Уравнения максвелла с магнитным монополем

Симметрия уравнений Максвелла и магнитные монополи

Дифференциальная форма уравнений Максвелла

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса			Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля			Не существует магнитных зарядов.
Закон индукции Фарадея			Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
Теорема о циркуляции магнитного поля			Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

· z – плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ – Кл/м³); в интегральной форме был бы заряд q = zV.

· – плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае (для тока, порождаемого одним типом носителей заряда) выражается как j = uz₁, где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, z₁ — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с z); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

· c — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);

· — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

· — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

· — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);

· — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с −2 •А −1 );

Здесь дифференциальный оператор Гамильтона (набла) Ñ= e_x¶/¶x + e_y¶/¶y + e_z¶/¶z, оператор ПуассонаÑÑ= D, при этом:

означает ротор вектора, означает дивергенцию вектора, Ñ .

Приведённые выше уравнения Максвелла ещё не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины E, B, D, H, j и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями: D = εE, B = μH, E = rj (или j= sE); соответственно ε, μ и r (или s=1/r) иногда называют материальными параметрами среды.

Симметрия уравнений Максвелла и магнитные монополи

Сформулированные Максвеллом уравнения классической электродинамики связывают электрическое и магнитное поле с движением заряженных частиц. Эти уравнения почти симметричны относительно электричества и магнетизма. Они могут быть сделаны полностью симметричными, если в дополнение к электрическому заряду и току ввести некий магнитный заряд с объемной плотностью распределения z_m и магнитный ток с плотностью j_m:

Название	Без магнитных монополей	С магнитными монополями
Теорема Гаусса:	div D =
Магнитный закон Гаусса
Закон индукции Фарадея:	rot E =
Закон Ампера (с током смещения):

Уравнения из правой колонки переходят в классические уравнения при подстановке и , то есть если в рассматриваемой области пространства отсутствуют магнитные заряды.

Поль Дирак создал квантовую теорию взаимодействия электрического заряда e с магнитным зарядом g [q_m], которая применима при условии:

, где n — целое число. Таким образом, магнитный заряд частицы должен быть кратен элементарному магнитному заряду , где e — элементарный электрический заряд. В используемой системе единиц e и g имеют одинаковую размерность, причём заряд e фиксирован соотношением

[или e 2 /ħc?]

– известная из атомной физики постоянная тонкой структуры.

Несимметричность природы

Электрическими бывают заряды и поля, а магнитными — только поля. Могут ли во Вселенной быть магнитные заряды?

Можно не сделать ни одной ошибки и всё равно проиграть. Это не слабость — это жизнь.
— Жан-Люк Пикар

В науке, а особенно, в физике, в основе огромного количества физических процессов лежат фундаментальные симметрии. В гравитации сила, с которой любая масса действует на другую, равна по величине и противоположна по направлению силе, оказываемой другой массой на первую.

То же самое выполняется для электрических зарядов, хотя тут есть один подвох: электрическое взаимодействие может быть положительным или отрицательным, в соответствии со знаками зарядов. Кроме того, электричество близко связано с другим взаимодействием, магнетизмом.

Как у электричества есть положительные и отрицательные заряды, где подобное отталкивает подобное, а противоположности притягиваются, у магнетизма есть северный и южный полюса, у которых тоже одинаковые отталкиваются, а разные притягиваются. Но магнетизм демонстрирует фундаментальные отличия от электричества определённым и очевидным образом:

• У электричества может быть множество зарядов, собранных вместе, или же отдельные положительные или отрицательные заряды.
• У магнетизма может быть множество полюсов, собранных вместе, но нельзя изолировать северный полюс от южного.

В физике два противоположных заряда или полюса, связанных вместе, зовутся диполем, а один отдельный заряд называется монополем.

С гравитационным монополем всё просто: это масса. С электрическими — тоже просто: подойдёт любая фундаментальная частица с зарядом, типа электрона или кварка.

Но магнитные монополи? Насколько нам известно, их не существует. Вселенная, где они существуют, удивительно отличалась бы от нашей. Задумайтесь, как именно связаны между собой электричество и магнетизм.

Движущийся электрический заряд, или электрический ток, создаёт магнитное поле, перпендикулярное линии движения. Прямой провод с текущим по нему электрическим током выдаёт магнитное поле, идущее по кругу вокруг провода. Если свернуть проводник в петлю или катушку, магнитное поле появится внутри неё.

