Уравнения многочленов с дробями 7 класс

Урок по алгебре в 7-м классе по теме: «Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители»

Разделы: Математика

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

Предлагаю учащимся решить уравнение двумя способами. Вызываю к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х 4 +4х 3 +6х 2 +4х+1 есть (х+1) 4 ). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

Решите устно уравнение

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х 2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

Устно решите уравнения:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х 2 -2х-1=0 3х 2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

Действия с дробями 7 класс, повторение, сравнение, сокращение, решение уравнений

В начале первой четверти семиклассники на уроках математики активно повторяют все действия, как с обыкновенными, так и с десятичными дробями. И делают они это не просто так.

В 7 классе по программе обучения начинается алгебра. Дроби будут состоять уже из алгебраических выражений, многочленов. Все действия с такими уже > дробями основываются на умении решать обыкновенные дроби в пятом шестом классе.

Дроби повторение 7 класс

Повторение начинается с самых простых примеров на все арифметические действия с обыкновенными дробями. Не забываем, что там где знаменатели разные следует найти общий, и только потом выполнять действия.

Сравнение дробей 7 класс

Для того, чтобы научиться сравнивать дроби, нужно узнать несколько способов по их сравнению, и выбрать для себя более понятный и удобный.

Основные правила сравнения дробей:

В первом правиле мы сравниваем только числители, так как знаменатели равны. Мы уже говорили, что знамен.-это общее количество долей, а числитель показывает сколько их взято из общего, следовательно, чем больше долей взято, тем и дробь соответственно больше.

При одинаковых числ-х сравнивают только знамен. Чем он меньше, тем больше дробь. Разберемся, почему так. К примеру разделите 10 на 5 и 10 на 2, очевидно, что второе частное больше первого. Поэтому, если сравнить 10/5 и 10/2, то 10/2 будет больше.

В десятичных дробях мы сравниваем их соответствующие целые части и дробные. Если первые равны, то мы сравниваем десятые, сотые и т.д. Поэтому для сравнения мы должны уравнивать количество дес.знаков.

Также можно сравнить две обыкн.дроби используя число, которое находится в ряду между ними. Какая из дробей окажется больше этого числа, та и будет большей в примере.

Вот несколько интересных способов, как можно сравнить дроби:

Если от вас требуется сравнить десятичную и обыкновенную дроби, можно перевести одну из них в более удобную для вас. И сравнивать вы уже будите либо обыкновенные, либо десятичные.

Еще один хороший способ, дополнить до единицы. Чем больше нужно добавить дроби, чтобы получить целое, тем она будет меньше.

Можно использовать и перекрестное правило, как в пропорции. Для этого умножаем смотрящие друг на друга числители и знаменатели.

Правила дробей 7 класс

Начиная изучать рациональные дроби в седьмом классе, стоит познакомиться с рядом правил, которым подчиняются действия с ними.

К рациональным дробям применяются те же правила, что и к обыкн-м.

Для выполнения всех арифметических действий, следует знать несколько формул сокращенного умножения:

Эти формулы понадобятся на уроках математики до 11 класса, поэтому их лучше выучить сразу в седьмом.

Действия с дробями 7 класс

Как в пятом и шестом, так же и в седьмом классе, дроби в основном складывают, вычитают, умножают и делят. Есть еще сокращение и сравнение. Рациональные дроби также называют алгебраическими.

Сложение и вычитание.

К примеру, b/3 + c/3. Это сумма рациональных или алгебраических дробей. Решением будет: b+c/3.

Еще пара примеров.

Умножение и деление.

Так же как и с обыкновенными дробями, умножать будем числитель на числитель, и знам. на знаменатель. Очень важно обратить внимание на то, что вы умножаете многочлены, поэтому каждый числитель и знаменатель лучше взять в скобки. Так вы сможете избежать ненужных ошибок.

И деление выполняется в точности также как и в обык.дробях. Первую дробь оставьте на месте без изменений, поменяйте частное на умножение, вторую дробь переверните.

