Уравнения максвелла в скалярной форме

Ответы на вопросы к коллоквиуму по дисциплине «Электронные и квантовые приборы СВЧ»

Страницы работы

Содержание работы

1) Электродинамика как раздел науки.

Под электродинамикой понимают раздел науки о возбуждении и о распространении электромагнитных волн в разных среда.

2) Векторы электромагнитного поля.

Поле – есть особый вид материи, характеризующийся силовым воздействием.

Векторы ЭД: Е, Д, В и Н. ЭД устанавливает связь между ними и дли них с q и I

P. S. над всеми величинами поставить стрелочки векторов.

4) Электромагнитные свойства сред.

Очевидно что данные свойства должны описываться величинами и (диэлектрической и магнитной проницаемостями) величинами которые находятся через них ( всякими , ну и т. п. )

Можно выделить три рода сред: диэлектрики, проводники и переходные ( у которых есть свойства диэлектриков и проводников но при разных условиях)

5) Способы описания и исследования электромагнитного поля.

Способы описания: с помощью систем уравнений Максвелла и всего что базируется на этих системах. Способы исследования такие же + экспериментальные.

По большому счету все среды можно поделить на: изотропные ( т. е. такие среды в которых векторы воздействия и векторы реакции колинеарны [для особо одаренных колинеарны значит сонаправленны] и анизотропные ( т. е. такие среды в которых векторы воздействия и векторы реакции неколинеары). Так же возможны варианты когда по одной или нескольким осям проявляются изотропные свойства, а по другим осям проявляются анизотропные свойства.

В анизотроных средах справедливо следующее свойство:

, и т. е отсюда видно что модуль реакции по определенному направлению зависит от свойств среды по этому направлению и воздействию по этому самому направлению.

Еще у сред есть свойства: скалярные ( величины T, V, P, Q …..), векторные ( a, D, B, H, E ….. ну все со значком вектора конечно) и тензорные ( тензор связывает реакцию с воздействием).

7) Тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости

Тензор – это физическая величина, которая показывает реакцию среды на воздействие поля тензор диэлектрической проницаемости кажись моно найти так

это тензор второго ранга

( для похоже будет аналогично )

9) Уравнения максвелла в интегральной форме

1) — полный ток

2) -Обобщенный закон Фарадея (Электромагнитная индукция)

3) — первое уравнение Гауса

4) — не магнитных зарядов

5) — материальное уравнение

6) — материальное уравнение

10) Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

1) — полный ток

2) — Электромагнитная индукция

3)

4)

5)

6)

11) Уравнения максвелла для комплексной амплитуды

Подробно про эту херь написано на стр. 40 у Федорова, тут же сокращенная версия без логических рассуждений, так сто верить придется мне наслово.

Условимся что ( ну это так к примеру ) — есть комплексная амплитуда.

Запишем формулы для перехода от обычной формы векторов к комплексной( для всех основных функций электродинамики).

Запиши производные по времени для некоторых векторов

и и т. д.

Далее напрягаем мозги и вспоминаем дифференциальную систему уравнений максвелла, после чего вектора в той системе на вектора приведенные выше и получаем следующую фигню:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Тут следует не путать и с и соответственно, ибо первые два есть ничто иное как КОМПЛЕКСНЫЕ диэлектрические и магнитные проницаемости, а вторые два это ПРОСТЫЕ диэлектрические и магнитные проницаемости.

и , — это проводимость

12) Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции, он же закон Фарадея, он же закон самоиндукции. Говорит о том, что всякий ток протекающий в проводе создает в другом проводе ( не подсоединенном к пенрвому проводу) ток какой-то там величины, но обязательно в другом направлении, Позволяет нам на законных основаниях черпать энергию из высоковольных ЛЭП (что кстати законно) и слушать чужые телефоны ( что кстати незаконно)

— Обобщенный закон Фарадея и второе уравнение в системе уравнений максвелла ( в интегральной форме).

— первое уравнение Гаусса ( надо так полагать есть еще уравнения ), оно же стоит третьим уравнением в интегрально системе уравнений максвелла

,— материальные уравнения из системы уравнений Максвелла (входят в интегральную и дифференциальную формы системы уравнений Максвелла) они же являются уравнениями гаусса для определенной материальной среды.

31) Уравнения Гельмгольца

где,

-постоянная распространения или волновое число

— оператор Лапласа (это что-то из матана хз что это)

14) Скалярная форма уравнений Максвелла

Для нахождения скалярной формы уравнений Максвелла разобьем первые четыре ( из дифференциальной системы ) из его уравнений на две пары

Первая пара: и

Вторая пара: и

( ну тут уравнения несколько порезаны, очевидно это сделано с целью упрощения решения, но отсюда моно найти общий смысл этой бадяги и доработать ее до нормального состояния ).

