Уравнения мдс уравнения токов трансформатора

Уравнения электродвижущих сил эдс токов трансформатора

Всем доброго времени суток! В прошлой статье я рассказывал об устройстве трансформатора и его работе. Также я указывал, что для анализа трансформатора используют эквивалентные схемы, содержащие основные параметры трансформатора и позволяющие оценить его характеристики в различных режимах. В процессе своей работы трансформатор может находиться в трёх основных режимах: режим холостого хода, режим короткого замыкания и номинальный режим.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Для рассмотрения работы трансформатора в различных режимах мы будем использовать схему замещения трансформатора.

Рабочий процесс трансформатора

Процесс работы трансформатора рассмотрим на основе эквивалентной схемы замещения из предыдущей статьи

Эквивалентная схема замещения трансформатора.

При наличии нагрузки ZH на выводах вторичной обмотки 3-4 и напряжении U1 на выводах первичной обмотки 1-2 в магнитопроводе трансформатора создается магнитный поток, который индуцирует в обмотках ЭДС: в первичной – Е1, а во вторичной – Е2. В результате приложенное напряжение в первичной обмотке U1 уравновешивается ЭДС Е1 и падением напряжения на активном сопротивлении обмотки R1 и реактивном сопротивлении Ls1 индуктивности рассеяния. Аналогичным образом происходит уравновешивание напряжения и во вторичной обмотке трансформатора.

Определение основных параметров трансформатора: напряжения U1 и U1, ЭДС Е1 и Е2, потери в обмотках и в магнитопроводе происходит при рассмотрении режимов работы трансформатора, а определение их реальных значений – из опытов холостого хода и короткого замыкания.

Уравнение МДС и токов трансформатора

2015-04-30 14176 Соотношение между токами первичной и вторичной цепей при нагруженном трансформаторе определяется уравнением равновесия МДС, причем МДС первичной и вторичной обмоток направлены встречно, и результирующая МДС будет определяться величиной тока ХХ:
Преобразуя уравнение (1.9), получим:

Составляющая , наводит в магнитопроводе трансформатора основной магнитный поток Ф, а составляющая уравновешивает МДС вторичной обмотки .

Основной магнитный поток Ф наводит во вторичной обмотке трансформатора ЭДС e2, а согласно правилу Ленца ток i2 вторичной обмотки создает МДС , направленную встречно потоку Ф, т.е.находящуюся с ним в противофазе и стремящуюся ослабить этот поток.

Если бы вторичная обмотка w2 имела бы чисто индуктивное сопротивление, то ток отставал бы от ЭДС на угол =90 0 , и вся МДС вторичной обмотки оказывала бы размагничивающее действие на магнитопровод трансформатора.

Реально же нагрузка трансформатора имеет сопротивление

Кроме этого, сама вторичная обмотка обладает активным сопротивлением ≠0. Поэтому разность фаз между ЭДС и током отличается от 90 0 , т.е. 0 0 . Поэтому с основным потоком взаимодействует только часть МДС I2W2— ее реактивная составляющая.

При активно-индуктивной нагрузке, когда , ток отстает по фазе от ЭДС вторичной обмотки на угол Ψ2. В этом случае реактивная индуктивная составляющая оказывает на магнитопровод трансформатора размагничивающее действие.

На рис. 1.4, а приведена векторная диаграмма МДС для активно- индуктивной нагрузки трансформатора.

Рис.1.4. Векторные диаграммы МДС трансформатора при активно- индуктивной (а) и активно- емкостной (б) нагрузках

При изменении нагрузки трансформатора в пределах номинального значения основной магнитный поток изменяется незначительно; можно считать, что . Это происходит из-за того, что реактивная составляющая МДС вторичной обмотки, оказывающая размагничивающее действие, компенсируется составляющей МДС первичной обмотки. Поэтому значение МДС холостого хода остается практически неизменным.

При активно — емкостной нагрузке трансформатора , ток нагрузки опережает ЭДС по фазе на угол Ψ2. Реактивная (емкостная) составляющая МДС вторичной обмотки совпадает по фазе с основным магнитным потоком и подмагничивает магнитопровод трансформатора (рис.3, б).

В этом, так же, как и в предыдущем случае, составляющая первичной МДС компенсирует действие МДС вторичной обмотки.

Разделив (1.10) на w1, получим уравнение токов трансформатора :

Из уравнения (1.11) следует, что первичный ток I1 можно рассматривать как сумму двух составляющих: составляющую I, создающую МДС Iw1, необходимую для наведения в магнитопроводе основного магнитного потока Ф, и составляющую , которая создает МДС и компенсируют МДС вторичной обмотки I2w2 трансформатора.

Вследствие того, что магнитный поток Ф — переменный, в магнитопроводе трансформатора имеют место магнитные потери от гистерезиса и вихревых токов. Мощность магнитных потерь эквивалентна активной составляющей тока XX. Ток XX имеет две составляющие: реактивную I0р, представляющую собой намагничивающий ток, и активную I0а , обусловленную магнитными потерями:

На рис. 1.5 показана векторная диаграмма составляющих тока XX.

Рис.1.5. Векторная диаграмма тока холостого хода

Угол δ называется углом магнитных потерь . Этот угол увеличивается с ростом активной составляющей I0а тока XX, то есть с ростом магнитных потерь в магнитопроводе трансформатора.

Т.к. ток I мал по сравнению с номинальным током I1ном, то приближенно можно считать, что

Токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числам витков этих обмоток. Поэтому обмотки низкого напряжения (HH) выполняются проводом большего сечения, нежели обмотки высокого напряжения (BH).

