Уравнения методом введения новой переменной 9 класс

Ткрытый урок в 9 классе по теме :»Решение целых уравнений введением новой переменной:

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок в 9 классе

«Решение целых уравнений введением новой переменной»

(технология дифференцированного обучения).

Разработала : учитель математики МБОУ СОШ№2

Печковская Людмила Сергеевна

г.Белореченск Краснодарский край

Цели урока – рассмотреть решения целых уравнений различных типов путём введения новой переменной.

— закрепить знания учащихся по решению целых уравнений, способствовать выработке навыков решения уравнений различных типов;

— применение знаний, умений, навыков при решении различных типов уравнений, развитие творческих и познавательных способностей учащихся.

— развитие навыка самостоятельности ,ответственности , самоконтроля в работе.

Оборудование : интерактивная доска, слайды.

Мобилизующее начало урока: сообщение темы, цели и хода урока.

Проверка выполнения домашнего задания :

а) групповая перед уроком самими учащимися;

б) слайд № 1: учитель отвечает на возникшие вопросы при выполнении

домашней работы по своему решению;

в) выборочная ( во время устной работы класса 4 «слабых» ученика выполняют самостоятельно по своему усмотрению одно из заданий из домашней работы на листочках ) – учитель отвечает на вопросы и оценивает работу каждого.

3. Устная работа ( в это время на доске 3 ученика выполняют самостоятельно работу по карточкам ) – учитель проверяет, отвечает на вопросы и оценивает работу каждого.

Решить уравнение: 3х 2 + 3 _ 2 – 4х — 2 [ Ответ: -2; 1⅓].

Решить уравнение: 3х 4 – 2х 2 – 1 = 0 [ Ответ: 1; -1].

Решить уравнение : ( х 2 – 4 ) ( х 2 + 4 ) – (26х 2 — 41)=0 [Ответ:1; -1; 5; -5]

4. Решение целых уравнений различных типов.

Решить уравнение ( х 2 – 7 ) 2 – 4( х 2 – 7) – 45 = 0.

Вопросы учителя: C каким видом уравнения можно сравнить данное? Как к нему прийти? Знаем ли этот способ?

Оформление решения показывает учитель.

Введём новую переменную у = х 2 -7.

Тогда уравнение примет вид :

у = 9,

Имеем, х 2 – 7 = 9 или х 2 – 7 = -5

х = 4, х = √2,

а) (х 2 – х + 1) (х 2 – х – 7 ) = 65 Обсуждается способ решения. Способ найден. Ученики пытаются выполнить задание самостоятельно, при необходимости учитель консультирует индивидуально. По желанию 2 «сильных» ученика решают на поворотной доске. Учитель отвечает на вопросы, проверяет и оценивает работу учеников на местах , затем предлагает классу сверить свое решение с решением на поворотных доскох.

Ответ: а) 4; -3 б) 1; -1; 5; -5.

Задание № 3. Самостоятельная работа «слабых» учеников в паре на листочках. Учитель собирает, проверяет и оценивает работы.

УМК Ю.Н.Макарычев и др. №276 (а,в).

Ответы ученики проверяют по учебнику. Можно пользоваться шаблоном решения из рабочей тетради.

Задания № 4, 5, 6 -Тем временем работа с «сильными» учениками.

Слайд № 5 – ученикам предлагаются 3 уравнения :

— рассматривается первое уравнение;

— способ решения найден;

— желающие продолжают решение на доске;

— группа учеников ищут решение второго уравнения;

— после проверки решения первого уравнения обсуждается способ решения второго и т.д.;

— учитель поощряет учеников оценками за предложенные идеи.

Учитель консультирует, отвечает на вопросы, проверяет и оценивает работу.

Решить уравнение: (х + 1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = 945.

Проблемная ситуация — уравнение другого вида, но почему то рассматривается сейчас, когда применяем метод введения новой переменной.

Учитель рассматривает все предложения учеников. Способ решения – заменить трёхчленами произведение крайних множителей и произведение средних множителей.

Решение: ( х 2 + 8х + 7 ) ( х 2 + 8х + 15) = 945.

Введём новую переменную у = х 2 + 8х.

