Основные типы уравнений математической физики
Основные типы уравнений
К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
1. Волновое уравнение:
.
Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.
2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:
.
Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.
3. Уравнение Лапласа:
.
Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.
В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид
,
и уравнение Лапласа
.
Уравнение колебаний струны.
Формулировка краевой задачи
В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси 
Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка
.
Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства
Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.
Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.
.
Эти два условия называются начальными условиями.
Колебания бесконечной струны.
Формула Даламбера решения задачи Коши
для волнового уравнения
Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.
Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение
при начальных условиях
, 
,
где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения:
интегралами которых служат прямые
Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.
, 
,
,
,
и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет
.
Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству 
. Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим
,
где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция
. (8)
Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
.
,
.
Интегрируя последнее равенство, получим:
,
где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений
Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь
.
Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения
Пример. Решить уравнение при начальных условиях 
, 
.
Используя формулу Даламбера, сразу получаем
.
Решение волнового уравнения
методом разделения переменных
Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения
, (9)
удовлетворяющее краевым условиям
u(x,0)=f(x), . (12),(13)
Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:
Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим
.
В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим
, где λ>0. (14)
Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
и 
. (15)
Общее решение этих уравнений
,
,
где A, B, C, D – произвольные постоянные.
Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим
А=0 и 
.
Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство
,
.
Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.
Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде
.
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).
Зная 
, можем записать
.
Для каждого n получаем решение уравнения (9)
.
Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция
(16)
будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).
Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим
.
Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь
.
Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому
. (17)
Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.
Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения
, 0