1.5. Приведение параметров вторичной обмотки и схема замещения приведенного трансформатора

Обычно при анализе используется метод приведения вторичной обмотки трансформатора к числу витков первичной, так как в общем случае параметры первичной обмотки отличаются от параметров вторичной обмотки, и эта разница в наибольшей степени проявляется при больших коэффициентах трансформации.

При этом вместо реального трансформатора с коэффициентом трансформации получается эквивалентный трансформатор с коэффициентом трансформации , где . Такой трансформатор называется приведенным . Такое приведение означает замену реальной вторичной обмотки в числом витков w2 фиктивной обмоткой с числом витков, равным w1, и такими значениями активного и реактивного сопротивлений, при которых мощности, электрические потери и фазовые соотношения векторов на векторных диаграммах остаются неизменными.

Для выполнения условий равенства электромагнитных мощностей вторичных обмоток реального и приведенного трансформаторов необходимо, чтобы

Для выполнения условия равенства потерь в активном сопротивлении вторичной обмотки необходимо, чтобы:

Для приведенного индуктивного сопротивления рассеяния из условия равенства реактивных мощностей необходимо, чтобы

Тогда полное приведенное сопротивление вторичной обмотки трансформатора

Полное сопротивление нагрузки, подключенной к выводам вторичной обмотки, аналогично (1.18), будет равно:

Тогда уравнения напряжений и токов для приведенного трансформатора будут иметь вид:

Для облегчения исследования электромагнитных процессов применяют также схему замещения приведенного трансформатора (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Эквивалентная схема приведенного трансформатора

В приведенном трансформаторе k=1, поэтому . Тогда точки А и а, а также Х и х на схеме имеют соответственно равные потенциалы, и поэтому можно электрически соединить точки А и а, а также Х и х и получить таким образом Т-образную схему замещения приведенного трансформатора (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Схема замещения приведенного трансформатора

В электрической схеме замещения магнитная связь между контурами заменена электрической. Эта схема замещения удовлетворяет всем уравнениям ЭДС и токов приведенного трансформатора (1.20-1.22).

В схеме три ветви: первичная – с сопротивлением и током ; намагничивающая — с сопротивлением и током и вторичная — с сопротивлениями вторичной обмотки и нагрузки и током .

Параметры ветви намагничивания определяются током ХХ.

1.6. Векторная диаграмма приведенного трансформатора

На основании уравнений (1.20-1.22) и схемы замещения (рис. 1.7) можно построить векторную диаграмму, показывающую соотношения и фазовые сдвиги между токами, ЭДС и напряжениями приведенного трансформатора.

Построение векторной диаграммы (рис. 1.8) начинается с вектора максимального значения основного магнитного потока .

Рис. 1.8. Векторная диаграмма трансформатора при активно-индуктивной нагрузке

Вектор тока опережает по фазе вектор магнитного потока на угол δ, а векторы ЭДС и отстают от вектора на угол 90 0 [(см. (1.2)].

Далее строится вектор тока . Угол сдвига фаз между векторами и определяется характером нагрузки. Допустим, нагрузка имеет активно-индуктивный характер. Тогда вектор тока отстает от вектора по фазе на угол

Для построения вектора вторичного напряжения необходимо, согласно (1.21), из вектора вычесть векторы падений напряжения и . Из конца вектора опускается перпендикуляр на направление вектора и откладывается на нем вектор . Затем проводится прямая, параллельная вектору , и на ней откладывается вектор . Строится вектор , и получается треугольник внутренних падений напряжения во вторичной цепи.

От чего зависит ЭДС в обмотках трансформатора?

В прошлой статье я указал, что мгновенное значение ЭДС в обмотке трансформатора определяется числом витков ω провода в ней и скоростью изменения магнитного потока dΦ/dt

где ω – число витков обмотки трансформатора,

dФВ/dt – скорость изменения магнитного потока.

Однако в большинстве случаев нам интересно не мгновенное значение ЭДС, а действующее. Поэтому выведем выражение, определяющее действующее значение ЭДС в обмотках трансформатора. Это можно сделать аналитически проинтегрировав функцию изменения магнитного потока dΦ/dt, либо же путем нахождения среднего значения ЭДС Ecp и коэффициента формы ЭДС kф. Я буду выводить выражение вторым способом.

Магнитный поток протекая в сердечнике трансформатора изменяется в соответствии с некоторой периодичной функцией имеет два амплитудных значения максимальное +Фm и минимальное –Фm, тогда полное изменение магнитного потока за полупериод Т/2 будет иметь значение

Тогда среднее значение ЭДС Еср в обмотке трансформатора будет иметь вид

где ω – число витков обмотки трансформатора,

Т/2 – полупериод изменения функции магнитного потока,

f – частота изменения магнитного потока,

Фm – амплитуда магнитного потока.

Действующее значение ЭДС и её среднее значение связывает коэффициент формы кривой ЭДС kф, тогда действующее значение ЭДС в обмотке трансформатора будет определяться следующим выражением

где kф – коэффициент формы ЭДС,

f – частота изменения ЭДС,

ω – число витков обмотки трансформатора,

B – магнитная индукция в сердечнике,

Sc – площадь сечения сердечника трансформатора.

Приведём примеры действующего значение ЭДС для синусоидального, прямоугольного (меандр) и треугольного изменения

Из вышесказанного следует, что при условии постоянства электромагнитной индукции B, ЭДС пропорциональна конструктивным параметрам трансформатора сечению магнитопровода Sc и количеству витков ω. Правильный выбор величины электромагнитной индукции В является одной из ключевых задач при проектировании трансформатора. Кроме того, с ростом частоты f увеличивается ЭДС, поэтому для реализации одинаковой ЭДС с ростом частоты требуются меньшие размеры и вес трансформатора. Данный фактор является основным преимуществом трансформаторов высокой частоты, которые чаще всего применяются в настоящее время.