Тогда уравнение примет вид :

( у + 7) ( у + 15) = 945 ;

у 2 + 22 у – 840 = 0 ;

у= -42 ;

Имеем, х 2 + 8х = -42 или х 2 + 8х = 20.

нет корней х = -10;

(х 2 +2х) 2 – (х + 1) 2 = 55;

Проблемная ситуация: данное уравнение в этой теме, почему? Значит, можно решить путём введения новой переменной. Как преобразовать левую часть уравнения? Способ решения найден – ( х + 1) 2 = х 2 + 2х + 1.

Решить уравнение : х 2 – 4 + х _ = 3⅓

Проблемная ситуация: данное уравнение в этой теме, почему?

Способ решения найден. Вводим новую переменную У = х 2 – 4

Уравнение примет вид: у + 1 = 3⅓

Ответ : 4 ; -1; 1 + √145 ; 1 — √145

5 . Домашнее задание :

Обязательный уровень : УМК Ю.Н. Макарычев и др. № 276(б,г), №282(а);

Творческий уровень: №274 (а), №370(а).

— оценку за работу на уроке получил каждый ученик ;

— учитель доволен объёмом выполненной работы.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 476 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 25.01.2016
• 612
• 0

• 25.01.2016
• 4355
• 19

• 25.01.2016
• 1106
• 0

• 25.01.2016
• 451
• 0

• 25.01.2016
• 489
• 3

• 25.01.2016
• 491
• 0

• 25.01.2016
• 1143
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.01.2016 1787
• DOCX 108.5 кбайт
• 56 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Печковская Людмила Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 17337
• Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Метод введения новых переменных. 9 класс

Тема «Метод введения новых переменных»

Цели:

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность в приобретении новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Просмотр содержимого документа
«АЛГОРИТМЫ матем»

СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ (алгоритм)

Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.

Решить получившееся уравнение с одной переменной.

Подставить значение найденной переменной в одно из уравнений системы и найти значение другой переменной.

СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ (алгоритм)

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую.

Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и

Вычислить значение второй переменной.

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ (алгоритм)

Выразить у через х в каждом уравнении.

Построить в одной системе координат график каждого уравнения.

Определить координаты точек пересечения

АЛГОРИТМ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Ввести одну или две новые переменные.

2. Записать новое уравнение или систему уравнений.

3. Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введённых переменных.

4. Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.

5. Записать ответ.

Просмотр содержимого документа
«Открытый урок по мат 9 кл Метод введения новых переменных.»

Наш урок начнем со слов Самуила Маршака:

Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет

Тема «Метод введения новых переменных»

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность в приобретении новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Оптимально использовать методы обучения, соответствующие возрасту и развитию учащихся, для формирования знаний по изучаемой на уроке теме.

1.Создать условия для развития познавательной деятельности учащихся.

2.Способствовать формированию умений переносить знания в новую ситуацию.

3.Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память.

Содействовать воспитанию интереса к математике, формировать у учащихся умение осмысленно, целенаправленно организовывать на уроке свою деятельность, осознавать значимость каждого шага для себя.

Воспитывать ответственность за грамотно сформулированные и лаконичные ответы.

Тип урока – изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма работы – индивидуальная, групповая, парная.

Оборудование: презентация, карточки, маршрутный лист.

1.Организационный этап – 2 мин

2. Актуализация опорных знаний (повторить способы решения систем) – 10 мин.

3. Постановка проблемы. Мотивирование к учебной деятельности (анализ системы, постановка цели) – 3 мин.

4. Открытие нового знания – 19 мин

5. Физкультминутка – 1 мин

6. Первичное закрепление. (работа в парах) – 10 мин

7. Домашнее задание 6.9 (в), 6.10 (в)

8. Рефлексия. Подведение итогов – 5 мин.

Дидактическая задача: создание комфортной образовательной среды (приветствие. создание положительного эмоционального настроя учащихся)

2. Актуализация опорных знаний.

Задание 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. (индивидуальная работа)

Формулы; 1) у = х 2 2) у = — 3) у = 3х 4) у = Ответ:

За правильное решение 1 балл.

Задание 2. Выразите переменную: (индивидуальная работа)

x 2 + y – 2x = 8 y = ……..

