должны состоять из твердых частиц.

Максвелл внес важный вклад в развитие многих отраслей естествознания. Но, пожалуй, наиважнейшее его достижение состоит в развитии теории электромагнетизма и постановке ее на прочную математическую основу. Заниматься этим вопросом Максвелл начал в середине 1850-х годов. По иронии судьбы Максвелл твердо верил в существование светоносного эфира, и все свои уравнения выводил исходя из того, что эфир существует, и в нем возбуждаются электромагнитные волны, имеющие, как следствие, конечную скорость распространения. До результатов опыта Майкельсона—Морли, опровергающих теорию существования эфира, Максвелл не дожил. (Как не дожил он и до безоговорочного признания своей теории. Окончательно волновая природа света и правильность уравнений Максвелла были подтверждены опытами Герца лишь в 1888 году, а до того времени большинство физиков, включая самого Герца, с недоверием относились к столь смелой теории. — Примечание переводчика.) К счастью для него и для нас, теорию Максвелла этот опыт не отменил, поскольку уравнения Максвелла выполняются независимо от наличия или отсутствия эфира.

Наконец, Максвелл внес огромный вклад в становление статистической механики, найдя распределение молекул газа по скоростям, ставшее краеугольным камнем молекулярно-кинетической теории. Наконец, сам же Максвелл и подметил несовершенство этой теории, сформулировав парадокс, позже получивший название демона Максвелла.

Великолепная математическая модель Максвелла, «вынудившая» Эйнштейна «изобрести» относительность Времени, —
горестно подтверждает вдвоём оксюморон Прудона:
«Заблуждения — ступени науки.»

Поразительно тупо . молчание всех виденных мною учебников про нулевое поле Максвелла между одинаково заряженными плоскостями, — дальнодействующими!