Уравнения максвелла не инвариантны относительно преобразований галилея

Уравнения максвелла не инвариантны относительно преобразований галилея

Оптика движущихся сред

Как протекают оптические явления в случае движения системы, в которой они происходят? Что происходит если источник света, наблюдатель, или среда, в которой свет распространяется, движутся относительно друг друга? Возможно ли установить движение источника света и воспринимающих свет приборов экспериментально, находясь в этой движущейся системе? Это – общая задача оптики (и электродинамики). Она имеет важное значение, ибо большинство опытов (если не все) протекают в лаборатории, которая, конечно, является движущейся системой (например, относительно звезд).

Вспомним, как обстоит дело в классической механике .

При переходе от одной инерциальной системы к другой координаты преобразуются по формулам

если одна из систем координат («штрихованная») движется вдоль оси x со скоростью v . Скорость тогда Это преобразования Галилея .

Законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Действительно, второй закон Ньютона включает в себя ускорение, а оно одинаково во всех инерциальных системах (что ясно, если продифференцировать два раза по t уравнения Галилея). Однако в неинерциальных системах координат законы Ньютона не выполняются (заметим: силы в понимании Ньютона имеют характер взаимодействия тел) и приходится вводить силы инерции, чтобы 1 и 2 законы Ньютона выполнялись. Эти силы уже не связаны с взаимодействием тел, т.к. других тел попросту нет, а связаны с ускорением системы.

Такие системы, в которых все ускорения обусловлены действием каких-либо тел, называются инерциальными системами. . Физические законы (законы Ньютона) имеют определенный смысл, лишь если указана система отсчета, к которой они отнесены. Законы механики одинаково формулируются для всех инерциальных систем, но формулировка их изменяется, если система координат движется с ускорением относительно инерциальной системы. Таких систем бесконечно много, и никакими механическими опытами нельзя установить преимущество одной инерциальной системы относительно другой. Это и есть принцип относительности классической механики. Ньютон ввел абсолютное пространство, однако наблюдения над механическими процессами не дают возможности выделить такое абсолютное пространство из бесконечной совокупности инерциальных систем. Однако можно опытным путем отличить инерциальную систему от неинерциальной. Опыт Фуко с маятником (Париж,1852г) – первый опыт такого рода. Оказалось – система координат, связанная с Землей – неинерциальная (видно вращение Земли), а система, связанная с Солнцем и звездами – инерциальная, по крайне мере с той точностью, с которой велось определение.

Математическое выражение принципа относительности – инвариантность уравнений Ньютона относительно преобразований Галилея. Экспериментальное обоснование – согласие законов механики Ньютона с опытом.

В электродинамике положение другое

. Уравнения Максвелла – не инвариантны относительно преобразований Галилея. Действительно, там входят первые производные по времени ( ), а значит – если преобразования Галилея верны, то скорость движения системы должна была бы влиять на вид уравнений и, как следствие, на законы электродинамики. Это значит, что можно было бы выявить «абсолютное» движение. (Если электрический заряд покоится в такой «абсолютно неподвижной» системе, то имеется только электростатическое поле, а магнитного поля нет). Но эксперименты (Рентгена и Эйхенвальда, Троутона и Нобля и др) показали, что при определении магнитного поля имеет значение только относительное движение электрических зарядов и измерителя поля. Невозможно обнаружить абсолютное движение электрических зарядов. Магнитное поле определяется относительным движением зарядов.

Таким образом, оказывается, что с помощью электромагнитных явлений, так же как и с помощью механических, невозможно обнаружить абсолютное движение. В оптике – та же ситуация.

Чтобы примирить противоречия теории с результатами опытов (как оптических, так и электрических) Лоренц (1904г) предложил гипотезу о сокращении движущихся в эфире тел в отношении и ввел свои преобразования координат и времени которые и называются преобразованиями Лоренца . Таким образом, Лоренц создал электродинамику движущихся сред. Однако, он рассматривал введенные им формулы как формальную поправку к преобразованиям Галилея не вкладывая в них глубокий философский смысл.

