Уравнения на формулы приведения егэ

Формулы приведения. Примеры из ЕГЭ

Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\), \(\frac<3\pi><2>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac<3\pi><2>-a) =. \) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi><2>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi><2>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi><2>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi><2>-a)=-. \)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

— если «точка привязки» \(\frac<\pi><2>\) (\(90^°\)) или \(\frac<3\pi><2>\) (\(270^°\))– функция меняется на кофункцию;
— если «точка привязки» \(π\) (\(180^°\)) или \(2π\) (\(360^°\)) – функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\) или \(\frac<\pi><2>-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) — нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие \(\frac<\pi><2>\) \((90^°)\) и \(\frac<3\pi><2>\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» — и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(\cos⁡(\frac<3π><2>-a)=. \) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(\cos⁡(\frac<3π><2>-a)=-\sin⁡\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Углы \(<41>^°\) и \(<49>^°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).

Теперь применим к синусу формулу приведения:

\(90^°-41^°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

\(90^°\)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию.

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

ЕГЭ (ПУ-9) Формулы приведения. Тренировочные задания.
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему

Задания Открытого банка ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

2. Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Формулы приведения

Урок изучения нового материала.

Презентация к уроку Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точек.

Урок №3 по теме: Форомулы приведения и формулы для вычисления координат точек.

Презентация к уроку Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точек.

Урок №3 по теме: Форомулы приведения и формулы для вычисления координат точек.

Презентация к уроку Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точек.

Урок №3 по теме: Форомулы приведения и формулы для вычисления координат точек.

ЕГЭ (ПУ-9) Формулы двойного угла. Тренировочные задания.

Задания Открытого банка ЕГЭ по математике.

Задания к зачету по теме «Формулы приведения» 10 класс

Известно, что школьники испытывают затруднения, изучая тригонометрию.Для того чтобы сформировать навыки преобразований тригономерических выражений, необходима специальная тренировка — решение бо.

формулы приведения. формулы сложения. формулы двойного и половинного угла

формулы приведения. формулы сложения. формулы двойного и половинного угла.

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус