Уравнения на определение четности функции

Четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Расшифровка ответов следующая:
• even – четная функция
• odd – нечетная функция
• neither even nor odd – функция общего вида

• : x^a

Определения и свойства четных и нечетных функций

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрим их свойства и решим некоторые задачи. Важным свойством четной функции является симметричность графика функции относительно оси у, важным свойством нечетной функции является симметричность графика относительно точки начала координат. Также на уроке мы выработаем методику исследования функции на четность и нечетность и решим ряд задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Материал для повторения:

Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.

Встречались ли вам в задаче 17 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?

Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.

Например, использование четности функций, входящих в уравнение.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:

1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.

2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.

Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену . Получим:

Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.

Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):

Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и , .

Значит, если — корень уравнения, то и
— тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если . В этом и состоит идея решения таких задач.

Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если ». Ведь может быть еще и такой случай, что — один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.

Давайте подставим в уравнение и посмотрим, что получится.

. Решив это уравнение, получим:

Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком b.

У этого уравнения три решения:

, или , или . Такое значение параметра нам не подходит.

Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.

Получим единственное решение . Нам это подходит. При этом .

При уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:

Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!

2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение

Найти это значение a. Найти решение.

Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.

Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!

Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.

Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если — решения, то
– тоже решение. Единственное решение возможно, если .

Подставим в уравнения системы.

– единственное решение, так как 0′ alt=’y> 0′ />.

Подставив в уравнения, из первого уравнения получили, что .

– 3 решения. Это нам не подходит.

Ответ: . При этом система имеет единственное решение .