Оказывается, это работает в обе стороны. Законы физики стремятся к симметрии. Это значит, что если у меня будет петля или катушка провода, и я изменю магнитное поле внутри неё, я создам электрический ток, заставляющий электрические заряды двигаться. Это электромагнитная индукция, открытая Майклом Фарадеем более 150 лет назад.

Значит, у нас есть электрические заряды, электрический ток и электрическое поле — но нет магнитных зарядов или магнитных токов, только магнитные поля. Можно изменить магнитное поле и заставить двигаться электрические заряды, но нельзя заставить двигаться магнитные заряды, изменяя электрическое поле — поскольку никаких магнитных зарядов не существует.

Точно так же можно создать магнитное поле, двигая электрические заряды, но нельзя создать электрическое поле, двигая магнитные заряды — опять-таки, их не существует.

Иначе говоря, между электрическими и магнитными свойствами нашей Вселенной есть фундаментальная асимметрия. Поэтому уравнения Максвелла для полей E и В (электрического и магнитного) так сильно различаются.

Причина, по которой уравнения так сильно отличаются, состоит в том, что электрические заряды (ρ и Q) и токи (J и I) существуют, а их магнитные аналоги — нет. Если удалить электрические заряды и токи, они станут симметричными с точностью до фундаментальных констант.

Но что, если бы магнитные заряды и токи существовали? Физики думают об этом уже более ста лет, и если бы они существовали, мы могли бы записать, как выглядели бы уравнения Максвелла, если бы магнитные монополи были в природе. Вот, как они выглядели бы (в дифференциальной форме)?

Опять-таки, с точностью до фундаментальных констант, уравнения теперь выглядят очень симметрично! Мы бы могли заставить магнитные заряды двигаться простым изменением электрических полей, создавать электрические токи и индуцировать электрические поля. В 1930-х с ними игрался Дирак, но потом общепризнанным выводом стало то, что если бы они существовали, они бы оставили после себя какой-то след. Эта область не воспринималась серьёзно, поскольку физика по сути своей наука экспериментальная; без каких бы то ни было доказательств существования магнитных монополей их очень сложно оправдать.

Но всё начало меняться в 1970-х. Люди экспериментировали с Теориями великого объединения, или идеями по поводу того, что в природе может существовать гораздо больше симметрии, чем видно нам. Симметрия может быть нарушенной, из-за чего во Вселенной существует четыре различных фундаментальных взаимодействия, но, возможно, все они были объединены на какой-то высокой энергии в единое? В результате у всех этих теорий есть предсказание существования новых высокоэнергетических частиц, и во многих вариантах, магнитных монополей (в особенности, монополи ’т Хоофта-Полякова).

Магнитные монополи всегда были заманчивой темой для физиков, а новые теории подогрели этот интерес. Так что в 1970-х проходили поиски монополей, и самым знаменитым из них руководил физик Блас Кабрера [внук основоположника физических исследований в Испании Бласа Фелипе Кабреры / прим. перев.]. Он взял длинный провод, и скрутил его в восемь петель так, чтобы тот мог измерять идущий через него магнитный поток. Если бы через него прошёл монополь, то он породил бы сигнал силою ровно в восемь магнетонов. Ну а если бы через него прошёл стандартный магнитный диполь, он бы породил сигнал в +8 магнетонов, за которым сразу следовал сигнал в -8 магнетонов — таким образом эти сигналы можно было бы отличить.

Блас Кабрера со своим детектором магнитных монополей

И вот он построил это устройство и стал ждать. Устройство было неидеальным, иногда одна из петель отправляла сигнал, а в ещё более редких случаях сигнал отправляли две петли одновременно. Но для обнаружения магнитного монополя нужно было ровно восемь — но больше двух аппарат не показывал. Эксперимент безуспешно продолжался несколько месяцев, и в результате к нему стали возвращаться всего по нескольку раз в день. 14 февраля 1982 года Блас не приходил в свой офис, поскольку отмечал День святого Валентина. Когда он вернулся на работу 15 февраля, он с удивлением обнаружил, что компьютер и устройство 14 февраля записали сигнал ровно в восемь магнетонов.

