Упрощение уравнений делением
Когда неизвестное значение умножается на другое любое известное значение, уравнение сокращается делением обеих сторон на это известное значение.
Пример 1. Упростите уравнение ax + b — 3h = d
Переносим члены ax = d + 3h — b
Делим на a x = ( + 3h — b)/a.
Пример 2. Упростите уравнение 2x = a/c — d/h + 4b
Избавляемся от знаменателей 2chx = ah — cd + 4bch
Делим на 2ch x = (ah — cd + 4bch)/2ch.
Если неизвестное значение имеет коэффициенты для нескольких членов, уравнение должно быть разделено на все эти коэффициенты, соединенные их знаками.
Пример 3. Упростите уравнение ax + x = h — 4
Делим на a + 1 x = (h — 4)/(a + 1)
Пример 4. Упростите уравнение x — (x — b)/h = (a + d)/4
избавляемся от знаменателей 4hx — 4x = ah + dh — 4b
Делим на 4h — 4 x = (ah + dh -4b)/(4h — 4)
Если любое значение, известное или неизвестное, есть множителем каждого члена, уравнение может быть разделено на него. С другой стороны, если любое значение есть знаменателем каждого члена уравнения, то уравнение может быть умножено на него. В этом случае, множитель или делимое удаляется с тем, чтобы сделать уравнение более простым.
Пример 5. Упростите уравнение ax + 3ab = 6ad + a
Делим на a x + 3b = 6d + 1
И x = 6d + 1- 3b.
Пример 6. Упростите уравнение x.(a + b) — a — b = d.(a + b)
Делим by a + b x — 1 = d
И x = d + 1.
Иногда условия задачи выражены не уравнениям, а пропорцией. Чтобы показать, как это может быть сведено к уравнению, необходимо использовать тему следующего раздела, а пока мы приведем правило, согласно которому «в пропорции с четырьмя значениями, то произведение двух крайних членов равно произведению двух внутренних членов».
Так, если a:b = c:d, тогад ad = bc.
И если 3:4 = 6:8, тогда 3.8 = 4.6.
Пропорция преобразуется в уравнение путем умножения крайних членов и записью их произведения на одной стороне уравнения и записью произведения внутренних членов пропорций на другой стороне.
Пример 1. Преобразуйте в уравнение ax:b = ch:d.
Произведение крайних членов есть adx
Произведение внутренних членов есть bch
Поэтому уравнение, будет иметь вид adx=bch.
Пример 2. Преобразуйте в уравнение a + b:c = h — m:y.
Уравнение будет иметь вид: ay + by = ch — cm.
С другой стороны, уравнение может быть преобразовано в пропорцию путем записи одной стороны уравнения как произведение двух множителей, как внутренних членов будущей пропорции, и на другой стороне также как произведение двух множителей как внешних членов будущей пропорции.
Так как какая-нибудь величина (или значение) часто может быть записана как различные пары множителей то и разные пропорции могут быть образованы из одного того же самого уравнения.
Пример 1. Преобразуйте в пропорцию abc = deh.
Сторона abc может быть преобразована к виду a.bc, или ab.c, или ac.b.
А deh может быть записана как d.eh, или de.h или dh.e.
Поэтому a:d :: eh:bc и ac:dh = e:b
Также, ab:de = h:c и ac:d = eh:b, &c.
для каждого из этих примеров произведение внешних членов есть abc, а произведение внутренних есть deh.
Пример 2. Преобразуйте в пропорцию ax + bx = cd — ch
Первый член может быть записан как x.(a + b)
Второй член может быть записан как c.(d — h)
Поэтому x:c = (d — h):(a + b)
И d — h:x = a + b:c, &c.
Если любой член или любые члены уравнения могут быть заменены таким же самым значением, то уравнение останется верным.
Так, например вместо 16 мы можем записать 2.8, или 64/4, или 25 — 9.
Здесь просто использованы разные формы записи одних и тех же значений.
Обычно, действия по упрощению или решению уравнений делаются в определенном порядке.
Во-первых, избавляемся от знаменателей.
Во-вторых, переносим и проводим операции с членами уравнения.
В третьих, делим на коэффициенты неизвестной величины.
Пример.
