Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения
Содержание:
Определение:
Геометрическая прогрессия со знаменателем 
Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий
Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий.
Пример №1
является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с
первым членом 
и знаменателем 
Пример №2
является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом 
и знаменателем 
(здесь 
). Изобразим четыре первых члена геометрической прогрессии из примера 1 на координатной прямой (рис. 1).
Мы видим, что чем больше номер прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т.е. тем меньше его модуль, и с увеличением 
этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.
Например, если мы зададим число 0,01, то
Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2).
И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.
Например, если мы зададим число 0,001, то 
Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
чем больше номер п члена прогрессии 
тем меньше 
и с увеличением 
этот, модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется еще и так:
стремится к нулю при 
стремящемся к бесконечности.
Заметим, что если 
стремится к нулю при 
стремящемся к бесконечности.
Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
Запишем формулу суммы первых 
членов этой прогрессии и преобразуем это выражение: 
Обозначим
Так как 
стремится к нулю при 
стремящемся к бесконечности. Значит, 
стремится к нулю при 
, стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число (чем больше слагаемых в сумме 
), тем меньше разница между 
и 
Поэтому число 
называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример №3
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение:
Ответ: 
Всё о бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Пример:
Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью 
.
Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью 
. Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью 
. Будем продолжать этот процесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность
у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на .
Естественно считать, что сумма 
равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата.
Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть 
из 
слагаемых:
Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Поэтому
С возрастанием значения переменной 
значение выражения 
становится все меньше и меньше: значение переменной всегда можно подобрать так, что значение выражения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму 
считают равной 1.
Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию
где 
. Для таких прогрессий истинно условие 
, их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
со знаменателем 
называется число 
.
Это определение объясняется тем, что с увеличением 
число 
все меньше отличается от суммы первых 
членов этой прогрессии. Действительно,
.
Поскольку 
, то 
с увеличением приближается к нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое 
. Поэтому сумма 
приближается к 
.
Пример №4
Найдем значение суммы 
.
Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой 
и 
. Поэтому
Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например:
Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487.
Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.
В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида 
. Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр 
, а дробная — с помощью цифр 
.
Теорема 7.
Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде.
Доказательство:
Пусть 
— периодическая десятичная дробь, где 
— цифры периода. Тогда число 
можно представить бесконечной суммой:
в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на 
. Это означает, что бесконечную периодическую дробь можно рассматривать как сумму 
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым
членом 
и знаменателем 
. Поэтому
Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58.
Пример №5
Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем:
Теорема 8.
Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде.
Доказательство:
Пусть 
— периодическая десятичная дробь, где 
— цифры предпериода, 
— цифры периода. Тогда число 
можно представить суммой
или, с учетом теоремы 7, суммой
Преобразуем полученное выражение:
Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59.
Пример №5
Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем:
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Периодические дроби
- Степень с рациональным показателем
- Степень с действительным показателем
- Логарифм — формулы, свойства и примеры
- Корень n-й степени
- Тождества с корнями, содержащие одну переменную
- Действия с корнями нечетной степени
- Действия с корнями четной степени
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Геометрическая прогрессия в математике с примерами решения и образцами выполнения
Определение геометрической прогрессии:
Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.
Определение:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Иначе говоря, последовательность 
— геометрическая прогрессия, если для любого натурального п выполняются условия
где q — некоторое число. Обозначим, например, через последовательность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального п верно равенство 
здесь q = 2.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т. е. при любом натуральном n верно равенство
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.
Если 
то получим геометрическую прогрессию
Условиями 
задается геометрическая прогрессия
Если 
то имеем прогрессию
Если 
то получим геометрическую прогрессию
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой ее член:
Точно так же находим, что 
Вообще, чтобы найти 
мы должны 
Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Пример:
В геометрической прогрессии 
Найдем b7.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Пример:
Найдем восьмой член геометрической прогрессии
Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как 
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Задача имеет два решения:
Пример:
После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда, после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.
Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно
Произведя вычисления, получим:
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую — в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью — еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?
Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим:
Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем упрощения:
Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.