Уравнение идеального трансформатора

Мнимому идеальному устройству приписывается свойство: отношение первичного и вторичного напряжений обратно пропорционально отношению комплексного электрического тока в первичной и вторичной катушках. Для идеального прибора справедливо уравнение, которое называют уравнением идеального трансформатора.

Число n является коэффициентом трансформации придуманного идеального трансформатора.

Из уравнения видно, что при увеличении напряжения в цепи вторичной обмотки, электрический ток во столько же раз уменьшается в этой цепи. То есть, существует обратно пропорциональная зависимость между выходным током и напряжением. Эта зависимость существует и в реальных приборах, но в таких аппаратах линейность немного нарушается из-за тепловых потерь.

Если к вторичной обмотке подключить внешнюю нагрузку с комплексным сопротивлением Z2 , то входное сопротивление Zвх будет в n 2 раз больше сопротивления этой нагрузки Zвх = U1 / I1 = n* U1 / ( I1 / n) = n 2 *Z2

Если такую нагрузку имеющую комплексное сопротивление Z1 подсоединить к первичной катушке, а питание подать на вторичную, то получим: Z2вх = Z1 / n 2 .

Данные соотношения характеризуют для идеального аппарата превращение сопротивлений. В частности, при разомкнутой вторичной обмотке Z1вх = ∞, а при замкнутых Z1вх = 0.

Свойства реального аппарата приближаются к свойствам идеального, при условии что коэффициент магнитной связи аппарата стремится к единице, а мощность потерь близится к нулю.

Режим холостого хода

Данный режим характеризуется отсутствием нагрузки во вторичной обмотке или же бесконечно большой величиной сопротивления ZH = ∞, то есть разомкнутая цепь вторичной обмотки.

Тогда ток во вторичной обмотке будет равен нулю I2 = 0. Тогда в соответствии с первым законом Кирхгофа (закон баланса токов) получим

где I1 – ток в первичной обмотке трансформатора,

I0 – ток намагничивания магнитопровода,

I’2 – приведённый ток вторичной обмотки трансформатора.

Возникновение тока намагничивания I0 связанно с потерями энергии: на создание основного магнитного потока, замыкающегося через магнитопровод (мощность намагничивания PL) и потери мощности в сердечнике РА, а так же вследствие потерь в первичной обмотке магнитопровода от протекания тока намагничивания. Так как трансформатор в режиме холостого хода не создает тока во вторичной обмотке I2 = 0, то такой ток называют током холостого хода.

Очевидно, что ток холостого хода имеет активную Ia и реактивную IL составляющие, которые определяются следующими выражениями

где Е1 – ЭДС самоиндукции, возникающая в первичной обмотке,

RC – сопротивление активных потерь в сердечнике,

LC – сопротивление реактивных потерь в сердечнике.

Так как сопротивления RC и LC имеют нелинейных характер, то в инженерных расчётах пользуются графическими зависимостями параметров сердечников, в первую очередь кривой намагничивания материала магнитопровода (зависимость магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Н Dynamic magnetization curves). Кроме того необходимо знать геометрические параметры используемого сердечника: эквивалентную площадь сечение Se(Ae), эквивалентную длину магнитной силовой линии le и эквивалентный объем сердечника Ve. Кроме того для нахождения потерь мощности в сердечнике РА необходимо воспользоваться графической зависимостью магнитных потерь в сердечнике (Relative core losses) от различных факторов: индукции B, температуры T и частоты f.

Идеальный трансформатор

Совершенный трансформатор, ток намагничивания которого равен нулю, называется идеальным трансформатором. Компонентные уравнения идеального трансформатора, согласно (5.23), имеют вид:
Из компонентных уравнений следует, что при любом значении сопротивления нагрузки отношение напряжения вторичной обмотки к напряжению первичной обмотки идеального трансформатора равно отношению токов первичной и вторичной обмоток: (5.25) В связи с тем, что коэффициент трансформации n

является действительным числом, напряжение и ток первичной обмотки имеют такие же начальные и фазы, как соответственно напряжение и ток вторичной обмотки, и отличаются от них только по амплитуде.

Из выражений (5.25) следует, что мгновенная и комплексная мощности, потребляемые первичной обмоткой, равны мгновенной и комплексной мощностям, отдаваемым идеальным трансформатором в нагрузку: .

КПД идеального трансформатора равен единице.

Если к зажимам 2 — 2’ идеального трансформатора подключено сопротивление нагрузки Zн, то его входное сопротивление со стороны зажимов 1 – 1’ равно (5.26) Таким образом, входное сопротивление идеального трансформатора отличается от сопротивления нагрузки в n 2

раз. Это свойство трансформатора широко используется в радиоэлектронных устройствах для согласования сопротивления источника энергии с нагрузкой. В отличие от идеального, в реальном трансформаторе происходят потери энергии, он характеризуется в ряде случаев значительными паразитными емкостями, индуктивность его обмоток имеет конечное значение, а потоки рассеяния не равны нулю. Как правило, при разработке конструкции трансформатора принимается ряд мер, направленных на приближение его свойств к свойствам идеального трансформатора.

Как определить ток холостого хода трансформатора?

Вычисление тока холостого хода трансформатора может происходить следующим образом:

f – частота изменения ЭДС,

ω – число витков обмотки трансформатора,

Sc – площадь сечения сердечника трансформатора.

По кривой намагничивания материала сердечника определяем напряженность Н магнитного поля в магнитопроводе.

Определяем реактивную IL составляющую тока холостого хода

Находим мощность активных потерь РА в сердечнике трансформатора по графическим зависимостям мощности удельных объёмных потерь PV от индукции в сердечнике B и значению эффективного объема сердечника Ve.

