Уравнения на квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы и разности

Квадрат суммы

Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

Квадрат разности

Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2a 2 — 5ab 2 ) 2 = (2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 .

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 = 4a 4 — 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4 .

Разность квадратов

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9.

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

Квадрат суммы и разности двух выражений

Формула квадрата суммы

Возведем в квадрат сумму (a+b):

$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$

Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.

Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:

$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2\cdot5x^2\cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$

Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.

Формула квадрата разности

Теперь возведём в квадрат разность:

$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$

Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.

Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+ $ b^2$

Примеры

Пример 1. Найдите квадрат суммы:

б) $(3+t)^2 = 3^2+2\cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$

в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2\cdot3a\cdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$

г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2\cdot4k^2 m\cdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$

Пример 2. Найдите квадрат разности:

б) $(x-5)^2 = x^2-2x\cdot5+5^2 = x^2-10x+25$

в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2\cdot7y\cdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$

г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2\cdot3km^2\cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$

Пример 3. Выполните действия:

а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2\cdot10m\cdot1+1+20m =$

б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2\cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $

в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2\cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$

г) $ \frac<1> <3>(3y+4)^2-8y = \frac<1> <3>((3y)^2+2\cdot3y\cdot4+4^2 )-8y = \frac<1> <3>(9y^2+24y+16)-8y =$

Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»