В 1905 г . появилась работа Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», в которой излагалась специальная теория относительности. Эта работа обобщала все опытные данные и давала истолкование всем известным механическим, электродинамическим и оптическим явлениям.

Эйнштейн обобщил известные опытные факты и сформулировал постулаты теории относительности.

1. Все галилеевы (т.е. инерциальные) системы отсчета эквивалентны между собой. Эта эквивалентность относится не только к механике, но и ко всей физике.

2. В пустоте свет распространяется изотропно. Скорость света является универсальной постоянной.

Эти утверждения, разумеется, содержались в ранее развитых теориях (Лоренц, Пуанкаре). Оригинальность теории Эйнштейна заключается в показе того, что они связаны с более глубоким анализом понятий пространства и времени, Лоренц же вводил свои формулы искусственно. Эйнштейн показал, что сокращение длин, введенное Лоренцом, не носит искусственный характер, а вытекает из анализа понятия одновременности и согласуется с содержанием второго постулата.

Преобразования Лоренца имеют следующий вид.

Пусть – система координат, движущаяся со скоростью v относительно системы x , y , z параллельно оси x . Тогда формулы преобразования координат и времени будут

Как следствие получаем, что понятие одновременности относительно (если события происходят в разных точках пространства), закон преобразования длины отрезка и интервала времени . Имеет место закон сложения скоростей

Как обстоят дела в оптике?

Мы рассмотрим два оптических опыта, целью которых было установить, по каким законам распространяется свет в движущихся телах. Это опыт Физо (1851г) и опыт Майкельсона (1881г). В то время считалось, что преобразования Галилея верны, а все электромагнитные процессы протекают в «мировом эфире». Следовательно, основным вопросом являлся вопрос о влиянии движения тел на эфир. На этот счет существовали разные теории.

1. Теория увлекаемого эфира (Герц). Эфир полностью увлекается материальными телами при их движении. Наблюдения над оптическими явлениями не дают возможность установить «абсолютное» движение системы. Принцип относительности механики переносится на электродинамику (оптику)

2. Теория неподвижного эфира (Лоренц). Эфир не принимает участия в движении тел. Можно выделить абсолютную систему отсчета (эфир) и, наблюдая оптические явления, определить абсолютную скорость системы.

3. Теория частичного увлечения эфира (Френель) – промежуточная между ними.

Проверить эти теории можно только экспериментально.

Этот опыт имел целью определить “коэффициент увлечения” эфира. Схема опыта такова

Вода течет по системе из двух труб. Длина пути луча света по одной трубе l . Скорость течения воды v .

По трубам распространяются световые две волны навстречу друг другу

Скорости распространения этих волн (по и против течению воды)

Здесь – «коэффициент увлечения эфира».

Пройдя путь 2 l , волны приобретут разность фаз

Эксперимент дал , где n – показатель преломления воды. Таким образом, оказывается, что скорость света (в текущей воде) относительно установки не постоянна (зависит от скорости воды), но и не равна сумме скоростей света и воды.

Объяснения результатов опыта Физо (значение коэффициента увлечения).прямо следует из теоремы сложения скоростей теории относительности. Скорость света в воде , скорость воды v . Скорость света относительно установки является суммой этих скоростей:

По результатам опыта Физо (в представлениях того времени, т.е. в предположении существования эфира) – если показатель преломления среды, в которой распространяется свет, равен единице, то эфир не должен увлекаться движущимся телом (например, атмосферой Земли), и в этом случае можно надеяться наблюдать «эфирный ветер». Для обнаружения этого ветра и был предпринят опыт Майкельсона.

Схема интерферометра Майкельсона показана на рисунке. Интерферометр ориентирован так, что одно из его плеч совпадает по направлению с движением Земли. Рассчитаем время прохода светом плеч интерферометра . и .