Определяем активную составляющую Ia тока холостого хода

Определяем ток холостого хода

Полученное токам образом значение тока холостого хода практически не отличается от реальной величины тока, протекающего в первичной обмотке при работе трансформатора в режиме холостого хода.

Уравнения мдс эдс токов трансформатора

3.2.2. Уравнения равновесия ЭДС и МДС трансформатора*

На основании Т-образной схемы замещения рис.1.2а можно записать следующие уравнения равновесия напряжений (ЭДС) трансформатора:

U 1 = –E 1 +I 1 (R 1 +jX 1 )= –E 1 +I 1 Z 1 , (1)

U 2 ’= E 2 ’ – I 2 ’ (R 2 ’+jX 2 ’ )= E 2 ’ – I 2 ’Z 2 ’ . (2)

Особенностью работы трансформатора является то, что ввиду относительной малости сопротивлений R 1 и X 1 падение напряжения I 1 Z 1 в диапазоне нормальных нагрузок относительно мало, вследствие чего, согласно уравнению (1),

U 1 . В свою очередь действующее значение ЭДС E1 пропорционально амплитуде магнитого потока в магнитопроводе Ф m

E 1 = 4,44f 1 W 1 Ф m , (3) где W1 — число витков фазы первичной обмотки.

Как следует из (3) значение магнитного потока определяется в основном первичным напряжением:

U 1 /4,44f 1 W 1 (4) и при U1 = const также Фm

При холостом ходе трансформатор потребляет из сети такой ток I x = I 1 , который нужен для создания необходимого потока при данном напряжении U 1 .

Значение потока Ф m всегда таково, что индуктируемая им ЭДС E 1 вместе с падением напряжения I 1 Z 1 в соответствии с уравнением (1) уравновешивают приложенное напряжение U 1 .

При подключении к вторичной обмотке нагрузки в ней протекает ток I 2 . Магнитодвижущая сила вторичной обмотки (ее число витков W 2 )

W 2 I 2 = W 1 I 2 ’ (5)

стремится создать в магнитопроводе свой поток и изменить, таким образом, поток, существовавший в режиме холостого хода. Однако, как отмечено выше, при U 1 =const этот поток существенным образом измениться не может (см. формулу 4). Поэтому первичная обмотка будет потреблять из сети, кроме намагничивающего тока I x , дополнительный ток (–I 2 ’) такой величины, что создаваемая им МДС (–W 1 I 2 ’) уравновесит МДС W 1 I 2 ’ вторичной обмотки.

Ток (–I 2 ’), уравновешивающий в магнитном отношении вторичный ток I 2 ’, называется нагрузочной составляющей первичного тока.

Полный первичный ток I 1 состоит из намагничивающей I x и нагрузочной (–I 2 ’) составляющих:

Равенство (6) называется уравнением равновесия МДС обмоток приведенного трансформатора.

Умножив равенство (6) на число витков первичной обмотки W 1 , после несложных преобразований, запишем:

W 1 I 1 + W 2 I 2 = W 1 I x . (7)

На основании уравнения (7) справедливо утверждение: поток магнитопровода трансформатора создается суммой МДС первичной W 1 I 1 и вторичной W 2 I 2 обмоток при нагрузке трансформатора или, что тоже, — МДС первичной обмотки W1Ix при холостом ходе трансформатора.

Комплексные уравнения (1), (2) и (6) являются уравнениями равновесия ЭДС (напряжений) и МДС трансформатора при установившемся симметричном режиме работы.

3.2.3. Векторные диаграммы трансформатора

Векторные диаграммы позволяют проанализировать работу трансформатора. Эти диаграммы являются графическим изображением уравнений (1), (2) и (6).

На рис.1.3а изображена векторная диаграмма трансформатора для случая смешанной активно-индуктивной R-L нагрузки. Ток I 2 ’ отстает от ЭДС E 2 ’ на некоторый угол y 2 , значение которого определяется характером нагрузки.

Из диаграммы рис.1.3а следует, что при U 1 = const и неизменном характере нагрузки ( y 2 = const) увеличение величины нагрузки (то есть тока I 2 ’) вызывает уменьшение вторичного напряжения U 2 ’.

На рис.1.3б приведена векторная диаграмма для случая смешанной активно-емкостной R-C нагрузки, когда вектор тока I 2 ’ опережает вектор E 2 ’ на угол y 2 .

Из диаграммы рис.1.3б следует, что при U 1 = const и неизменном характере нагрузки ( y 2 = const) увеличение величины нагрузки (то есть тока I 2 ’) может вызвать увеличение вторичного напряжения U 2 ’.

Диаграммы, представленные на рис.1.3 полностью отражают рабочие процессы, происходящие в трансформаторе, однако производить расчет по этим диаграммам затруднительно. Объясняется это и тем, что индуктивные сопротивления рассеяния обмоток X 1 и X 2 определить опытным путем не представляется возможным. Однако опытным путем находится сумма сопротивлений X к =X 1 + X 2 ’.

Упрощенная векторная диаграмма соответствует упрощенной схеме замещения трансформатора (см. рис.1.2б), в которой намагничивающий ток I x принят равным нулю (это правомерно, так как ток холостого хода I x составляет несколько процентов от номинального первичного тока). В этой схеме трансформатор эквивалентируется сопротивлением Z к =Z 1 + Z 2 ’.

