Владимиров В.С. (ред.) Сборник задач по уравнениям математической физики
Авторы: Владимиров В.С., Вашарин А.А., Каримова X.X., Михайлов В.П., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 288 с. 4-е издание.
Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского физико-технического института, базируется на обновленных курсах уравнений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет.
В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа.
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов.
Уравнения математической физики задачник мфти
На этой странице нашего сайта размещены учебно-методические пособия по уравнениям математической физики, которые использовались при проведении дистанционных занятий со студентами ФОПФ МФТИ в 2020 — 2021 годах.
В отличие от классического курса уравнений математической физики в курсе уравнений математической физики, читаемом для студентов ФОПФ МФТИ, рассматриваются обобщенные краевые задачи для замыкания оператора Лапласа, начально-краевые задачи с самосопряженными операторами в гильбертовых пространствах, а также интегральные уравнения с самосопряженными интегральными операторами в гильбертовых пространствах. Большое внимание уделяется поиску обобщенных решений уравнений математической физики, что требует достаточно глубокого владения аппаратом обобщенных функций.
Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам ФОПФ МФТИ в заданиях для самостоятельной работы и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.
Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам ФОПФ МФТИ, осваивающим курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов.
Дистанционное занятие на тему «Обобщенные краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в пространстве»
Дистанционное занятие посвящено решению обобщенных краевых задач для замыкания оператора Лапласа в шаре, полушаре и четверти шара.
Содержание
- Постановка обобщенных задач Дирихле и Неймана для замыкания оператора Лапласа.
- Общий вид гармонических функций в шаре.
- Пример решения обобщенной задачи Дирихле в шаре.
- Пример решения обобщенной краевой задачи в четверти шара.
 | Учебно-методическое пособие на тему «Обобщенные краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в пространстве» |
Дистанционное занятие на тему «Интегральные операторы с конечномерным множеством значений. Решение интегральных уравнений»
Дистанционное занятие посвящено решению интегральных уравнений, в которых интегральные операторы имеют с конечномерное множество значений, а также поиску спектра и резольвенты для таких операторов.
Содержание
- Ядро интегрального оператора.
- Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора.
- Примеры решения интегральных уравнений с интегральными операторами, множество значений которых конечномерное. Поиск характеристических чисел и собственных функций.
- Регулярные значения линейного оператора. Резольвентное множество. Резольвента.
- Спектр линейного оператора. Точечный спектр. Непрерывный спектр. Остаточный спектр.
- Пример поиска спектра и резольвенты для интегрального оператора с конечномерным множеством значений.
 | Учебно-методическое пособие на тему «Интегральные операторы с конечномерным множеством значений. Решение интегральных уравнений» |
Дистанционное занятие на тему «Самосопряженные интегральные операторы. Решение интегральных уравнений»
Дистанционное занятие посвящено решению интегральных уравнений с самосопряженными интегральными операторами.
Содержание
- Компактность и непрерывность интегрального оператора.
- Симметричность интегрального оператора.
- Самосопряженность интегрального оператора.
- Теорема Гильберта-Шмидта.
- Спектр компактного оператора.
- Спектр самосопряженного оператора.
- Примеры решения интегральных уравнений с самосопряженными интегральными операторами. Поиск спектра самосопряженных интегральных операторов.
 | Учебно-методическое пособие на тему «Самосопряженные интегральные операторы. Решение интегральных уравнений» |
Дистанционное занятие на тему «Оператор Штурма-Лиувилля»
Дистанционное занятие посвящено методам решения типовых задач, связанных со свойствами оператора Штурма-Лиувилля.
Содержание
- Оператор Штурма-Лиувилля.
- Задача Штурма-Лиувилля.
- Интегральное ядро оператора Штурма-Лиувилля.
- Построение интегрального ядра оператора Штурма-Лиувилля
- Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
- Пример построения оператора, обратного к оператору Штурма-Лиувилля.
- Пример построения ортогонального базиса из собственных векторов оператора Штурма-Лиувилля. Спектральное разложение оператора Штурма-Лиувилля
 | Учебно-методическое пособие на тему «Оператор Штурма-Лиувилля» |
Дистанционное занятие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в круге»
Дистанционное занятие посвящено изучению свойств функций Бесселя, поиску собственных функций оператора Лапласа в круге с однородными граничными условиями и методам решения начально-краевых задач для замыкания оператора Лапласа в круге.