Пусть дана геометрическая прогрессия 
Обозначим сумму n первых ее членов через 
:
Умножим обе части этого равенства на q:
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:
Отсюда следует, что при 
Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену и 
При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо выражение 
Получим:
Пример:
Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии в которой 
Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то удобно воспользоваться формулой (II). Получим:
Пример:
Найдем сумму 
слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии
Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель равен х. Так как 
является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы п первых ее членов. Воспользуемся формулой (I):
Таким образом, если 
то
Умножив левую и правую части последнего равенства на х — 1, получим тождество
В частности, при n = 2 и n = 3 приходим к известным формулам
Пример:
Найдем сумму шести первых членов геометрической прогрессии если известно, что 
Зная 
можно найти знаменатель прогрессии q. Так как 
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|
Пусть длина отрезка АВ равна 2 ед. (рис. 50). Отметим точку В1 — середину отрезка А В, затем точку В2 — середину правой его половины, затем точку В3 — середину получившегося справа отрезка и т. д. Длины отрезков 
и т. д. образуют бесконечную геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 
Найдем сумму n первых членов этой прогрессии:
При увеличении числа слагаемых n значение дроби 
приближается к нулю. Действительно,
Поэтому при неограниченном увеличении n разность 
становится сколь угодно близкой к числу 2 или, как говорят, стремится к числу 2.
Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 
при неограниченном увеличении n стремится к числу 2. Число 2 называют суммой бесконечной геометрической прогрессии и пишут:
Это равенство легко истолковать геометрически: сумма длин отрезков 
равна длине отрезка АВ.
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию
у которой |q| 
Преобразуем выражение в правой части равенства:
Можно доказать, что если 
то при неограниченном увеличении n множитель 
стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение 
Поэтому при неограниченном увеличении n сумма Sn стремится к числу 
Число 
называют суммой бесконечной геометрической прогрессии у которой 
Это записывают так:
Обозначив сумму прогрессии буквой S, получим формулу
Заметим, что если 
то сумма n первых членов геометрической прогрессии при неограниченном увеличении n не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при 
Пример:
Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии 
У этой прогрессии 
значит, условие |q| 
Пример:
Дан квадрат, сторона которого равна 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. (рис. 51). Найдем сумму площадей всех квадратов.
Из геометрических соображений ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна половине площади предыдущего. Таким образом, последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен 
Найдем сумму этой геометрической прогрессии:
Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см2.
Из курса VIII класса нам известно, что каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Чтобы выразить рациональное число 
— целое число, а n — натуральное, в виде бесконечной десятичной дроби, достаточно разделить числитель на знаменатель. Наоборот, каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число. Покажем на примере, как с помощью формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии можно представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде отношения 
Пример:
Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.
По аналогии с конечными десятичными дробями представим бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде суммы:
Слагаемые в правой части равенства — члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель равен 0,01, т. е. условие 
выполнено. Найдем сумму этой прогрессии:
Таким же способом можно представить в виде обыкновенной дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Задачи на прогрессии
Если возникают вопросы — обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
Числовая последовательность.
Определения и обозначения.
В математике существует понятие последовательности. Здесь мы будем обсуждать числовые последовательности, в общем случае они представляют собой бесконечный набор чисел, расположенных последовательно, друг за другом, «в очередь». При этом каждое число «знает своё место в этой очереди», т.е. однозначно характеризуется своим номером.
Говоря математическим языком,
Последовательность коротко обозначают <xn>, n ∈ N. Её члены могут быть заданы формулой xn = f (n), каким-либо правилом или рекуррентным соотношением.
Примеры задач на последовательности из ОГЭ по математике прошлых лет.
Задача 1. Последовательность задана формулой \(a_n = \dfrac<40>
Сколько членов этой последовательности больше 2?
Выпишем несколько членов этой последовательности.
\(a_1 = \dfrac<40> <1+1>= 20; \; a_2 = \dfrac<40> <2+1>= 13\dfrac<1><3>; \; a_3 = \dfrac<40> <3+1>= 10;\;\) \(a_4 = \dfrac<40> <4+1>= 8; \; . \)
Видно, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, и эта тенденция сохранится, потому что при увеличении номера элемента будет увеличиваться знаменатель дроби при сохранении неизменным её числителя, т.е. сама дробь будет только уменьшаться. Из этих рассуждений делаем вывод, что существует такой номер члена последовательности, что число под этим номером впервые станет меньше либо равным 2, все последующие будут еще меньше, а все числа с меньшими номерами, наоборот, будут больше 2. Чтобы найти этот номер решим неравенство \[ \frac<40>
Ответ: 18
Подробное изучение свойств последовательностей, как правило, включают в курсы высшей математики. К классической алгебре относят само понятие «последовательность» и наиболее простые из них – прогрессии. Они отличаются тем, что каждый следующий член такой последовательности может быть найден по значению предыдущего.
Арифметическая прогрессия.
Определения и обозначения.