Комплексные уравнения равновесия ЭДС (напряжений) и МДС трансформатора при установившемся симметричном режиме работы для упрощенной схемы замещения записываются в виде:

U 1 = –E 1 +I 1 Z 1 , U 1 = –U 2 ’ + I 1 Z 2 ’+I 1 Z 1 = –U 2 ’ + I 1 (Z 1 + Z 2 ’) = –U 2 ’ + I 1 Z к (1)

Перепишем уравнение (2) с учетом (6а):

–E 2 ’= – E 1 = –U 2 ’ + I 1 Z 2 ’ . (8)

Подставив (8) в (1), получим комплексное уравнение в соответствии с которым строится упрощенная векторная диаграмма трансформатора:

U 1 = –U 2 ’ + I 1 Z 2 ’+I 1 Z 1 = –U 2 ’ + I 1 (Z 1 + Z 2 ’) = –U 2 ’ + I 1 Z к , (9) где Z к = R к +jX к = (R 1 + R 2 ’) +j(X 1 + X 2 ’) — сопротивления обмоток трансформатора; сопротивления Z к , R к , X к определяются из опыта короткого замыкания трансформатора.

На рис.1.4 изображена упрощенная векторная диаграмма трансформатора при активно-индуктивной R-L нагрузке. Из этой диаграммы нетрудно сделать вывод о влиянии характера нагрузки (угол y 2 ) на величину напряжения U 2 ’.

____________________________________ * В описаниях работ комплексные величины в тексте отмечены символами с подчёркиванием, на рисунке — с точкой

Трансформаторы. Режимы работы и рабочие характеристики

Введение.

В первой части нашей статьи мы рассмотрели устройство трансформатора, принцип действия и виды трансформаторов. Теперь поговорим о них более детально.

Режимы работы трансформатора

Холостой ход однофазного трансформатора

Приведенные при рассмотрении принципа действии трансформатора соотношения справедливы лишь для идеального трансформатора, в котором пренебрегают сопротивлениями обмоток и потерями в сердечнике и считают, что магнитный поток замыкается только по сердечнику. В реальных условиях необходимо учитывать падения напряжения в обмотках и фактическую картину распределения магнитных полей. В частности, при холостом ходе МДС F₀ кроме основного магнитного потока взаимоиндукции Ф₀, замыкающегося по сердечнику, создает магнитный поток рассеяния Ф_рс1, который замыкается, в основном, по воздуху и сцепляется только с первичной обмоткой (рис. 1).

Рис. 1 — Холостой ход однофазного трансформатора

Под действием этого магнитного потока в первичной обмотке индуктируется ЭДС самоиндукции е_рс₁, действующее значение которой обычно рассчитывают по соотношению

где х_рс₁ — индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки.

Для упрощения записи это сопротивление часто обозначают просто х₁ Оно равно

где L₁ — индуктивность рассеяния, определяемая по специальным формулам.

Таким образом, реально существующий магнитный поток рассеяния Ф_рс₁ первичной обмотки и соответствующая ему ЭДС Е_рс₁ учитываются путем введения некоторого индуктивного сопротивления рассеяния х₁, падение напряжения на котором уравновешивает ЭДС, т.е. в векторной форме равенство

записывают в виде

Такой подход значительно упрощает анализ и расчет режимов работы трансформатора. Сопротивление х₁ практически постоянно, а величина Е_рс1 пропорциональна току первичной обмотки.

Полное сопротивление первичной обмотки, кроме сопротивления х₁ учитывает также активное сопротивление r₁, т.е.

Электрическая схема замещения фазы первичной обмотки трансформатора на холостом ходу полностью аналогична схеме замещения катушки со стальным сердечником (рис. 2).

Рис. 2 — Электрическая схема замещения фазы трансформатора на холостом ходу

Уравнение электрического равновесия трансформатора для режима холостого хода может быть записано в виде

Таким образом, подводимое к первичной обмотке напряжение уравновешивается ЭДС самоиндукции Е₁₀ и падением напряжения на сопротивлениях r₁ и х₁ обмотки. Поскольку падение напряжения достаточно мало, последнее уравнение для режима холостого хода часто записывают в виде

Векторная диаграмма трансформатора в режиме холостого хода является графической иллюстрацией и решением уравнений

Векторы как это следует из уравнений

отстают от вектора Фом на 90° (рис.3). Величина напряжения U₂₀ =Е₂₀ отличается от Е₁₀ в отношении коэффициента трансформации. Ток холостого хода I₀ не синусоидален и его представляют в виде двух составляющих: I₀_а — активной, определяющей потери энергии в стали сердечника и в обмотке; I₀_р — реактивной, необходимой для создания МДС F₀ и потоков Ф₀ и Ф_рс₁.

Рис. 3 — Векторная диаграмма холостого хода трансформатора

Таким образом, можно записать

Работа трансформатора под нагрузкой

Нагрузочным или рабочим называется режим работы трансформатора, при котором к первичной обмотке подведено напряжение U₁, а к вторичной подключены потребители Z_Н (рис. 4), так что I₂ > 0.

Рис. 4 — Нагрузочный режим однофазного трансформатора

Это основной режим, при котором вторичный ток изменяется в пределах 0 Режим короткого замыкания

Короткое замыкание (к.з.) трансформатора представляет собой такой режим его работы, когда вторичная обмотка замкнута накоротко (Z_н = 0) и, следовательно, вторичное напряжение U₂ равно нулю.

При внезапном коротком замыкании, когда к первичной обмотке подводится номинальное напряжение, токи в обмотках превышают номинальные значения в 10…20 раз. Такое к.з. может иметь место при эксплуатации трансформатора и является аварийным. Возникают недопустимые перегревы обмоток и значительные электродинамические усилия, которые приводят к разрушению трансформатора. Для защиты трансформатора от коротких замыканий применяются быстродействующие автоматы защиты.

В процессе испытания трансформаторов производят опыт короткого замыкания, но при таком пониженном первичном напряжении, чтобы токи в обмотках были равны номинальным. Это напряжение, выраженное в % от номинального (u_к %), заносится на заводскую табличку трансформатора. Измерения при таком испытательном коротком замыкании, также как и измерения при холостом ходе позволяют определить ряд важных параметров трансформатора.