Сложение и вычитание дробей 7 класс

Никогда не начинайте выполнять действия не упростив выражения. Выполните все возможные преобразования и пример решится намного легче и быстрее. Также числители второй и последующих дробей при сложении и вычитании стоит взять в скобки. Очень часто возникают ошибки только из-за одного неправильно поставленного знака. Будьте внимательны.

Если перед скобкой стоит >, раскрываем ее, не меняя знаки внутри. Если >, то все меняем на противоположные.

Знаменатели совершенно одинаковые, находим сумму числ. Приведите подобные, это с и 2с, d и -d, которые в свою очередь взаимно уничтожаются, так как имеют разные знаки. В итоге остается с+2с = 3с. Ответ: 3с/2а.

Все намного проще, если знам. одинаковые. С разными нужно немного подумать.

В примере два знам. 15а и 3. Нам нужно найти общий. В этом случае проще домножить 3 так, чтобы получить 15а. Для этого 3 умножаем на 5а. Но чтобы действие было верным, применяем основное свойство дроби, и на 5а умножим еще и числитель. Далее складываем дроби с один.знам.

Деление и умножение дробей 7 класс

Разберем сразу примеры, так как правила уже обговорены выше.

В примере выше требуется разделить алгебраические дроби, содержащие выражения со степенью. Здесь важно вспомнить, что при сокращении степеней мы вычитаем из большей степени меньшую.

Первую дробь мы оставили без изменений, вторую перевернули, заменив действие на умножение. Теперь ищем, что можно сократить. Сначала смотри на числовые коэффициенты. Сокращаем 7 и 35, 9 и 18. Затем сокращаем буквенную часть.

Для удобства возьмите каждый многочлен в скобки. Мы видим, что сразу можно сократить скобку (7-х). Многие допускают ошибку, считая что (a-b) и (a+b) сократимы, это большая ошибка. Ведь к примеру, 5-2 и 5+2 совершенно разные выражения.

Конечные десятичные дроби 7 класс

Десятичные дроби отличаются друг от друга по количеству знаков (цифр) после запятой. Соответственно своему названию, у конечной десятичной дроби после запятой, конечное число знаков: 5, 0235; 2,3654; 0,12 и т.д.

Любую такую дробь можно перевести обратно в обыкновенную. 2,36 = 2 целых 36/100. Но не каждую обыкновенную можно представить в виде конечной дес.дроби. В таком случае уже получается бесконечная дес.дробь.

Уравнения с дробями 7 класс на примерах с пояснением

Уравнения с дробями можно решить используя пропорцию, или светси решение к этому. Первое уравнение и ему подобные очень просто и быстро решается пропорцией. Используем умножение >.

Бывают и более сложные уравнения, которые нужно преобразовать.

Здесь уже нужно вспомнить правило умножения скобки на число или раскрытие скобок. На число перед скобкой умножаем каждое слагаемое в скобке. Значит 7 умножим и на 2, и на (-х). Далее решаем как обычное линейное уравнение.

В следующем уравнении разберем два способа решения.

Первый вариант решения основывается на избавлении от знаменателей, дабы превратить дробное уравнение в линейное. Для этого умножаем каждое слагаемое на общий для дробей знаменатель. В нашем случае 45.

Сокращаем и получаем линейное уравнение. Раскрываем в нем скобки, находим подобные слагаемые.

Вторым вариантом будет приведение к общему знаменателю в правой части, и сведению решения к пропорции.

Сокращение дробей 7 класс

При сокращении рациональных дробей используем правило сокращения обык.др. Числитель и знаменатель делим на один многочлен.

Запомните, что разные буквенные части мы не сокращаем, только одинаковые.

Дроби, в числ. и знамен. которых стоит выражение (многочлен) тоже сократимы. В таких дробях можно сокращать только одинаковые многочлены. Многочлены разделены между собой умножением.

Также можно использовать формулы сокращ. умножения.

Разложение многочленов на множители, сокращение дробей

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним все изученные методы разложения многочлена на множители, рассмотрим примеры к ним. Также вспомним алгебраические дроби и выполним несколько типовых задач, связанных с ними.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»