Скорость света относительно неподвижного эфира равна c . Так как наблюдатель движется относительно эфира со скоростью v , то скорость света относительно наблюдателя c + v (движение вправо на чертеже) и c — v (влево)

Определим теперь Пока свет проходит расстояние l (поперек движения Земли) зеркало успеет переместиться (относительно эфира) на расстояние vt . Откуда

(см. рисунок). Или Решая относительно t получим или . Это – половина времени.

Поворот прибора на 90˚ вызовет изменение разности фаз, и, следовательно, смещение интерференционной картинки на величину (в долях полосы)

Оценим ожидаемый эффект. В одной из установок Майкельсона было l =11м (путь луча был удлинен благодаря системе многократных отражений). (скорость движения Земли 30 км ./сек). Тогда . Точность измерений позволяла заметить смещение на 0.01 полосы. Но смещения не наблюдалось! Значит, «эфир полностью увлекается атмосферой Земли», что противоречит опыту Физо. Эти и подобные им опыты повторялись неоднократно (в том числе и с лазерным источником) и всегда давали отрицательный результат.

Итак: – гипотеза о возможности определить движение по отношению к эфиру не соответствует действительности. Эфир не может служить системой отсчета. В этом – тоже противоречие: с одной стороны эфир – механическая среда, с другой – он лишен основного свойства всякой механической системы – свойства служить системой отсчёта.

Опыт Майкельсона согласуется с постулатами теории относительности.

( G . Sagnac . 1913 г .)

Ускоренное движение (в частности – вращение относительно инерциальной системы отсчета) может быть обнаружено как механическими, так и оптическими методами. Опыт Саньяка доказал возможность экспериментального определения угловой скорости вращения системы для расположенного в ней наблюдателя, то есть возможность определения неинерциальности системы (механический аналог – маятник Фуко).

Опыт Саньяка. Схема опыта показана на рисунке. Здесь * – источник света, Р – фотопластинка, А,В,С –зеркала, D – полупрозрачная пластинка.

Вся конструкция может быть приведена во вращение, тогда интерференционные полосы на фотопластинке смещаются. Рассчитаем это смещение. Пусть (для простоты) свет идет по круговому пути с радиусом r . Тогда один луч «догоняет» фотопластинку и затрачивает время на обход , второй – идет ей навстречу и затрачивает время . Подсчитаем разность времен. .

Решим уравнение относительно . Аналогично . (Так как эффект проявляет себя уже в первом порядке относительно v / c , то можно не принимать во внимание релятивистские эффекты, т.к. они – второго порядка). Разность времен

Если угловая скорость вращения прибора , то , а площадь, описываемая световым лучом, . Тогда

и смещение полос (в долях полосы) будет

.

Опыт показал хорошее совпадение с расчетом.

В 1928 Г . Майкельсон и Гейл определили скорость вращения Земли (роль вращающейся платформы играла Земля, площадь S около 0,2 кв.км, проложено около 2 км труб из которых выкачан воздух). Результат совпал с расчетами.

В 1969г. опыт был повторен Джаваном с использованием кольцевого He — Ne лазера.

Основанные на эффекте Саньяка лазерные интерферометры используются в качестве датчиков угловой скорости, угла поворота и ориентации в пространстве для вращающихся объектов (лазерный гироскоп). Чувствительность гироскопа можно повысить, используя многократные обходы луча по замкнутому контуру, тогда разность времен увеличивается пропорционально числу оборотов. Такая схема реализуется в современных волоконно-оптических интерферометрах. Излучение распространяется внутри волокон, намотанных на цилиндрический стержень (практически использование лазерных гироскопов стало возможным лишь при появлении волоконных световодов, развитие направления началось в 1963г).

Использование многовитковой катушки (волоконная гироскопия) позволяет увеличить эффект Саньяка пропорционально длине волокна (т.е. числу витков) практически не изменяя размеров прибора. Идея была высказана в 1963г. но не было хорошего волокна. Первая демонстрация идеи состоялась только в 1976 г , а создание серийных приборов – в 90-е годы.

