Уравнения методом введения новой переменной примеры

Решение уравнений методом введения новой переменной, теория, практика

В этой статье мы всесторонне разберем метод введения новой переменной. Здесь мы выясним, для решения каких уравнений этот метод предназначен, проникнем в его суть, приведем обоснование метода, доказав соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной и рассмотрим решения характерных примеров.

Когда применяется и в чем суть метода

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная. Для лучшего восприятия приведем примеры таких уравнений:

• (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 , это уравнение имеет вид f(g(x))=0 , здесь g(x)=x 2 , а функция f такая, что f(t)=t 2 −3·t+2 ;
• , это уравнение вида f₁(g(x))=f₂(g(x)) , здесь в качестве g(x) можно рассматривать x 2 +2·x , тогда функции f₁ и f₂ таковы, что и ;
• , это уравнение, имеющее вид f(g(x))=0 , где , а функция f описывается как .

Понятно, что f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) — равносильные уравнения, так как уравнение f₁(g(x))=f₂(g(x)) приводится к виду f(g(x))=0 при помощи равносильного преобразования, заключающегося в переносе выражения f₂(g(x)) из правой части в левую с противоположным знаком. Поэтому дальнейшую теорию мы будем излагать только для уравнений вида f(g(x))=0 , это сделано в угоду краткости без ущерба для общности.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения f(g(x))=0 состоит во введении новой переменной t как g(x)=t с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения f(t)=0 с новой переменной t и использование равенства g(x)=t . Забегая немного вперед, скажем, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x , которые удовлетворяют условию g(x)∈T . В частности,

• если T – пустое множество, то есть, уравнение f(t)=0 не имеет решений, то условие g(x)∈T определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;
• если T – конечное множество, то есть, уравнение f(t)=0 имеет n решений t₁, t₂, …, t_n , то условие g(x)∈T есть не что иное, как совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n .

Поясним на примере. Возьмем уже упомянутое выше уравнение (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 . Введение новой переменной x 2 =t позволяет от исходного уравнения перейти к кубическому уравнению t 3 −3·t+2=0 с новой переменной (заменяем в исходном уравнении x 2 на t ). Множество решений этого уравнения T (оно в нашем случае состоит из двух чисел t₁=1 и t₂=−2 , то есть, T= <−2, 1>) и использование равенства x 2 =t дают возможность определить все корни исходного уравнения. Они определяются по условию x 2 ∈ <−2, 1>, которое есть не что иное, как совокупность двух уравнений x 2 =−2 , x 2 =1 .

В основе метода введения новой переменной лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f(g(x))=0 есть множество значений переменной x , удовлетворяющих условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Приведем обоснование озвученного утверждения в следующем пункте.

Обоснование

Докажем утверждение, лежащее в основе метода введения новой переменной, которое мы привели в предыдущем пункте. Для этого нужно доказать два момента:

• что любой корень уравнения f(g(x))=0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 ,
• что любое значение переменной x , удовлетворяющее условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 , является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Начнем с первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 . Докажем, что x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Так как x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 , то f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. Из этого равенства следует, что g(x₀) – корень уравнения f(t)=0 . А из этого следует, что g(x₀) принадлежит множеству всех корней уравнения f(t)=0 .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части утверждения.

Пусть x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 . Докажем, что x₀ является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Так как x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , то g(x₀)∈T , то есть, g(x₀) – это один из корней уравнения f(t)=0 . Значит, f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 .

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

Приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнения f(g(x))=0 методом введения новой переменной:

• Вводится новая переменная t как g(x)=t , и осуществляется переход от исходного уравнения f(g(x))=0 со старой переменной x к уравнению f(t)=0 с новой переменной t .
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t₁ , то составляется уравнение g(x)=t₁ ,
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t₁, t₂, …, t_n , то составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n ,
  • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T , то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t₁)∪2>∪[t₃, t₄) , что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
• Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Решение примеров

Обычно первое знакомство с методом введения новой переменной происходит в школе в рамках темы «решение рациональных уравнений». В частности, рациональными являются биквадратные уравнения, стандартным методом решения которых как раз является метод введения новой переменной. Для примера приведем краткое решение методом введения новой переменной биквадратного уравнения x 4 −3·x 2 +5=0 . После представления его в виде (x 2 ) 2 −3·x 2 +5=0 , вводим новую переменную x 2 =t , это позволяет перейти к квадратному уравнению с новой переменной: t 2 −3·t+5=0 . Оно не имеет действительных корней, так как его дискриминант D=(−3) 2 −4·1·5=−11 – отрицательный, откуда заключаем, что исходное уравнение не имеет корней.