За каждое правильное решение 1 балл.

Задание 3. Сколько решений имеет система уравнений, графики которых изображены

на рисунке: (индивидуальная работа)

4.

Ответ:

За правильное решение 1 балл.

Задание 4. Решите систему уравнений применив любой метод (графический метод, метод сложения, метод подстановки) (работа в парах)

За правильное решение 2 балла.

3. Постановка проблемы. Мотивирование к учебной деятельности.

На доске записаны системы уравнений

Учитель: Сегодня я вам предлагаю решить системы

1)

= 2

Какой известный вам метод будете использовать для решения систем? (ни один не подходит) Что будем делать? (проблема)

Подсказка. 1) Установите связь между слагаемыми в первом уравнении.

2) С помощью чего можно упростите запись данного уравнения ?

Ответ учащегося: введём новую переменную.

Формулируется вместе с учащимися тема урока «Метод введения новых переменных», ставится цель – чему сегодня необходимо научиться (научиться решать систему уравнений методом введения новых переменных)

Найдите одинаковое буквенное выражение . ;

Формулируется вместе с учащимися тема урока «Метод введения новой переменной», ставится цель — чему сегодня необходимо научиться. (научиться решать систему уравнений методом введения новой переменной)

4. Открытие нового знания. Решим системы.

Совместно с учащимися решается данная система 1.

введём новую переменную:

Замена , тогда . Решая уравнение получаем t =2 или t =0,5. Обратная замена

или .

Вопрос: Назовите уравнение которое не использовали и составим системы

. или Решая их, получаем ответ (2;1); (-2;-1). Вторая система не имеет решения.

Решим 2 вторую систему.

= 2

Что особенного во второй системе? Как будем решать? (введём новые переменные. Введение новых переменных что позволяет сделать? Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему.

а + 3 = а, у – 1 = b .

Записать и решить систему. Записать алгоритм решения системы уравнений методом введения новых переменных

Наклонитесь на спинку стула, закройте глаза, досчитайте до 5, откройте глаза и проследите за движение шарика на экране.

Решение уравнений методом введения новой переменной, теория, практика

В этой статье мы всесторонне разберем метод введения новой переменной. Здесь мы выясним, для решения каких уравнений этот метод предназначен, проникнем в его суть, приведем обоснование метода, доказав соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной и рассмотрим решения характерных примеров.

Когда применяется и в чем суть метода

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная. Для лучшего восприятия приведем примеры таких уравнений:

• (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 , это уравнение имеет вид f(g(x))=0 , здесь g(x)=x 2 , а функция f такая, что f(t)=t 2 −3·t+2 ;
• , это уравнение вида f₁(g(x))=f₂(g(x)) , здесь в качестве g(x) можно рассматривать x 2 +2·x , тогда функции f₁ и f₂ таковы, что и ;
• , это уравнение, имеющее вид f(g(x))=0 , где , а функция f описывается как .

Понятно, что f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) — равносильные уравнения, так как уравнение f₁(g(x))=f₂(g(x)) приводится к виду f(g(x))=0 при помощи равносильного преобразования, заключающегося в переносе выражения f₂(g(x)) из правой части в левую с противоположным знаком. Поэтому дальнейшую теорию мы будем излагать только для уравнений вида f(g(x))=0 , это сделано в угоду краткости без ущерба для общности.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения f(g(x))=0 состоит во введении новой переменной t как g(x)=t с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения f(t)=0 с новой переменной t и использование равенства g(x)=t . Забегая немного вперед, скажем, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x , которые удовлетворяют условию g(x)∈T . В частности,

• если T – пустое множество, то есть, уравнение f(t)=0 не имеет решений, то условие g(x)∈T определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;
• если T – конечное множество, то есть, уравнение f(t)=0 имеет n решений t₁, t₂, …, t_n , то условие g(x)∈T есть не что иное, как совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n .