Приведенный трансформатор

Приведение вторичной обмотки трансформатора к первичной

Для упрощения анализа и расчета режимов работы трансформатора пользуются способом, при котором одна из его обмоток приводится к другой. Смысл приведения состоит в том, чтобы сделать ЭДС первичной и вторичной обмоток одинаковыми, электромагнитную связь между обмотками заменить электрической связью и получить единую электрическую схему замещения трансформатора, построить другую, более простую и наглядную векторную диаграмму. Чаще всего вторичную обмотку приводят к первичной. Для этого условно заменяют реальную вторичную обмотку некоторой фиктивной обмоткой с числом витков:

т.е. увеличивают число ее витков в k раз. Таким образом, коэффициент приведения вторичной обмотки к первичной равен коэффициенту трансформации. Все параметры приведенной обмотки обозначают со штрихами:

и т.д. В приведенной обмотке в соответствии с новым числом витков увеличиваются все ЭДС, напряжения и падения напряжения, т.е.:

Важным условием приведения является то, чтобы мощности и потери энергии во вторичной обмотке не изменялись. Для этого должны выполняться равенства:

из которых получаются соотношения для тока и активного сопротивления приведенной вторичной обмотки:

Аналогично последнему соотношению изменяются индуктивное сопротивление рассеяния приведенной вторичной обмотки и параметры нагрузки:

Для полных сопротивлений справедливы соотношения:

Если таким образом изменить (условно конечно) все электрические величины вторичной обмотки, то энергетические соотношения в реальном и приведенном трансформаторе сохраняются без изменений и поэтому приведение правомерно. При этом необходимо помнить, что приведение — это чисто аналитический прием, позволяющий упростить расчеты и анализ физических процессов в реальном трансформаторе.

Схема замещения и уравнения электрического равновесия приведенного трансформатора

Поскольку в приведенной вторичной обмотке ЭДС

равна ЭДС E₁, то оказывается возможным схемы замещения первичной обмотки (рис. 5,а) и вторичной обмотки (рис. 5,б) с измененными параметрами объединить в одну схему замещения, соединив электрически точки равного потенциала. Такая полная двухконтурная схема замещения показана на рис. 7. Ее часто называют Т-образной схемой замещения приведенного трансформатора.

Рис. 7 — Т-образная схема замещения приведенного трансформатора

На этой схеме ветвь c – d с сопротивлениями r_m и x_m и током I₀ называют ветвью намагничивания, ветвь А – с с током I₁ — первичной ветвью, ветвь с – а– х – d с током

— вторичной ветвью или вторичным контуром.Параметры схемы имеют строго определенные наименования: r_m — активное сопротивление ветви намагничивания, учитывающее потери в стали магнитопровода на перемагничивание и вихревые токи:

— индуктивное сопротивление взаимоиндукции (ветви намагничивания).

поэтому принимают, что:

r₁ и r₂’ — активные сопротивления первичной и приведенной вторичной обмоток; x₁ и x₂ ‘ — индуктивные сопротивления рассеяния первичной и приведенной вторичной обмоток;

— приведенное сопротивление нагрузки. Уравнения равновесия токов и ЭДС приведенного трансформатора записываются на основании 1 и 2 законов Кирхгофа:

Полная векторная диаграмма приведенного трансформатора (рис.8) является графическим решением приведенных уравнений электрического равновесия.

Рис. 8 — Векторная диаграмма приведенного трансформатора

Она объединяет векторные диаграммы первичной и вторичной обмоток, показанные на рис. 6 , при этом векторы ЭДС

между собой, а все построения для вторичной обмотки производятся для приведенных параметров.

Как отмечалось выше, в режимах номинальной нагрузки ток холостого хода I₀ очень мал по сравнению с током I₁_н. Тем более он несоизмеримо мал по сравнению с током короткого замыкания, поэтому в этих режимах им можно пренебречь и в расчетах пользоваться упрощенной схемой замещения (рис. 9).

Рис. 9 — Упрощенная схема замещения приведенного трансформатора

Сопротивления r_k = r₁ +r₂ ‘ и x_k= x₁ + x₂называют сопротивлениями короткого замыкаия.

Уравнения электрического равновесия для упрощенной схемы имеют вид:

Опытное определение параметров схемы замещения трансформатора

Для определения параметров схемы замещения трансформатора проводят его испытания в режиме холостого хода и опытного короткого замыкания.

Схема опыта холостого хода приведена на рис.10 . Первичную обмотку подключают на номинальное напряжение и измеряют ток холостого хода I₀ , мощность P₀, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке U₂₀ .

Рис. 10 — Схема опыта холостого хода

Мощность P₀, потребляемая из сети, расходуется на потери в меди ?P_m₁ = I₀ 2 r₁ и потери в стали ?P_ст= I₀ 2 r_m при этом, поскольку r_m»r₁, потерями в первичной обмотке ?P_m₁ пренебрегают и считают, что вся потребляемая из сети мощность расходуется на потери в стали, т.е.:

Исходя из схемы замещения (рис. 5, а ) и пренебрегая величиной z₁ по сравнению с z_m можно определить величину z_m из соотношения:

Коэффициент мощности при холостом ходе определяется из соотношения:

Коэффициент трансформации равен:

Схема опыта короткого замыкания приведена на рис. 11.

Рис. 11 — Схема опыта короткого замыкания

В этом опыте вторичная обмотка замыкается накоротко, а на первичной обмотке с помощью регулятора устанавливают такое напряжение U₁_k, при котором ток в первичной обмотке равен номинальному I₁_k = I₁_н. Величина U₁_k имеет весьма важное эксплуатационное значение и всегда указывается на щитке трансформатора. Обычно она указывается в процентах от номинального напряжения и для однофазных трансформаторов составляет 3%…5%.