Арифметической прогрессией называется последовательность <an>, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессими d может иметь как положительное, так и отрицательное значение. В первом случае, каждый следующий член прогресси будет на одно и то же число больше предыдущего, а во втором – на одно и тоже число меньше предыдущего.
Например,
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 . – возрастающая арифметическая прогрессия (d = 2);
17; 14; 11; 8; 5; 2; −1; −4; −7 . – убывающая арифметическая прогрессия (d = −3).
Свойства арифметической прогрессии.
\(a_n = a_1 + d\cdot(n-1),\)
Для арифметической прогрессии при любом n > 1 верны следующие соотношения:
\(a_
Характеристическое свойcтво арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего:
Сумма первых n членов арифметической прогресии Sn = a1 + a2 + a3 + . + an-1 + an равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых.
С учётом равенства \(a_n = a_1 + d\cdot(n-1),\) эта сумма может быть найдена по формуле
Примеры задач на арифметическую прогрессию.
Задача 2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; x ; –13; –25; … .
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
Способ I.
Известны предыдущий и последующий члены прогрессии для элемента x. Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии \[a_n = \frac
Найдём разность между двумя соседними известными членами прогрессии \[d = -25 — (-13) = -25+13 =-12.\] По определению арифметической прогрессии такая же разность будет между элементом x и его непосредственными соседями, сдедовательно
\(x = -13 -d = -13-(-12) \) \(= -13+12 = -1 \)
или
\(x = 11 + d = 11 +(-12) \) \(= 11-12 = -1.\)
Ответ: −1
Задача 3. Арифметическая прогрессия задана условиями a1 = 44, an+1 = an − 17.
Найдите сумму первых 14 её членов.
Искомую сумму можно найти по формуле \(S_n = \dfrac
\( a_ <14>= a_1 + d\cdot(14-1) \) \(= 44 + (-17)\cdot13 = 44 -221 = — 177.\)
В итоге получим
\(S_ <14>= (a_1+a_<14>)\cdot7 = (44+(-177))\cdot7 \) \(= (44-177)\cdot7 = -931.\)
Ответ: −931
Геометрическая прогрессия.
Определения и обозначения.
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел <bn>, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число q ≠ 0. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессими q может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Если q > 1, то каждый следующий член прогресси будет в одинаковое число раз больше предыдущего, если 0 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512 . – возрастающая геометрическая прогрессия (q = 2). Каждое следующее число в 2 раза больше.
17; 8,5; 4,25; 2,125; 1,0625; 0,53125; 0,265625 . – убывающая геометрическая прогрессия (q = 1/2 = 0,5) . Каждое следующее число в 2 раза меньше.
1; −3; 9; −27; 81; −243; 729 . – знакопеременная геометрическая прогрессия (q = −3).
Свойства геометрической прогрессии.
Для геометрической прогрессии со знаменателем q при n > 1 имеем:
Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член кроме первого связан с предыдущим и последующим членами формулой
Обратите внимание, в общем случае, все последовательности бесконечны. Но в задачах часто рассматривают упорядоченные конечные участки таких множеств, также называя их последовательностями и прогрессиями.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а таковыми являются прогрессии со знаменателем |q| существует сумма ВСЕХ её членов
где S – сумма bn при n, изменяющимся от единицы до бесконечности.
Примеры задач на геометрическую прогрессию.
Задача 4. В геометрической прогрессии <bn> \[b_3=\frac<4><7>,\; b_6 = 196.\] Найдите знаменатель прогрессии.
Используем соотношение \( b_n = b_k\cdot q^
\( b_6 = b_3\cdot q^<6-3>\\196 = \dfrac<4><7>\cdot q^3\\ q^3=196 \cdot\dfrac<7> <4>=\dfrac<196\cdot7> <4>=49\cdot7 = 7^3.\\q^3=7^3; \; q = 7.\)
Ответ: 7
Задача 5. Найдите бесконечную геометрическую прогрессию <bn> , если \(b_1+b_2 = 4\) и \(S = \dfrac<16><3>\).
Любой член прогрессии можно найти по формуле её общего члена, т.е. через первый член и знаменатель. Поэтому вопрос «найти прогрессию» равносилен вопросу «найти первый член прогрессии и её знаменатель».