Достоинства. Волоконные интерферометры просты, дешевы, компактны. Они имеют среднюю чувствительность – от 15 до 0.001 град/час. Эти приборы используются для навигационных целей – определения широты места по скорости вращения Земли, ими оснащаются подводные лодки, ракеты, самолеты.

Предельная чувствительность волоконно-оптических гироскопов до . Она ограничивается нестабильностью характеристик волокна, рассеянием света в нём, шумами фотоприемника и т.п. Известны уникальные лабораторные образцы гироскопов с чувствительностью до 0.00005 град/час (американские и наши!), которые используются для решения различных фундаментальных задач, в т.ч. – для измерения степени неравномерности вращения Земли, связанной с движением Луны и др. небесных тел, а также со смещением тектонических масс земной коры. Резонаторы лазеров, служащих источником света в таких приборах, сделаны из материалов с очень низким коэффициентом расширения; работа проводится в шахтах, чтобы избежать акустических вибраций и перепадов температуры.

Наряду с оптическими гироскопами в литературе рассматриваются возможности создания гироскопических приборов на основе эффекта Саньяка с использованием волн самой разной природы и разных частотных диапазонов. Поскольку эффект обратно пропорционален длине волны, то увеличения чувствительности можно ожидать с укорочением длины волны. Известны измерения на рентгеновских волнах, на волнах де-Бройля электронов, нейтронов и различных атомов. Однако они (ввиду сложности реализации) серьезной конкуренции оптической гироскопии составить не могут.

Уравнения максвелла не инвариантны относительно преобразований галилея

Концепция современного естествознания

На вопрос о том, в какой среде распространяется это поле, теория Максвелла ответа не давала. Ключевым моментом теории Максвелла являлось то, что уравнения Максвелла были неинвариантны относительно преобразований Галилея. Это означало, что при переходе с помощью преобразований Галилея из одной инерциальной системы отсчета в другую, уравнения меняли свой вид. Это обозначало, что преобразования Галилея нельзя было применять при описании электрических и магнитных явлений.

Строгое математическое доказательство неинвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея достаточно сложно. Поэтому, проиллюстрируем этот факт на простом и наглядном примере. Для этого потребуется вспомнить, какие силы действуют на движущиеся заряды в электрических и магнитных полях.

Пусть два одноименных заряда летят с одинаковой скоростью u в направлении оси (ox), как это показано на рис.12.1. В неподвижной системе отсчета заряды будут создавать электрические и магнитные поля, и, следовательно, будут находиться в полях друг друга. Электрическое поле воздействует на заряд силой Кулона, магнитное — силой Лоренца. Напомним формулы для вычисления этих сил для случая, приведенного на рисунке.

Здесь B1 — магнитная индукция, создаваемая первым зарядом в точке, где находится второй. Сила Кулона для одноименных зарядов всегда является силой отталкивания, а сила Лоренца в данном случае является силой притяжения. Таким образом, в неподвижной системе отсчета величина силы взаимодействия равна: F = FK — FЛ.

Если перейти к системе отсчета, движущейся вдоль оси (ох) со скоростью u вместе с зарядами, то в ней заряды окажутся неподвижными, и сила Лоренца не возникнет. Таким образом, силы взаимодействия зарядов в различных инерциальных системах отсчета окажутся разными. Следовательно и поведение частиц ,их движение во времени, будет разным в зависимости от того, в какой инерциальной системе координат мы рассматриваем это движение. Естественно, что это абсурд и отсюда сделаем вывод, что к движущимся зарядам, законы движения и взаимодействия которых описываются уравнениями Максвелла, нельзя применять принцип относительности Галилея, т.е. преобразования Галилея.

v

q v

O X

Вторым этапом в становлении специальной теории относительности стал опыт А.А.Майкельсона (1852-1931), проведенный в 1881 году. В опыте определялась скорость света в различных движущихся системах отсчета. Уже говорилось, что по теории Максвелла электромагнитные волны должны распространяться со скоростью в вакууме — с. Встал вопрос, в какой инерциальной системе отсчета это происходит. Если таковой считать систему отсчета, связанную с неподвижными звездами, то скорость нашей планеты относительно них u = 30 км/с. Эта скорость большая и сравнимая со скоростью света с.