Поскольку в рассматриваемом режиме U₂=0, то трансформатор не отдает потребителю полезной мощности и вся мощность P₁_k, потребляемая из сети, расходуется на потери. Т.к. потери в стали ?Р_ст пропорциональны квадрату магнитной индукции ?Р_ст ? В 2 ? Е 2 ? U₁ 2 , то, ввиду малости напряжения U₁_k, этими потерями пренебрегают и считают, что вся потребляемая мощность расходуется на потери в обмотках, т. е:

Полное сопротивление короткого замыкания равно:

Принимая далее, что :

получаем все параметры Т-образной схемы замещения трансформатора.

Рабочие характеристики трансформатора

Зависимость вторичного напряжения трансформатора от величины и характера нагрузки

Изменением напряжения двухобмоточного трансформатора при заданной нагрузке называется выраженная в процентах от номинального вторичного напряжения разность:

где U₂_o и U₂_н — вторичные напряжения при холостом ходе и при нагрузке.

Существуют определенные ГОСТом допустимые нормы изменения напряжения трансформатора при номинальной нагрузке. Часто в конструкции трансформатора предусматривается возможность в небольших пределах регулировать вторичное напряжение путем изменения числа витков первичной или вторичной обмоток, имеющих дополнительные выводы.

Физически влияние величины нагрузки на вторичное напряжение объясняется изменением (увеличением) падения напряжения на сопротивлениях обмоток трансформатора при увеличении тока нагрузки I₂ (или I₂’).

Логическая цепочка этого процесса такова:

При возрастании тока увеличивается и ток I1 вызывая увеличение падения напряжения в сопротивлениях первичной обмотки. Поскольку:

то это приводит к некоторому снижению ЭДС E₁, и соответствующему изменению магнитного потока взаимоиндукции, а это влечет за собой уменьшение . В свою очередь падение напряжения на сопротивлениях вторичной обмотки создают дополнительные изменения напряжения .

Влияние характера нагрузки (отношения x_н /r_н) на величину вторичного напряжения при неизменном токе нагрузки удобно проследить, пользуясь упрощенной векторной диаграммой (рис. 1), на которой показаны режимы работы трансформатора для случаев ?₂ > 0, ?₂ = 0 и ?₂ 0) и чисто активной нагрузке (?₂ = 0) приведенное вторичное напряжение меньше первичного напряжения .

При активно-емкостной нагрузке (?₂ Внешняя характеристика трансформатора

Внешней характеристикой трансформатора называют зависимость:

при и cos?₁ = const (рис. 13).

Рис. 13 — Внешняя характеристика трансформатора

Из рис. 13 следует, что внешняя характеристика трансформатора при увеличении тока нагрузки до номинального является достаточно жесткой. Изменение напряжения составляет всего несколько процентов и зависит от характера нагрузки, что находится в соответствии с векторной диаграммой (рис. 12 ).

При активной и активно-индуктивной нагрузке напряжение уменьшается, при активно-емкостной нагрузке оно может несколько возрастать. На практике величина изменения напряжения обычно рассчитывается по приближенной формуле:

где ? = I₂/I₂_н нагрузка трансформатора в относительных единицах;

Потери в трансформаторе и его КПД

Трансформатор потребляет из сети мощность:

где m₁ – число фаз.

Часть этой мощности, как отмечалось, теряется в виде потерь в обмотках:

другая часть — в виде потерь в сердечнике на гистерезисе и вихревые токи.

Электромагнитная мощность:

передается во вторичную обмотку посредством магнитного поля.

Полезная мощность равна:

мало изменяются при изменении нагрузки и относятся к категории постоянных потерь. Потери в обмотках:

являются переменными т.к. изменяются при изменении тока. Коэффициент полезного действия трансформатора показывает соотношение между мощностью, которая передается из первичной обмотки во вторичную и обратно, и мощностью, которая преобразуется в тепло. КПД определяется по формуле:

КПД силовых трансформаторов обычно достигает 94…98%. Рассчитывают трансформаторы таким образом, чтобы КПД имел наибольшее значение при нагрузке ? = 0,5 – 0,7 от номинальной. Обычно трансформаторы работают с некоторой недогрузкой — в области максимального значения КПД рис. 14.

Рис. 14 — Коэффициент полезного действия трансформатора

При передаче значительной реактивной мощности (при уменьшении cos?₂) КПД уменьшается, что показано на рис. 1, кривая 2.

Параллельная работа трансформаторов

Параллельная работа трансформаторов возможна лишь в том случае, если в обмотках трансформаторов не возникают уравнительные токи, а нагрузка распределяется пропорционально номинальным мощностям трансформаторов. Практически это сводится к выполнению следующих условий:

1. Напряжения обмоток высшего и низшего напряжения, указанные на заводских табличках, должны быть соответственно равны, т.е. должны быть равны коэффициенты трансформации k₁ = k₂ …k_n.

2. Напряжения короткого замыкания u_к, указываемые на заводских табличках трансформаторов, должны быть также равны; при параллельной работе трансформаторов допускают отклонения в пределах ±10 %.

3. Мощности параллельно работающих трансформаторов не должны значительно отличаться одна от другой. Допускается различие мощностей не больше чем в 3 раза.

4. Схемы и группы соединений обмоток трансформаторов, предназначенных для параллельной работы, должны быть одинаковыми. Это требование может быть выполнено, если условные обозначения схем и групп соединений, указанные на заводских табличках, будут одинаковыми.

5. Обмотки фаз трансформаторов, включенных для параллельной работы, должны совпадать, т. е. одинаково обозначенные выводы обмоток фаз должны быть присоединены к одной, а не к разным шинам.