Из первого условия, используя равенство \(b_2 = b_1\cdot q\) получаем \[b_1+ b_2 = b_1 + b_1\cdot q = 4\\ b_1\cdot (1+q) = 4 \\ b_1 = \frac<4><1+q>.\] Сумму всех членов прогрессии, которая по условию задачи равна \(\dfrac<16><3>,\) найдём по формуле \(S = \dfrac
Решаем уравнение \[\frac<4> <1-q^2>= \frac<16><3>; \\ 4\cdot3 = 16\cdot (1-q^2); \\ 12-16 = -16q^2; \\ q^2 = \frac<-4> <-16>= \frac<1><4>; \\ q = \pm\frac<1><2>.\] Таким образом, указанным условиям удовлетворяют две последовательности:
1. \(q = \dfrac<1> <2>= 0,5; \; b_1 = \dfrac<4> <1+q>= \dfrac<4> <1+0,5>= \dfrac<4> <1,5>= \dfrac<40> <15>= \dfrac<8><3>; \\ b_n = \dfrac<8><3>\cdot \left(\dfrac<1><2>\right)^
2. \(q = -\dfrac<1> <2>= 0,5;\; b_1 = \dfrac<4> <1+q>= \dfrac<4> <1-0,5>= \dfrac<4> <0,5>= \dfrac<40> <5>= 8 \\ b_n = 8\cdot(-\dfrac<1><2>)^
Для краткого обозначения того, что последовательность представляет собою арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале знак ÷
Для обозначения того, что последовательность представляет собою геометрическую прогрессию, иногда ставят в начале знак — ::
Разумеется, не следует зацикливаться на обозначениях. Арифметическую и геометрическую прогрессию необязательно обозначать символами <an> и <bn>, хотя их используют довольно часто. Это облегчает восприятие понятий на первом этапе, но не более того. Для последовательностей вообще и прогрессий в частности часто используют <ak>, <un>, <xm>, <βi> и другие символы латинского и греческого алфавита. При этом нижний индекс – натуральное число, изменяющееся от 1 до ∞. Однако и это необязательно. Бывают случаи, когда члены последовательности начинают нумеровать с нуля.
Задачи на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.
В ОГЭ по математике в наступающем году произошли некоторые изменения в заданиях, связанных с этой темой. Задание на работу с последовательностями и прогрессиями (задание 12 в КИМ 2020 г.) заменено на задание с практическим содержанием, направленное на проверку умения применять знания о последовательностях и прогрессиях в прикладных ситуациях (задание 14 в КИМ 2021 г.).
Суть этого задания теперь состоит в том, что надо сначала определить, о какой последовательности идёт речь в задании, и только потом начинать применять формулы. Для этого надо искать в тексте условия задачи ключевые слова «каждый, следующий, предыдущий . «, «на . больше (меньше)», «в . раз больше (меньше)» и, опираясь на их смысл, вспоминать определения последовательностей и прогрессий.
Задача 6. За первую минуту бега спортсмен пробежал 300 метров, а в каждую следующую минуту он пробегал на 5 метров больше, чем в предыдущую. С какой скоростью спортсмен закончил тренировку, если она длилась 20 минут? Ответ дайте в километрах в час.
Анализируя текст задачи, приходим к выводу, что ускорение бега спорсмена происходило по графику арифметической прогрессии, первый член которой равен 300 м, а разность d = 5 м. Определим, сколько метров он пробежал в последнюю (20-ю) минуту бега. \[ a_n = a_1 +d\cdot(n-1) \\ a_ <20>= 300 + 5\cdot(20-1) \\ a_ <20>= 300 + 5\cdot19 = 300+95 = 395 (м).\] Фактически, мы уже определили среднюю скорость бега в конце тренировки, но в метрах в минуту. Для того, чтобы дать требуемый ответ, осталось перейди к другим единицам измерения скорости. \[ \frac<395\cdot60> <1000>= 23,7 (км/ч)\]
Ответ: 23,7
Задача 7. Фермер Алексей приобрёл новый земельный участок весной 2015 года и сразу засеял его пшеницей. Используя эффективные приёмы агротехники, он ежегодно увеличивал урожайность пшеницы на 2,9 ц/га и в 2020 году собрал в среднем по 24,5 центнера пшеницы с гектара. Какова была урожайность пшеницы в первый год использования участка Алексеем? Ответ дайте в ц/га (центнерах с гектара).
Фермер ежегодно увеличивал урожай на одно и то же число центнеров с гектара – арифметическая прогрессия.
