Уравнения на умножение дробей 6 класс

Математика 6 СР-11 Умножение дробей

Самостоятельная работа по математике в 6 классе «Умножение дробей» по УМК Мерзляк с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия «Математика 6 класс. Дидактические материалы / Мерзляк и др.» использованы в учебных целях. СР-08 Сокращение дробей + ответы. Упражнения используются в комплекте с учебником «Математика 6 класс» авторов: Мерзляк, Полонский, Якир.

Математика 6 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 11 (упражнения)

Тема: Умножение дробей

Вниманию учителей! В настоящей работе упражнения даны с избытком. Выберите для своей работы столько упражнений, сколько должно хватить на 30-40 минут работы в классе.

СР-11. Вариант 1

СР-11. Вариант 2

СР-11. Вариант 3

СР-11. Вариант 4

ОТВЕТЫ на самостоятельную работу
СР-11 Умножение дробей:

Ответы на Вариант 1

№ 59. 1) 1/8; 2) 18/77; 3) 5/13; 4) 9/25.

№ 60. 1) 16/21; 2) 2 1 /₃; 3) 10; 4) 2 2 /₅; 5) 3 1 /₃; 6) 2 7 /₈.

№ 61. Ответ: 42 км.

№ 62. 1) 7/18 * ab; 2) 1 3 /₅ * xy; 3) 30mnk.

№ 63. 1) 25/84 * x; 2) 9 35 /₃₆ * m.

№ 64. Ответ: 6 2 /₃ дм 2 .

№ 65. 1) 56 2 /₃; 2) 1 13 /₃₀.

№ 66. 1) 12; 2) 10.

Ответы на Вариант 2

№ 59. 1) 1/14; 2) 32/63; 3) 8/11; 4) 25/81.

№ 60. 1) 28/37; 2) 1 2 /₅; 3) 16; 4) 2 5 /₈; 5) 13 1 /₃; 6) 2 1 /₇.

№ 61. Ответ: 48 км.

№ 62. 1) 7/18 * pk; 2) 5/7 * xy; 3) 12xyz.

№ 63 1) 19/72 * c; 2) 1 1 /₁₆ * y.

№ 64. Ответ: 3 1 /₂₈ м 2 .

№ 65 1) 51 2 /₃; 2) 1 1 /₅.

№ 66 1) 14; 2) 12.

Ответы на Вариант 3

№ 59. 1) 1/24; 2) 35/72; 3) 3/5; 4) 25/56.

№ 60. 1) 15/26; 2) 2 1 /₂; 3) 18; 4) 2 4 /₇; 5) 6 2 /₃; 6) 5 2 /₃.

№ 61. Ответ: 30 км.

№ 62. 1) 7/12 * mn; 2) 2 1 /₃ * ab; 3) 24xyz.

№ 63. 1) 1/30 * b; 2) 5 1 /₁₆ * a.

№ 64. Ответ: 4 5 /₇ м 2 .

№ 65. 1) 53 1 /₃; 2) 7.

№ 66. 1) 6; 2) 21.

Ответы на Вариант 4

№ 59. 1) 1/35; 2) 35/54; 3) 3/11; 4) 5/24.

№ 60. 1) 40/49; 2) 4 3/4; 3) 18; 4) 5 5/8; 5) 11 2/3; 6) 5 1/3.

№ 61. Ответ: 14 км.

№ 62. 1) 8/21 * ab; 2) 1 1 /₆ * cd; 3) 45 mkp.

№ 63. 1) 23/84 * x; 2) 11/16 * y.

№ 64. Ответ: 4 3 /₈ м 2 .

№ 65. 1) 21 2 /₃; 2) 10.

№ 66. 1) 20; 2) 5.

Вы смотрели «СР-11 Умножение дробей». Цитаты самостоятельных работ из пособия для учащихся «Математика 6 класс. Дидактические материалы / Мерзляк и др.», которое используется в комплекте с учебником «Математика 6 класс» авторов: Мерзляк и др.

Математика 6 СР-11 Умножение дробей: 1 комментарий

Крутой сайт, очень выручает, только почему закрыта самостоятельная работа №12 по математике 6 класс Мерзляка?

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Предметы

Новые работы

Найти контрольную:

Авторы работ и УМК

Предметы

Важные страницы

Соглашение о конфиденциальности

(с) 2020-2022. Дистанционный информационный Центр НПИ (г.Москва). Бесплатная помощь школьникам, находящимся на домашнем или семейном обучении. Цитаты из учебных пособий размещены в учебных целях. Контакты: kip1979@mail.ru

Популярное

Предупреждение

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, пользовательских данных (сведения о местоположении; тип и версия ОС; тип и версия Браузера; тип устройства и разрешение его экрана; источник откуда пришел на сайт пользователь; с какого сайта или по какой рекламе; язык ОС и Браузера; какие страницы открывает и на какие кнопки нажимает пользователь; ip-адрес) в целях функционирования сайта, проведения ретаргетинга и проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Урок математики по теме: «Умножение дробей». 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели урока:

• Обучающие:
  • сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, правило умножения обыкновенных дробей;
  • вырабатывать у учащихся навыки применения правил при выполнении действий.
• Развивающиея:
  • развитие аналитического мышления учащихся;
  • формирование умения выделять главное и обобщать.
• Воспитывающие:
  • формирование умения организовать свою деятельность.

Тип урока: изучение нового материала.

Задачи урока:

• настроить детей на рабочий лад;
• повторить правила сложения, вычитания дробей; сложения и вычитания смешанных чисел;
• проверить умение детей выполнять сложение и вычитание дробей;
• сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число; правило умножения обыкновенных дробей;
• отрабатывать навыки умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь;
• проверить уровень усвоения материала.