Рассмотрим последствия нарушения названных условий.

Допустим, что не выполнено первое условие (k₁ Е₂. Под действием возникшей разности потенциалов в замкнутом контуре вторичных обмоток пойдет уравнительный ток, который создаст падение напряжения в обмотках. В трансформаторе 1 это вызовет уменьшение напряжения на зажимах вторичной обмотки, в трансформаторе 2 – увеличение вторичного напряжения. В результате напряжение на внешних шинах будет иметь среднее значение. При нагрузке уравнительный ток накладывается на ток нагрузки, вследствии чего трансформатор 1 будет перегружен, а трансформатор 2 – недогружен. ГОСТ допускает расхождение в коэффициентах трансформации не больше ±0,5% от их среднего значения.

Если трансформаторы имеют неодинаковые номинальные напряжения короткого замыкания u_1К ? u_2К, значит неодинаковы сопротивления короткого замыкания Z_1К ? Z_2К. При работе трансформаторов в параллель напряжения вторичных обмоток одинаковы т. е. I₁₂Z_1К = I₂₂Z_2К, а это возможно лишь при неодинаковых токах трансформаторов. Это значит, что при параллельной работе трансформаторов нагрузка между ними будет распределяться непропорционально их номинальным мощностям. Чтобы не вызвать аварии трансформатора, имеющего меньшее значение u_К, необходимо снижать общую нагрузку. Это ведет к неполному использованию трансформаторов. Согласно ГОСТ необходимо, чтобы разница напряжений короткого замыкания не превышала ±10% от их среднего значения, а соотношение номинальных мощностей параллельно работающих трансформаторов было не больше, чем 3:1.

Несоблюдение четвертого условия вызывает настолько большой уравнительный ток, что трансформаторы могут выйти из строя из-за перегрева обмоток. Даже при минимальном расхождении групп соединения трансформаторов (например, у одного группа ?/? – 0, а у другого ?/? – 11) уравнительный ток будет примерно в 5 раз больше номинального, что равносильно короткому замыканию.

Во избежание ошибок присоединение трансформаторов к сети без нулевого провода ( пятое условие ) производят следующим образом. Включают оба трансформатора со стороны высшего напряжения, затем один из них присоединяют к шинам низкого напряжения выводами обмоток всех фаз, а другой — выводами обмотки одной фазы, например С. Затем между выводами обмоток фаз В и А второго трансформатора и шинами низкого напряжения, к которым соответственно присоединены выводы обмоток фаз В и А первого трансформатора, включают вольтметр или лампу. Если обозначения выводов обмоток фаз на трансформаторах нанесены правильно, то между всеми парами одноименных выводов напряжение равно нулю (лампа не горит или вольтметр показывает нуль) и выводы В и А второго трансформатора могут быть соединены с шинами, к которым соответственно присоединены выводы В и А первого трансформатора.

Контрольные лампы или вольтметры при указанной проверке должны быть взяты на двойное рабочее напряжение трансформатора со стороны низшего напряжения.

Уравнения мдс уравнения токов трансформатора

3.2.2. Уравнения равновесия ЭДС и МДС трансформатора*

U 1 = –E 1 +I 1 (R 1 +jX 1 )= –E 1 +I 1 Z 1 , (1)

U 2 ’= E 2 ’ – I 2 ’ (R 2 ’+jX 2 ’ )= E 2 ’ – I 2 ’Z 2 ’ . (2)

U 1 . В свою очередь действующее значение ЭДС E₁ пропорционально амплитуде магнитого потока в магнитопроводе Ф m

E 1 = 4,44f 1 W 1 Ф m , (3)
где W₁ — число витков фазы первичной обмотки.

Как следует из (3) значение магнитного потока определяется в основном первичным напряжением:

U 1 /4,44f 1 W 1 (4)
и при U₁ = const также Ф_m

W 2 I 2 = W 1 I 2 ’ (5)

Полный первичный ток I 1 состоит из намагничивающей I x и нагрузочной (–I 2 ’) составляющих:

Равенство (6) называется уравнением равновесия МДС обмоток приведенного трансформатора.

Умножив равенство (6) на число витков первичной обмотки W 1 , после несложных преобразований, запишем:

W 1 I 1 + W 2 I 2 = W 1 I x . (7)

На основании уравнения (7) справедливо утверждение: поток магнитопровода трансформатора создается суммой МДС первичной W 1 I 1 и вторичной W 2 I 2 обмоток при нагрузке трансформатора или, что тоже, — МДС первичной обмотки W₁I_x при холостом ходе трансформатора.

3.2.3. Векторные диаграммы трансформатора

U 1 = –E 1 +I 1 Z 1 , U 1 = –U 2 ’ + I 1 Z 2 ’+I 1 Z 1 = –U 2 ’ + I 1 (Z 1 + Z 2 ’) = –U 2 ’ + I 1 Z к (1)

Перепишем уравнение (2) с учетом (6а):

–E 2 ’= – E 1 = –U 2 ’ + I 1 Z 2 ’ . (8)

U 1 = –U 2 ’ + I 1 Z 2 ’+I 1 Z 1 = –U 2 ’ + I 1 (Z 1 + Z 2 ’) = –U 2 ’ + I 1 Z к , (9)
где Z к = R к +jX к = (R 1 + R 2 ’) +j(X 1 + X 2 ’) — сопротивления обмоток трансформатора; сопротивления Z к , R к , X к определяются из опыта короткого замыкания трансформатора.

____________________________________
* В описаниях работ комплексные величины в тексте отмечены символами с подчёркиванием, на рисунке — с точкой

источники:

http://www.radioingener.ru/transformatory_part2/

http://zei.narod.ru/resource/t1/6-2.html