Содержание
- Формулы Грина.
- Уравнение Бесселя.
- Приведенная форма уравнения Бесселя.
- Функции Бесселя
- Нули функций Бесселя.
- Пример решения начально-краевой задачи для звмыкания оператора Лапласа в круге (симметричность, отрицательная определенность, поиск собственных значений и собственных функций оператора Лапласа, спектральное разложение замыкания оператора Лапласа, решение типовой начально-краевой задачи методом Фурье).
 | Учебно-методическое пособие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в круге» |
Дистанционное занятие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в секторе»
Дистанционное занятие посвящено поиску собственных функций оператора Лапласа в секторе с однородными граничными условиями и методам решения начально-краевых задач для замыкания оператора Лапласа в секторе. Рассмотрены симметричность, отрицательная определенность, собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в секторе с однородными граничными условиями, спектральное разложение замыкания оператора Лапласа, решение типовой начально-краевой задачи методом Фурье
 | Учебно-методическое пособие на тему «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в секторе» |
Дистанционное занятие на тему «Классическое решение волнового уравнения»
Дистанционное занятие посвящено поиску классических решений задачи Коши для одномерного волнового уравнения (уравнения колебания струны) и для однородного волнового уравнения с начальными условиями специального вида, позволяющими свести задачу к одномерному случаю.
Содержание
- Постановка задачи Коши для волнового уравнения в классическом случае.
- Общее решение однородного одномерного волнового уравнения (с выводом).
- Формула Даламбера (с выводом).
- Формула Дюамеля (с выводом).
- Решение задачи Коши для многомерного однородного волнового уравнения в случае, когда в начальные данные вектор x входит только в виде скалярного произведения (l,x), где l — фиксированный вектор.
- Решение задачи Коши для трехмерного однородного волнового уравнения в случае, когда начальные данные являются сферически симметричными функциями.
- Пример решения задачи Коши для трехмерного неоднородного волнового уравнения в случае, когда в правую часть уравнения входят собственные функции оператора Лапласа, а начальные условия являются сферически симметричными функциями.
| Учебно-методическое пособие на тему «Классическое решение волнового уравнения» |
Дистанционное занятие на тему «Пространство обобщенных функций S'(R m )»
На дистанционном занятии вводится пространство основных функций Шварца S(R m ) и пространство обобщенных функций S'(R m ). Рассматривается операция умножения обобщенных функций на бесконечно дифференцируемые функции медленного роста и операция предельного перехода в пространстве S'(R m ).
Содержание
- Мультииндексы.
- Пространство основных функций Шварца S(R m ).
- Пространство обобщенных функций S'(R m ).
- Функции медленного роста.
- Регулярные и сингулярные функционалы. Дельта-функция.
- Умножение обобщенных функций на бесконечно дифференцируемые функции медленного роста.
- Функция
- Предельный переход в пространстве S'(R m ).
- Формулы Сохоцкого.
| Учебно-методическое пособие на тему «Пространство обобщенных функций S'(R m )» |
Дистанционное занятие на тему «Дифференцирование обобщенных функций»
Дистанционное занятие посвящено решению типовых задач, связанных с дифференцированием обобщенных функций.
| Учебно-методическое пособие на тему «Дифференцирование обобщенных функций» |
Дистанционное занятие на тему «Решение простейших линейных однородных уравнений в пространстве S'(R)»
Дистанционное занятие посвящено решению типовых задач, связанных с поиском общих решений линейных уравнений вида
где P(x) – заданный многочлен, а f(x)– неизвестная обобщенная функция из пространства S'(R).
| Учебно-методическое пособие на тему «Решение простейших линейных однородных уравнений в пространстве S'(R)» |
Дистанционное занятие на тему «Решение простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R)»
Дистанционное занятие посвящено решению типовых задач, связанных с поиском общих решений простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R).
| Учебно-методическое пособие на тему «Решение простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R)» |
Дистанционное занятие на тему «Преобразование Фурье обобщенных функций»
Дистанционное занятие посвящено решению типовых примеров и задач, связанных с преобразованием Фурье обобщенных функций.
Содержание
- Определение преобразования Фурье обобщенных функций.
- Определение обратного преобразования Фурье обобщенных функций
- Свойства преобразования Фурье обобщенных функций
- Примеры вычисления преобразования Фурье обобщенных функций в одномерном случае
- Вычисление преобразования Фурье регулярного функционала вида при
- Примеры вычисления преобразования Фурье в S'(R 3 )
- Примеры вычисления преобразования Фурье в S'(R m )
при 
| Учебно-методическое пособие на тему «Преобразование Фурье обобщенных функций» |
Дистанционное занятие на тему «Линейные замены в аргументе обобщенной функции»
Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с линейными заменами переменных в аргументе обобщенной функции.
| Учебно-методическое пособие на тему «Линейные замены в аргументе обобщенной функции» |
Дистанционное занятие на тему «О замене переменной в аргументе дельта-функции»
Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с заменой переменной в аргументе дельта-функции.
| Учебно-методическое пособие на тему «О замене переменной в аргументе дельта-функции» |
Дистанционное занятие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случае»
Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с поиском функций Грина для линейных дифференциальных операторов в одномерном случае.
| Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случае» |
Дистанционное занятие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в многомерном случае»
Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с поиском функций Грина для линейных дифференциальных операторов в многомерном случае.
| Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина линейного дифференциального оператора в многомерном случае» |
Дистанционное занятие на тему «Свертка обобщенных функций»
Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с вычислением сверток обобщенных функций.
Содержание
- Определение свертки обобщенных функций.
- Свойства сверток обобщенных функций
- Примеры вычисления сверток обобщенных функций
| Учебно-методическое пособие на тему «Свертка обобщенных функций» |
Дистанционное занятие на тему «Обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравнения»
Дистанционное занятие посвящено вычислению функции Грина одномерного оператора Даламбера и решению обобщенных задач Коши в одномерном случае.
Содержание
- Постановка обобщенной задачи Коши для одномерного волнового уравнения.
- Вычисление функции Грина одномерного оператора Даламбера.
- Свойства решений обобщенных задач Коши для одномерных волновых уравнений.
- Примеры решения обобщенных задач Коши для одномерных волновых уравнений.
| Учебно-методическое пособие на тему «Обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравнения» |
Дистанционное занятие на тему «Обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравнения»
Дистанционное занятие посвящено вычислению функции Грина трехмерного оператора Даламбера и решению обобщенных задач Коши в трехмерном случае.
Содержание
- Постановка обобщенной задачи Коши для трехмерного волнового уравнения.
- Вычисление функции Грина трехмерного оператора Даламбера.
- Свойства решений обобщенных задач Коши для трехмерных волновых уравнений.
- Примеры решения обобщенных задач Коши для трехмерных волновых уравнений.
| Учебно-методическое пособие на тему «Обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравнения» |
Дистанционное занятие на тему «Обобщенные решения уравнений Пуассона и Гельмгольца»
Дистанционное занятие посвящено вычислению функций Грина операторов Гельмгольца и Лапласа и поиску обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в трехмерном случае.
Содержание
- Вычисление функций Грина для операторов Гельмгольца и Лапласа в пространстве S'(R 3 ).
- Свойства обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве S'(R 3 ). Объемный потенциал.
- Поиск обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве S'(R 3 ).
| Учебно-методическое пособие на тему «Обобщенные решения уравнений Пуассона и Гельмгольца» |
Дистанционное занятие на тему «Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности»
Дистанционное занятие посвящено вычислению функции Грина оператора теплопроводности и решению обобщенных задач Коши для уравнения теплопроводности.
ВУЗ: Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт физики. Кафедра теории относительности и гравитации
Год публикации: 2005
Библиографическая ссылка:: Даишев Р.А., Никитин Б.С. Уравнения математической физики. Сборник задач. — Казань: Каз. гос. ун-т, 2005. — 76 с.
Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.
Данное пособие предназначено для студентов 3-го курса физического факультета. Необходимость издания данного пособия обусловлена тем, что хотя существует достаточно много задачников по уравнениям математической физики, ни одна из этих книг не соответствует в полной мере той программе, по которой изучается этот предмет на физическом факультете Казанского государственного университета. Сборник содержит 140 задач. Большинство из этих задач снабжено указаниями, а для некоторых, наиболее трудных, приведены решения.
http://www.resolventa.ru/index.php/mfti-umf-fopf
http://window.edu.ru/resource/340/78340