Уравнения методы их решения 6 класс

Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

Обыкновенные тождества

Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

Выражения с параметром

Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p). Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

Понижение степени

Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.

Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:

Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:

Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:

Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.

Системы линейного типа

Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:

Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:

В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.

Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:

В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.

Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.

Решение уравнений в 6 классе

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 6

Проектно-исследовательская работа на тему:

«Решение уравнений в 6 классе»

Исследователь : Жугина Анна

Руководитель: Никитенко Ольга

Методы решения уравнений…………………………………………. 7

Список использованных ресурсов……………………………………..14

Как известно математика — это наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

В школьном курсе математика представлена таким разделом как: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и начала анализа. Большую часть школьной математики занимает алгебра. Ее элементы начинают изучать уже в начальной школе (равенства, простейшие уравнения, неравенства) и продолжаются до 11 класса до логарифмических, показательных и дифференциальных уравнений.

Самый большой материал, который рассматривают на протяжении всех лет изучения алгебры – это различные уравнения и способы их решения. Уравнения уже сами по себе представляет интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности, очевидно, что роль уравнений в естествознании определяет и их роль в школьном курсе математики. Большое значение в алгебре играет метод уравнений в решении задач жизненного содержания: это задачи, связанные с основами современного производства, экономика народного хозяйства, задач в смежных дисциплинах (физики, химии, биомеханики, астрономии и т.д.) Целью являются изучение истории возникновения уравнений, понятия решения уравнений и виды их упрощения, а также рассмотрение способов решения ряда занимательных задач с помощью уравнений.

Актуальность: чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопрос: «Зачем нужно изучать уравнения?», и познакомить учащихся 6 класса с новой темой — перенос слагаемых из одной части уравнения в другую и свойства уравнений. Этот материал в курсе математики -6 рассматривается позже .

Проблема: углубить представления об уравнениях. Ответить на вопрос: «Как решить уравнения: 4х – 8 = 6 — 3х , (х — 3) : 4 = 6 и дробными коэффициентами?» Показать где, когда и какие уравнения приходится решать современному человеку.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый. В проект включены уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, так же задачи, решаемые уравнением и дополнительный материал.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Представим, что в очень легком – практически невесомом – кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется – столько же их и в кошельке.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Методы решения уравнений

Что такое уравнение?

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой «х».

Уравнения бывают разных видов:

Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение — это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. Решение уравнений, пусть это и сложно, захватывает нас. Ведь это, действительно, удивительно, когда от одного неизвестного числа зависит целый поток чисел.

В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Сейчас мы с вами рассмотрим решение уравнения из учебника для 6 класса из раздела повторения уравнений за 5 класс. Задание 206, уравнение «а».

(х + 36,1) . 5,1 = 245,82

х + 361= 245,82 : 5,1

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

(12,1 + 36,1) . 5,1 = 245,82

Значит 12,1 – корень уравнения.

Таким способом решают уравнения учащиеся до 6-ого класса. А в 6-ом классе они знакомятся с новым способом решения уравнении, таким как перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. При этом знак слагаемых меняется на противоположный и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Рассмотрим решение уравнений с отрицательными числами. Возьмём пример №1341 «а»:

– 20 · (х – 13) = – 220

[– 20 · (х – 13) ] : [– 20 ] = – 220 : [– 20 ]

Мир уравнений очень богат. При помощи них можно решить самые сложные задачи. С помощью уравнений в задачах мы находим связь между величинами, получаем опыт применения математики к решению практических задач.

Решение задач на проценты – в медицине, криминалистике, биохимии и т.д.

Решение уравнений применяется в строительстве (дороги, мосты и т.д.), архитектуре. При составлении прогноза погоды, геологии и т.д. В построении графика годового цикла состояния человека.

Рассмотрим некоторые из них, которые можно применить на уроках математики или на занятиях математического кружка.

Уравнение – это не только сухой математический термин, это язык алгебры!

«Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий И. Ньютон в своем учебнике алгебры, который называется «Всеобщая арифметика». Под алгебраическим языком понимают язык уравнений и неравенств. Большинство текстовых задач решается именно этим способом. Посмотрим на примере, как выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический.

В III—IV веках нашей эры жил в городе Александрии знаменитый греческий математик Диофант. До нас дошли шесть из тринадцати книг «Арифметики», написанных Диофантом. История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице — надписи, составленной в форме математической задачи. Эта надпись дает возможность определить продолжительность жизни математика, которого позднее назвали «отцом греческой алгебры». Надпись эта в переводе, подражающем древним стихам, такова:

Часть шестую его представляло
прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни –
покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке
провел Диофант.

Прошло пятилетие;
он был осчастливлен рождением
прекрасного первенца сына.

Коему рок половину лишь
жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой
старец земного удела конец воспринял,
переживши года четыре
с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув,
смерть воспринял Диофант?»

Приведем условие к уравнению.
Вся жизнь принимается за х
Прекрасное детство: х
Юность: х
Бездетный брак: х
Прошло пятилетие: 5
Половина жизни прекрасной: х

Переживши года четыре: 4

х + х + х + 5 + х + 4 = х

х + х + х + х – х = – 9

Решив уравнение и найдя, что х=84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился в возрасте 21года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 году и умер, достигнув возраста 84 лет.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка» на «алгебраический». Для примера рассмотрим задачу № 652 из учебника:

«Масса винограда в первом ящике составляет массы винограда во втором ящике. Сколько килограммов винограда было в двух ящиках, если в первом ящике был 21 кг винограда?»

Пусть: х кг будет количество во 2-ом ящике.

х = кг количество в 1-ом ящике.

Всего 21 кг винограда.

Ответ: 11 килограммов винограда было в двух ящиках.