Первая пара уравнений будет эквивалентна:

;; …И… соответственно.

Вторая пара уравнения будет эквивалентна:

;;И

В результате этого мы получаем 8 уравнений с 12 неизвестными, без дополнительных условий хрен решишь.

15) Первое уравнение в системе уравнений Максвелла есть ничто иное, как Обобщенный закон Ампера ( он же закон полного тока )

— закон полного тока ( обобщенный закон Ампера )

— ток смещения , — ток проводимости , -ток сторонний. ( АЛИС )

16) Закон сохранения заряда.

— полный ток — заряд объема

и — дифференциальная форма сохранения заряда.

Короче вывод из всей этой байды— ХРЕН ВЫ УНИЧТОЖИТЕ ОДИН ЗАРЯД.

17) Граничные условия для нормальных компонент векторов Е и D

Е – вектор напряженности электрического поля

D – вектор хз чего

И

18) Граничные условия для тангенциальных компонент векторов Е и D

Е – вектор напряженности электрического поля

D – вектор хз чего

и (надо так полагать )

19) Граничные условии нормальных компонент векторов В и Н

В – вектор магнитной индукции

Н – вектор напряженности магнитного поля

и

20) Граничные условия для тангенциальных компонент векторов В и Н

В – вектор магнитной индукции

Н – вектор напряженности магнитного поля

и ( надо так полагать )

22) комплексная диэлектрическая проницаемость, угол диэлектрических потерь

— это и есть комплексная диэлектрическая проницаемость.

Этот рисунок пояснят смысл . Мнимая часть характеризует ту часть энергии которая тратится электромагнитным на тепловое колебание при прохождении через вещество.

24) Принцип Суперпозиции (для энергии)

25) Баланс энергии электромагнитного поля

Предметом данного раздела является общее описание баланса энергии электромагнитного поля, ее распределение и движение. При этом устанавливается связь между векторами Н, Е, В и Д и энергетическими характеристиками.

, — мощность потерь ( мощность которая идет на нагревание среды ).

26) Теорема Умова-Поитинга в интегральной форме.

( Теорема Умова-Поитинга – вроде как она устанавливает зависимость баланса энергии эл. маг поля в веществе в зависимости от составляющих поля. Вывод не пишу)

27) Теорема Умова-Поитинга в дифференциальном виде

( Теорема Умова-Поитинга – вроде как она устанавливает зависимость баланса энергии эл. маг поля в веществе в зависимости от составляющих поля. Вывод не пишу)

28) Вектор Поитинга и его среднее значение.

— вектор поитинга характеризует плотность мощности излучения

Среднее значения вектора Поитинга — это есть энергия поля (она же мощность).

29) Условие единственности для внутренней задачи электродинамики

Условие единственности для внутренней задачи электродинамики утверждает что внутри ограниченного объема V, ограниченного поверхность S, решение уравнений максвелла для комплексных амплитуд векторов и единственно если удовлетворяет одному из трех краевых условий:

Что-то под римской цифрой один.

А) Заданным на поверхности S тангенциальным составляющим поля ( для металла равно 0 )

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Уравнения Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Значение уравнений Максвелла

Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.

Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.

Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.

Система уравнений Максвелла

Систему уравнений Максвелла составляют:

Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару — из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$), а во вторую пару — вспомогательные ($\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$).

Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:

Готовые работы на аналогичную тему

В скалярном виде уравнение (2) запишем как:

Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:

Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:

Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:

Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

Физический смысл уравнений Максвелла

Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($\overrightarrow$) и токи смещения ($\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$).

Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля.

Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.

Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.

Материальные уравнения (5) — это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($\varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($\mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($\sigma $).

Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.

Границы применимости уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:

Материальные тела должны быть неподвижны в поле.

Постоянные $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.

В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.

Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.

Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.

Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:

Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):

Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:

В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:

Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:

Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:

Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:

тогда если области замкнуты и изолированы получаем:

Что требовалось доказать.

Задание: Покажите, что уравнения $rot\overrightarrow=-\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$ и $div\overrightarrow=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.

Решение:

За основу решения примем уравнение:

Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:

В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

Соответственно, получаем, что

Выражение $div\overrightarrow=const$ не противоречит тому, что $div\overrightarrow=0$.

Мы получили, что уравнения $rot\overrightarrow=-\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$ и $div\overrightarrow=0$ совместны, что требовалось показать.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 03 2021


источники:

http://electricalschool.info/spravochnik/electroteh/2145-uravneniya-maksvella.html

http://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/