Поясним на примере. Возьмем уже упомянутое выше уравнение (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 . Введение новой переменной x 2 =t позволяет от исходного уравнения перейти к кубическому уравнению t 3 −3·t+2=0 с новой переменной (заменяем в исходном уравнении x 2 на t ). Множество решений этого уравнения T (оно в нашем случае состоит из двух чисел t₁=1 и t₂=−2 , то есть, T= <−2, 1>) и использование равенства x 2 =t дают возможность определить все корни исходного уравнения. Они определяются по условию x 2 ∈ <−2, 1>, которое есть не что иное, как совокупность двух уравнений x 2 =−2 , x 2 =1 .

В основе метода введения новой переменной лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f(g(x))=0 есть множество значений переменной x , удовлетворяющих условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Приведем обоснование озвученного утверждения в следующем пункте.

Обоснование

Докажем утверждение, лежащее в основе метода введения новой переменной, которое мы привели в предыдущем пункте. Для этого нужно доказать два момента:

• что любой корень уравнения f(g(x))=0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 ,
• что любое значение переменной x , удовлетворяющее условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 , является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Начнем с первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 . Докажем, что x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Так как x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 , то f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. Из этого равенства следует, что g(x₀) – корень уравнения f(t)=0 . А из этого следует, что g(x₀) принадлежит множеству всех корней уравнения f(t)=0 .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части утверждения.

Пусть x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 . Докажем, что x₀ является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Так как x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , то g(x₀)∈T , то есть, g(x₀) – это один из корней уравнения f(t)=0 . Значит, f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 .

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

Приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнения f(g(x))=0 методом введения новой переменной:

• Вводится новая переменная t как g(x)=t , и осуществляется переход от исходного уравнения f(g(x))=0 со старой переменной x к уравнению f(t)=0 с новой переменной t .
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t₁ , то составляется уравнение g(x)=t₁ ,
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t₁, t₂, …, t_n , то составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n ,
  • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T , то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t₁)∪2>∪[t₃, t₄) , что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
• Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Решение примеров

Обычно первое знакомство с методом введения новой переменной происходит в школе в рамках темы «решение рациональных уравнений». В частности, рациональными являются биквадратные уравнения, стандартным методом решения которых как раз является метод введения новой переменной. Для примера приведем краткое решение методом введения новой переменной биквадратного уравнения x 4 −3·x 2 +5=0 . После представления его в виде (x 2 ) 2 −3·x 2 +5=0 , вводим новую переменную x 2 =t , это позволяет перейти к квадратному уравнению с новой переменной: t 2 −3·t+5=0 . Оно не имеет действительных корней, так как его дискриминант D=(−3) 2 −4·1·5=−11 – отрицательный, откуда заключаем, что исходное уравнение не имеет корней.

Среди рациональных уравнений масса и других типичных представителей, решающихся методом введения новой переменной. Такими, во-первых, являются уравнения, в которых переменная фигурирует только в одинаковых квадратных двучленах, например (x 2 −5·x+4)·(x 2 −5·x+6)=120 , (x 2 +5) 2 −11·(x 2 +5)+28=0 , . Во-вторых, через введение новой переменной решаются уравнения, в которых переменная находится только во взаимно обратных дробях, например, , здесь одна из дробей принимается за t , а другая, очевидно, выражается через t как 1/t , ведь на ОДЗ для данного уравнения . В-третьих, упомянем про возвратные уравнения, которые тоже решаются методом введения новой переменной, а именно . Решения подобных уравнений Вы без труда найдете в статье, упомянутой в первом предложении этого пункта, а также на страницах школьных учебников, например, [1, c. 74-75, 80; 2, с. 150-152; 3, с. 213-216].

Продвигаясь дальше в школьном курсе математики по пути знакомства с уравнениями, нам встречаются иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, и каждый раз мы возвращаемся к методу введения новой переменной для их решения. Для уравнений каждого вида есть свои особенности в плане введения новой переменной. Рекомендуем ознакомиться с ними в следующих материалах:

• решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной,
• метод введения новой переменной при решении показательных уравнений,
• решение показательных уравнений методом введения новой переменной,
• решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

В заключение покажем пример решения уравнения, которое после введения новой переменной имеет бесконечное множество решений. Подобные случаи встречаются крайне редко, и тем они еще более интересны. В них главное разобраться с особенностями возврата к старой переменной.

Решите уравнение