Можно вычислить, что с весны 2015 года до осени 2020 года он смог собрать урожай 6 раз, т.е. известно \(a_6,\) определить нужно \(a_1\). Для этого используем формулу общего члена прогрессии и решим маленькое уравнение относительно \(a_1.\) \[ a_n = a_1 +d(n-1); \\ a_6 = a_1 + d(6-1); \\ 24,5 = a_1 + 2,9\cdot5; \\ 24,5 = a_1 + 14,5; \\ a_1 = 24,5 — 14,5 = 10. \] Но также можно предположить, что рассматриваемый период это конечный участок какой-то бесконечной прогрессии, начальные значения которой нас не интересуют. Тогда вычисляем по формуле \(a_n = a_k + d\cdot(n-k)\). \[ a_ <2020>= a_ <2015>+ d\cdot(2020-2015); \\ 24,5 = a_ <2015>+ 2,9\cdot5; \\ 24,5 = a_ <2015>+ 14,5; \\ a_ <2015>= 24,5 — 14,5 = 10. \] Итак, изначально урожайность пшеницы составляла 10 ц/га.
Ответ: 10
Задача 8. Михаил заключил с банком на срок 5 лет следующий договор. Ежегодно он вносит в банк вклад в размере 10 000 руб., не снимая ранее внесённых средств. В конце каждого года банк начисляет 5% дохода на всю сумму средств, вложенных Михаилом к этому моменту. Сколько рублей он сможет забрать из банка по истечении срока действия договора?
Михаил в течение срока договора должен внести 5 раз по 10000 руб. и банк должен 5 раз начислить процент на общую сумму средств на счету Михаила. При этом сумма, находящаяся на счету в момент начисления процентов, увеличится в 1,05 раза.
Замечание. Для решения таких задач лучше переходить от процентов к коэффициентам. Например, сумма составляет S рублей, один процент от неё составляет \(\dfrac<100>\) рублей, а 5%, соответственно составляют \(\dfrac
\( S + \dfrac
Таким образом, увеличение суммы на 5% равносильно умножению её на коэффициент 1,05.
Подробнее о различных способах работы с процентами можно посмотреть на странице, посвященной решению текстовых задач.
При этом 10000 рублей, внесенные в банк в первый год, будут находиться на счёте в момент начисления процентов все 5 раз и потому увеличатся в 1,05 раза последовательно в 5 этапов, т.о. эта часть вклада достигнет величины 1000·1,05·1,05·1,05·1,05·1,05 = 1000·1,05 5 .
10000 рублей, внесённые во второй год подвергнутся такому увеличению только 4 раза и достигнут величины 1000·1,05 4 рублей, а сумма, внесённая в последний год будет увеличена только один раз. Таким образом, мы замечаем следующую закономерность: каждые десять тысяч рублей, пролежавшие на вкладе на год дольше, чем следующие, увеличиваются по сравнению с ними в 1,05 раза. Т.е. мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой q = 1,05, нулевой член прогрессии b0 = 10000, а первый член прогресии b1 = 10000·1,05 = 10500. Чтобы найти всю сумму, которую Михаил сможет забрать из банка в конце срока, нужно сложить члены этой геометричексой прогрессии с первого по пятый. Для этого воспользуемся формулой \(S_n = \dfrac
Замечание. Для полноты представления о прогрессии расчёты здесь проведены с использованием калькулятора. На экзамене такой возможности не будет, поэтому при вычислении q n нужно вспомнить свойства степеней. Например, чтобы быстро вычисить 1,05 5 , степень нужно записать как (1,05 2 ) 2 ·1,05. Тогда получится дважды воспользоваться таблицей квадратов, которая есть в справочных материалах ОГЭ и базового ЕГЭ, и только один раз умножить в столбик. Можно также перейти от десятичных дробей к обыкновенным 1,05 = 105/100 = 21/20.
Ответ:58019,13
Задача 9. Представьте в виде обыкновенной дроби десятичную дробь 2,5(3).
Десятичная дробь 2,5(3) читается так «2 целых 5 десятых и 3 в периоде», т.е. это число 2,53333333333. , где во всех разрядах, начиная с сотых и до бесконечности, стоит тройка. Запишем это число иначе
Замечание. Самый простой способ переходить от десятичных дробей к обыкновенным – читать число вслух и записывать с делением дробной чертой. Например, «и три тысячных» то же самое, что \(«+ \dfrac<3><1000>«\).
В новой записи заданного числа видно, что каждое слагаемое, начиная с четвёртого, ровно в 10 раз иеньше предыдущего. Таким образом, эти слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен третьему слагаемому \(b_1 = \dfrac<3> <100>= 0,03\), а знаменатель прогрессии равен \(b_1 = \dfrac<1> <10>= 0,1\). Поэтому само число теперь можно записать как
Ответ: \(2\dfrac<8><15>\)
Задачи для самостоятельного решения.
