Уравнения на формулу разности квадратов

Разность квадратов двух выражений

Формула квадрата суммы

Перемножим сумму и разность a и b:

Мы получили формулу разности квадратов двух выражений :

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$

$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше
со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать:

Откуда $$ a^2-b^2 =$$ $$ (a-b)^2+2b(a-b) = $$ $$ = (a-b)(a-b+2b) = $$ $$ = (a-b)(a+b) $$

Примеры

Пример 1. Найдите произведение:

в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $

г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$

б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$

в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $

г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+

$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $

Пример 3. Разложите на множители:

а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$

б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$

в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$

г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$

Пример 4. Вычислите:

а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106\cdot10 = 1060 $

б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200\cdot64 = 12800 $

в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1\cdot0,462 = 0,462 $

Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.

Разность квадратов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a 2 – b 2

Примечание: a 2 – b 2 ≠ (a – b) 2

Доказательство формулы

Арифметическое

Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b) .

Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab – ba – b 2 = a 2 – b 2 .

Геометрическое

Изобразим квадрат с длиной стороны a , площадь которого равна a 2 . В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b 2 .

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета ( a 2 – b 2 ).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

• квадрат площадью b 2 ;
• прямоугольник со сторонами a и ( a-b );
• прямоугольник со сторонами b и ( a-b ).

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2

Примеры задач

Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y) .

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x 2 – 9y 2

Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x 2 – y 2 .

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x 2 – y 2 = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x 2 + 5xy – 5xy – y 2 = 25x 2 – y 2

Разность квадратов

Вывод формулы разности квадратов

Для доказательства справедливости формулы разности квадратов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a — b )·( a + b ) = a 2 + ab — ba + b 2 = a 2 — b 2

Применение формулы разности квадратов

Примеры задач на применение формулы квадрата разности

( x — 3)·( x + 3) = x 2 — 3 2 = x 2 — 9

(2 x — 3 y 2 )·(2 x + 3 y 2 ) = (2 x ) 2 — (3 y 2 ) 2 = 4 x 2 — 9 y 4

Можно заметить, что для выражения в числителе можно использовать формулу разности квадратов

9 x 2 — 1 (3 x — 1) = (3 x — 1)·(3 x + 1) (3 x — 1) = 3 x + 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.