Майкельсон экспериментально определял скорость света в разных системах отсчета, а именно, он измерял скорость света, идущего в двух противоположных относительно Земли направлениях. В соответствии с преобразованиями Галилея и положениями классической механики, скорости света в этих системах отсчета должны были бы отличатся на величину 2u.

Результаты эксперимента Майкельсона однозначно показали, что скорость света не зависит от выбора системы отсчета и всегда равна с. Т.е. было установлено, что электромагнитные волны во всех инерциальных системах отсчета распространяются с одинаковой скоростью с=3×108 м/с. Эксперименты, подобные опыту Майкельсона повторялись неоднократно со все возрастающей точностью. На сегодняшний день можно утверждать, что скорость в различных системах отсчета одинакова с точностью порядка нескольких мм/с.

В 1904-м году голландский физик Х.А.Лоренц (1853-1928) вывел преобразования для перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую, отличные от преобразований Галилея. Система уравнений Максвелла была инвариантна относительно этих преобразований. Преобразования касались и координат, и времени.

Обозначим координаты и время некоторого события (например положения материальной точки в пространстве) в инерциальной системе отсчета К через x, y, z, t, а в другой инерциальной системе отсчета К’ через x’,y’,z’,t’. Системы отсчета выбраны так, чтобы их координатные сетки начальный момент времени t=t’=0 совпадали, а в дальнейшем система К’ двигалась относительно системы К со скоростью u вдоль ее оси (ox). Преобразования Лоренца имеют вид:

. Сразу можно сказать, что при преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Т.е. преобразования Галилея являются частным случаем преобразований Лоренца при малых скоростях движения.

Анализируя сложившееся положение А.Эйнштейн разработал новую механику больших скоростей, называемую сейчас релятивистской механикой или специальной теорией относительности. В основе этой теории лежат два постулата.

Согласно первому постулату скорость распространения света во всех инерциальных системах координат одинакова и равна скорости распространения света в вакууме — с. Этот постулат утверждает эквивалентность инерциальных систем отсчета относительно скорости света.

Второй постулат заключается в том, что все физические законы и явления формулируются и протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т.е. инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Базируясь на этих постулатах, Эйнштейн разработал теорию движения систем при любых скоростях, вплоть до скоростей света. В рамках теории относительности получены выводы, казалось бы противоречащие законам классической механики. Однако, все выводы этой теории подтверждены экспериментально с высокой точностью.

6.3. Преобразования Лоренца

Для объяснения отрицательного результат опыта Майкельсона — Морли была выдвинута интересная гипотеза. Сначала Дж. Фитцджеральд, а затем (независимо от него) Г.А. Лоренц попытались объяснить результат опыта тем, что эфирный ветер «давит» на тела и сокращает их размеры вдоль направления движения. Если это так, то в формулах для продольного распространения света в интерферометре надо заменить «истинную» длину пути L на некоторую другую величину L_||. Тогда формула для определения времени, затрачиваемого светом при распространении в направлении, параллельном орбитальной скорости Земли, примет вид

Для совпадения времен

достаточно тогда положить

Гипотеза Лоренца — Фитцджеральда казалась искусственной, изобретенной только для объяснения результатов одного эксперимента.

А между тем у физиков появилась еще одна трудность, не связанная с опытом Майкельсона — Морли. К этому времени сформировалась теория электромагнетизма, воплотившаяся в уравнения Максвелла. И оказалось, что уравнения Максвелла не инвариантны относительно преобразований Галилея. Это означало, что с помощью электромагнитного поля, казалось бы, можно сделать то, что не удалось в опытах Майкельсона — обнаружить движение инерциальной системы. Но тогда пришлось бы отказаться от принципа относительности Галилея, который выглядел весьма убедительно. К тому же свет, использованный в опытах Майкельсона-Морли, это частный случай электромагнитного поля.