Среди рациональных уравнений масса и других типичных представителей, решающихся методом введения новой переменной. Такими, во-первых, являются уравнения, в которых переменная фигурирует только в одинаковых квадратных двучленах, например (x 2 −5·x+4)·(x 2 −5·x+6)=120 , (x 2 +5) 2 −11·(x 2 +5)+28=0 , . Во-вторых, через введение новой переменной решаются уравнения, в которых переменная находится только во взаимно обратных дробях, например, , здесь одна из дробей принимается за t , а другая, очевидно, выражается через t как 1/t , ведь на ОДЗ для данного уравнения . В-третьих, упомянем про возвратные уравнения, которые тоже решаются методом введения новой переменной, а именно . Решения подобных уравнений Вы без труда найдете в статье, упомянутой в первом предложении этого пункта, а также на страницах школьных учебников, например, [1, c. 74-75, 80; 2, с. 150-152; 3, с. 213-216].

Продвигаясь дальше в школьном курсе математики по пути знакомства с уравнениями, нам встречаются иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, и каждый раз мы возвращаемся к методу введения новой переменной для их решения. Для уравнений каждого вида есть свои особенности в плане введения новой переменной. Рекомендуем ознакомиться с ними в следующих материалах:

• решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной,
• метод введения новой переменной при решении показательных уравнений,
• решение показательных уравнений методом введения новой переменной,
• решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

В заключение покажем пример решения уравнения, которое после введения новой переменной имеет бесконечное множество решений. Подобные случаи встречаются крайне редко, и тем они еще более интересны. В них главное разобраться с особенностями возврата к старой переменной.

Решите уравнение

Решение уравнения методом введения новой переменной

Математика. Уравнения. 283гр. Дистанционное обучение.

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнения методом введения новой переменной»

21.04.20. Задание: Записать конспект и решить уравнения

Тема: Основные приемы решения уравнений:

Решение уравнения методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной:

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t. )

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. решается новое уравнение;

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример: Решить уравнение (2x−21) 2 −5(2x−21)+4=0.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4•1•4=25-16=9

Возвращаемся к обозначенному:

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

ax 4 +bx 2 +c=0, где a,b,c ∈R; x 2 =y; ay 2 +by+c=0. В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная. Получается квадратное уравнение

Пример: Решить уравнение:

x 4 −13x 2 +12=0; x 2 =y, тогда

1)x 2 =12; или 2) x 2 =1,

Задание: Решить уравнения 1. (3x−4) 2 +3 (3x−4)-4=0.

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) ; в этом случае корень уравнения равен ;

2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.

Пример 2.

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Квадратные уравнения

где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:

Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.

Пример 1.

Решение:

Здесь . Имеем:

Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Итак, — корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, — корень хотя бы одного из уравнений

Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда

Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решение:

Положив , получим уравнение

откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решение:

Положим , тогда

и уравнение примет вид

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Решив это уравнение, найдем

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

в) учитывая, что , получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка:

1) При х = 5 имеем

— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим и мы получаем уравнение , откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

где равносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим

Пример 2.

Решение:

Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

где нужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Из последнего уравнения находим

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решение:

Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив Получим

Но ; из уравнения находим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

равносильное уравнению (1). Далее имеем

Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Пример 2.

(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Полагая , получим уравнение корнями которого являются

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Так как , а -1 0 и мы получаем

если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .

Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то

Пример 3.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем

Значит, должно выполняться неравенство

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Так как, по условию, , то и

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.