Ответы и решения этих задач временно скрыты. Чтобы посмотреть их, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.
Задача 10. На каждый День Рождения родители Саши бросают в его копилку столько монет, сколько ему лет. Сейчас в копилке Саши 21 монета. Сколько ему лет?
Каждый День Рождения Саше становится на один год больше и, соответственно, в копилку попадает на одну монету больше. Таким образом, мы имеем дело с возрастающей арифметической прогрессией, разность которой d = 1. Первый член прогресии \(a_1 = 1\), так как первый День Рождения Саши, очевидно, отмечался, когда ему исполнился один год.
Так как в копилке находятся все «накопившиеся» монеты, то их количество представляет собой сумму всех ежегодных вложений, т.е. сумму арифметической пролгрессии.
Подставим все известные данные в формулу для суммы арифметической прогрессии и решим уравнение относительно неизвестного параметра.
Воспользуемся формулой суммы в форме \(S_n = \dfrac<2a_1+d(n-1)><2>\cdot n.\) \[21 = \frac<2\cdot1+1\cdot (n-1)><2>\cdot n \\ 21 = \frac<(2+n-1)\cdot n> <2>\\ 42 = 2n+n^2 — n \\ n^2 + n — 42=0 \] Решая это квадратное уравнение, получаем корни n1 = −7 и n2 = 6. Поскольку Саше явно неотрицательное число лет, то принимаем во внимание корень n = 6.
Проверка.
При выполнении таких ответственных заданий, как экзаменационные задания, по возможности желательно делать проверку. Поскольку оказалось, что Саше не так много лет, то можно «вручную» сложить все монеты, которые за 6 лет попали в копилку. 1+2+3+4+5+6 = 21. Их сумма, действительно, оказалась равной 21. Значит задача решена верно.
Ответ: 6
Задача 11. Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника ровно за 7 дней. В первый день Вася решил 5 задач и затем каждый день решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день. Сколько задач решил в первый день Петя, если для того, чтобы догнать Васю он был вынужден каждый день решать на две задачи больше, чем в предыдущий день.
Оба мальчика решали задачи каждый день, увеличивая их количестко на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия. Васин график известен полностью: \(a_1 = 5\) и \(d = 1\). Зная, что все задачи сборника решены Васей за 7 дней, можем определить, сколько всего задач в сборнике \[S_7 = \frac
Ответ: 2
Часть условия задачи «каждую следующую . на 5 меньше» подсказывает, что имеем дело с арифметической прогрессией: \(a_1=400, d = -5\). Для определения расстояния, которое пробежал спорсмен за тренировку в целом, нужно сложить участки, пройденные в каждую из 30 минут. Используем формулу суммы арифметической прогрессии. \[S_ <30>= \frac
Ответ: 10
Ответ: 24
О занятиях Николая сказано, что он «каждый день увеличивал количество повторов на 3″, т.е. его график тренировок представлял собой арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 4\) и разностью \(d = 3\). Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена арифметической прогрессии \(a_n\) = 16. Используем для этого формулу общего члена \[a_n = a_1 +d(n-1) \\ 16 = 4 + 3\cdot(n-1) \\ 16 — 4 = 3\cdot(n-1);\\ 3\cdot(n-1)=12;\; n-1 = 4;\; n=5 \] Николай достигнет планируемой нормы на 5-ый день занятий.
О занятиях Андрея сказано, что он «каждый день увеличивал количество повторов вдвое», т.е. в 2 раза. Значит его график тренировок представлял собой геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем \(q = 2.\) Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена геометрической прогрессии \(b_n = 16.\) Используем для этого формулу её общего члена \[b_n = b_1\cdot q^
Оказывается они придут к цели одновременно.
Ответ: 5
Нас интересуют только фишки, лежащие на номерах 1, 3, 5, 7, . 35. Имеем арифметическую прогрессию:\(a_1 = 1,\; d = 2\). Общее количество таких номеров n = 18. Это можно найти «вручную» или по формуле общего члена прогрессии \[a_n = a_1 + d(n-1);\\ 35 = 1 + 2(n-1); \\ 2(n-1) = 34; \; n = 17+1 = 18. \] Cумму находим по формуле \(S_n = \dfrac
http://lfirmal.com/geometricheskaya-progressiya/
http://mathematichka.ru/oge9/progression_2021/progression_problem_9.html