Это открытие всколыхнуло общественность и породило огромную волну интереса. Были построены более крупные устройства с большей площадью поверхности и большим количеством петель, но, несмотря на тщательные поиски, никто более не находил монополя. Стивен Вайнберг даже написал Бласу Кабрере стихотворение 14 февраля 1983 года:

Roses are red,
Violets are blue,
It’s time for monopole
Number TWO!

Розы красны,
Фиалки сини,
Представить второй монополь
Мы бы тебя попросили!

[Отсылка к популярному стихотворению, используемому в англоязычных странах в связи с празднованием Дня всех влюблённых // прим. перев.]

Но второй монополь так и не появился. Был ли это сверхредкий глюк эксперимента Кабреры? Был ли это единственный монополь в нашей части Вселенной, совершенно случайно прошедший через детектор? Поскольку других мы так и не обнаружили, точно узнать нельзя, но наука должна быть воспроизводимой. А этот эксперимент воспроизвести не удалось.

Сегодня монополи всё ещё ищут в экспериментах, но ожидания весьма низки.

Природа была бы прекрасна в своей симметрии, но, как бы нам этого не хотелось, она несимметрична, не на всех уровнях. И в этом никто не виноват; просто Вселенная такая, какая есть. Лучше принять её такой — вне зависимости от того, насколько эстетически приятнее она была бы в ином случае — чем дать нашим предубеждениям увести нас с истинного пути.

Магнитные монополи

У любого магнита есть два полюса — северный (отрицательный) и южный (положительный). Однако если разрезать магнит пополам, вы не получите отдельно южный и отдельно северный полюс — вы получите два магнита половинного размера, и у каждого снова окажется два полюса, ориентированные так же, как и у исходного магнита. И, сколько бы вы ни повторяли процесс такого деления магнитов, вы просто будете получать всё больше и больше двухполюсных магнитиков или, выражаясь научным языком, магнитных диполей. Как бы вы ни изощрялись, однополярного магнита — положительного или отрицательного магнитного заряда, или монополя, — вы не получите. Иными словами, в природе магнитных монополей не существует.

Этот факт сразу же подчеркивает удивительную асимметрию между магнетизмом и электричеством. Согласно закону Био—Савара, магнитные поля возбуждаются при движении электрических зарядов, а первый из законов электромагнитной индукции Фарадея показывает, что движение магнитов возбуждает электрические токи. Однако носители электрических зарядов выделить можно — например, электроны несут отрицательный единичный заряд, а протоны — положительный. С магнитами же, судя по всему, дело обстоит иначе.

Ученые уже давно ведут теоретические дискуссии о том, существуют ли магнитные монополи, и пытаются обнаружить их экспериментально, однако до сих пор тщетно. Во многом эти усилия обусловлены критерием красоты теории. Для физиков-теоретиков Вселенная без магнитного монополя подобна прекрасной картине с зияющей дырой в холсте. В ранней Вселенной должно было сформироваться великое множество магнитных монополей, однако при последующем стремительном расширении они оказались размазанными очень тонким слоем по холсту мироздания. Возможно, во всей видимой части Вселенной существуют считанные единицы магнитных монополей, хотя, рискну предположить, что их все-таки несколько больше, и рано или поздно они объявятся.

Если монополи будут открыты, придется пересмотреть формулировки некоторых законов, описывающих явления магнетизма, в частности теорему Гаусса для магнитного поля. Представьте себе изолированный в пространстве магнитный монополь, окруженный замкнутой поверхностью произвольной конфигурации. В каждой точке поверхности будет наблюдаться магнитное поле, производимое монополем. Согласно закону Гаусса, суммарный магнитный поток, проходящий через такую замкнутую поверхность, должен равняться нулю, а в случае присутствия внутри нее магнитного монополя он будет, очевидно, отличен от нуля. То есть закон Гаусса не допускает существования магнитных монополей.

Закон Гаусса, собственно, и исходит из того, что магнитные поля производятся диполями, их силовые линии замыкаются и, как следствие, проходят сквозь окружающую поверхность дважды — в ту и другую сторону. Поэтому суммарное поле и обнуляется. В случае же монополя, каковым, в частности, является электрический заряд, силовые линии не замыкаются сами на себя, и закон Гаусса не выполняется.

То есть если допустить существование магнитного монополя, суммарный поток магнитного поля через поверхность не будет равен нулю, а будет пропорционален магнитному заряду, и будут выполняться два закона Гаусса для электрического поля.