По завершении урока учащийся должен:

• Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь.
• Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Методы организации учебной деятельности: проблемный, объяснительно-иллюстративный, использование ИКТ.

Оборудование: учебник математики 6-й класс, автор Н. Л. Виленкин; сборник математических диктантов; мультимедийный проектор.

1. Организационный момент (2 мин.) (Приложение. Слайд 2)

Учитель. Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности истекших дней
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины
Всё время схватывая нить
Судеб, событий,
Жить, думать, чувствовать, любить
Свершать открытья.

– На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

2. Вводный контроль (3 мин.)

Учитель. Начнём урок с повторения. (Приложение. Слайд 3)

1) = п 1) = л
2) = л 2) = о
3) = а 3) = м
4) = н 4) = а
5) = у 5) = т
6) = д 6) = ь

Сначала на слайде видны примеры и таблицы ответов, затем ответы и слова.
Рассказывает учащийся, подготовленный дома.

Первое понятие дроби появилось в древнем Египте много веков назад. У многих народов дроби называли ломаными числами. Этим названием пользуется и автор первого русского учебника по математике Л.Ф.Магницкий. В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке.
Происходит слово “дробь” от слова “дробить, разбивать, ломать на части”. Современное обозначение дробей берет своё начало в древней Индии; дробная черта появилась в записи дробей лишь около 300 лет назад. Название “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Плануд. Для запоминания: “Человек стоит на земле”. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка “попасть в дроби”, что означает попасть в трудное положение.
Задача сегодняшнего урока – доказать, что дроби не смогут поставить вас в трудное положение.

1. Какие правила вы применяли?
2. Как читается правило сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями?
3. Как выполнить сложение смешанных чисел?
4. Как выполнить вычитание смешанных чисел?

Повторяем правила сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями. Учащиеся формулируют правила.

3. Сообщение темы урока (4 мин.)

Учитель. Какие действия вы умеете выполнять и знаете правило, как это сделать? Какие действия с обыкновенными дробями нам предстоит научиться выполнять?
Дети. Действия с дробями. Мы умеем сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями и эти же действия со смешанными числами.
Учитель. Сегодня на уроке будем работать над темой:
«Умножение дробей». Сформулируем правило умножения дробей, научимся его применять.

Замените сумму произведением:

5 + 5 + 5 = 5 • 3
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 7
а + а + а + а + а + а = а•6

3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
8 • 2 = 8 + 8
b • 3 = b + b + b

4. Изучение нового материала (10 мин.)

Задача. (Приложение. Слайд 6)
Скорость улитки см /мин. Какое расстояние проползёт улитка за 4 минуты?
– Что неизвестно в задаче?
– Как найти расстояние, зная скорость и время? (Скорость умножить на время)
– Мы умножать не умеем, а только складывать и вычитать.
– Как быть?
– Как быстрее получить? (Заменить произведение суммой одинаковых слагаемых).
• 4 = + + + = = 2см.
Что значит умножить на 4? (Найти сумму четырёх слагаемых каждое из которых равно ).
Сравните • 4 и , что интересного заметили? (Числитель дроби равен произведению числителя дроби и числа 4, а знаменатель остался без изменения.)
Попробуем сформулировать правило умножения дроби на натуральное число.

Дети выдвигают версии правила умножения дроби на натуральное число. (Приложение. Слайд 7)

– Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Записывают в буклет правило умножения дроби на число (начало правила уже вписано, нужно только закончить).

5. Закрепление новых знаний (10 мин.)

Задача: отработать навыки умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. (Приложение. Слайд 8)

№ 413 б, в – на доске, г – с комментированием на месте, ж, з – самостоятельно.

б)
, .

Физкультминутка (3 мин.)

Сокращение дробей. Если верно – поднимаем руки вверх, неверно – делаем круговые движения головой. (Приложение. Слайд 9)

6/8 = 1/3; 21/49 = 3/8; 15/20 = 3/4; 16/32 = 1/3.

6. Работа с учебником (5 мин.)

Цель: научиться умножать дробь на дробь.

– Самостоятельно рассмотрите по учебнику задачу 2 на стр 71. Попробуйте сформулировать правило умножения дроби на дробь.

Дети формулируют правило, оно появляется на слайде. (Приложение. Слайд 10)

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;
2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

– Выполните умножение дробей (учащиеся проговаривают правило): № 419 (в; е – на доске; з; и – с комментированием с места; к; л – сам-но, 2 человека за доской).

– Нужно ли в данном случае находить отдельно произведение числителей и произведение знаменателей? (Нет, нужно сначала сократить дробь, а затем умножить оставшиеся множители.)
– Прочитайте текст в учебнике на стр74 под рубрикой «Говори правильно».
– Выполните умножение дробей (на доске):

а)
б)
– Составьте алгоритм умножения трёх и более дробей (Приложение. Слайд 11)

При умножении и трёх и более дробей:

1. Удобнее сначала в числителе записать произведение всех числителей, в знаменателе – произведение всех знаменателей.
2. Сократить получившуюся дробь.
3. Выполнить умножение оставшихся множителей.
4. Если надо, выделить целую часть.

Я хорошо понял, как умножать дроби (приклеить на круг зелёную полоску).
Я не всё понял, у меня были ошибки (приклеить на круг жёлтую полоску).
Я не понял, как умножать дроби (приклеить на круг красную полоску).

Приклеивают полоски на круг и показывают.

8. Домашнее задание (1 мин.) (Приложение. Слайд 13)

п.13 (1, 2), № 457 (а, б, ж, з), № 463 (а, б), дополнительное задание в буклете.

9. Итог урока (2 мин.)

Учитель. Какое открытие вы сделали для себя сегодня на уроке? Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь?

Дети. Научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Учащиеся отвечают правило.