Поэтому был поставлен вопрос: а как должны выглядеть преобразования координат от одной системы отсчета к другой, чтобы уравнения Максвелла были инвариантными? Ответ дал в 1904 г. Лоренц, и с тех пор эти преобразования называют его именем (хотя они появлялись ранее в работах других ученых — у В. Фохта в 1887 г. и у Дж. Лармора в 1900 г.).

Из уравнений Максвелла следует, в частности, что свет распространяется со скоростью c. Вернемся снова к двум инерциальным системам отсчета (см. рис. 6.1). Одну мы будем считать неподвижной (К-система). Пусть другая (К’-система) движется относительно К-системы с постоянной скоростью V. Для упрощения будем считать, что оси координат обеих систем параллельны, в начальный момент времени начала отсчета 0 и 0′ совпадают, а затем точка 0′ движется со скоростью V вдоль оси x. Пусть в начальный момент времени t = 0 из точки 0 (совпадающей с точкой 0′ ) вдоль оси х излучается световой импульс. Уравнение его движения имеет вид

Таким же должно быть и его уравнение движения относительно системы отсчета К’ :

Это — частный случай инвариантности уравнений Максвелла, но его рассмотрения достаточно, чтобы вывести преобразования Лоренца.

Мы будем рассуждать так же, как и при выводе преобразований Галилея, учитывая все, что успели с тех пор узнать. При преобразованиях Галилея координата x относительно системы отсчета K складывалась из положения начала отсчета системы K’ (величина Vt) и координаты x’. Но сейчас мы уже не будем предполагать инвариантности длин и потому умножим x’ на некий коэффициент γ. Иными словами, мы предполагаем пропорциональность длин в разных системах отсчета, но не их равенство. Тогда координата x какой-либо материальной точки связана с координатой x’ этой же точки соотношением

Коэффициент γ пока неизвестен, а отрезок Vt — расстояние между точками 0 и 0′ в момент времени t, измеряемый по часам системы K.

Если система K’ движется относительно K со скоростью V, то система K движется относительно K’ со скоростью –V. Ввиду равноправности обеих систем отсчета можно написать аналогичную связь между координатами:

Теперь отрезок Vt’ — это расстояние между точками 0 и 0′ в момент времени t’, измеряемый по часам системы K’. Как видно, мы не предполагаем инвариантности интервалов времени, но и не отвергаем такую возможность: если наши уравнения допустят решение

то мы вернемся в лоно классической механики. Как мы увидим, этот вариант не реализуется.

Запишем прямые и обратные преобразования координат так, чтобы в левой и правой частях уравнений стояли координаты и времена, относящиеся к одной системе отсчета. Для этого выразим x через x’, t’ с помощью второго уравнения, подставим это выражение в первое уравнение и найдем оттуда t. Получаем в итоге:

Применим теперь полученные преобразования координат и времени к законам движения светового импульса в системе отсчета K. Подставим найденные выражения для x, t в уравнение движения светового импульса

Чтобы это уравнение имело вид

выражение в скобках должно быть равно единице, то есть

Подставляя выражение для γ в найденные выше преобразования координат и времени, получаем преобразования Лоренца. Их надо дополнить соотношениями

которые в точности совпадают с тем, что было в преобразованиях Галилея. Для получения обратных преобразований достаточно поменять знак у скорости V.

общепринято называть релятивистским фактором (множителем). С учетом этого обозначения преобразования Лоренца, оставляющие инвариантными уравнения теории электромагнетизма, имеют вид:

Обратные преобразования Лоренца имеют вид:

Видно, что в отличие от преобразований Галилея, здесь преобразуются не только пространственные координаты, но и время.