1. Решите уравнение 3x/4 + 6 = 5x/8 + 7
Избавление от знаменателей 24x + 192 = 20x + 224
Перенос и объединение членов 4x = 32
Деление на 4 x = 8.
2. Решите уравнение x/a + h = x/b — x/c + d
Избавление от знаменателей bcx + abx — acx = abcd — abch
Деление x = (abcd — abch)/(bc + ab — ac)
3. Решите 40 — 6x — 16 = 120 — 14x. Ответ: x = 12.
4. Решите x/3 + x/5 = 20 — x/4.
5. Решите (1 — a)/x — 4 = 5.
6. Решите 6x/(x + 4) = 1.
7. Решите x + x/2 + x/3 = 11.
8. Решите (x — 5)/4 + 6x = (284 — x)/5.
9. Решите 3x + (2x + 6)/5 = 5 + (11x — 37)/2
10. Решите (6x — 4)/3 — 2 = (18- 4x)/3 + x.
11. Решите 3x — (x — 4)/4 — 4 = (5x + 14)/3 — 1/12.
12. Решите (7x + 5)/3 — (16 + 4x)/5 + 6 = (3x + 9)/2.
13. Решите x — (3x — 3)/5 + 4 = (20 — x)/2 — (6x — 8)/7 + (4x — 4)/5.
14. Решите (6x + 7)/9 + (7x — 13)/(6x + 3) = (2x + 4)/3.
15. Решите [(5x + 4)/2]:[(18 — x)/4] = 7:4.
Уравнения на упрощение на деление
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)
Важно В выражениях переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a, b, . z
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Упрощения алгебраических выражений
Что значит упростить алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).
Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.
Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.
Правила упрощения алгебраических выражений
Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:
- приведение подобных;
- разложение на множители;
- сокращение дроби;
- сложение и вычитание дробей;
- умножение и деление дробей.
В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:
- При наличии подобных их рекомендуется привести, при этом не имеет значения то, в какой момент они образовались.
- При появлении первой возможности для сокращения дробей, рекомендуется ей сразу воспользоваться. Исключением являются дроби с одинаковыми знаменателями, которые требуется вычитать или суммировать. Такие дроби можно сократить после выполнения необходимых действий.
Приведение подобных
Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.
Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.
В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.
Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.
К примеру, приведем слагаемые:
2 a + 3 b — a + 8 b + 7 a = 8 a + 11 b
Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.
Рассмотрим выражение с квадратной степенью:
Здесь число 3 является коэффициентом.
Разложение на множители
Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
4 x 2 — 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 — 4 x y + 4 y 2 = 4 x — 2 y 2
В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.
Сокращение дроби
В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.
Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:
- разложение на множители числителя и знаменателя;
- при наличии в числителе и знаменателе общих множителей их допустимо исключить из выражения.
Пример 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.
Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.
Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».
Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:
a b + c d = a · d + c · b b · d ;
a b — c d = a · d — c · b b · d
Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:
Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:
2 · 4 — 1 · 3 3 · 4 = 5 12
В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:
3 · 3 + 2 · 4 — 5 · 12 24 = — 43 24
В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:
3 4 7 — 1 2 3 = 25 · 3 7 — 5 · 7 3 = 75 — 35 21 = 40 21
Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:
- определить общий множитель;
- умножить каждую дробь на недостающий множитель;
- сложить или вычесть числители.
Здесь общий множитель равен 12. Тогда:
a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12
Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:
a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12
Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:
- разложение знаменателей на множители;
- определение одинаковых множителей;
- выделение всех общих множителей по одному разу;
- умножение общих множителей на оставшиеся множители, которые не являются общими.
Пример 7
Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:
1 a b 2 + 1 a 2 b
Разложим знаменатели на множители:
a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b
Вычислим единые множители:
a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯
Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:
a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2
Общим знаменателем является a 2 b 2 . Умножим первую дробь на а, вторую — на b:
1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2
Умножение и деление дробей
Умножение и деление дробей выполняют таким образом:
a b · c d = a · c b · d ;
a b : c d = a · d b · c
Арифметические действия выполняют в следующем порядке:
- вычисление степени;
- умножение и деление;
- сложение и вычитание.
Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.
2 + 3 2 — 16 2 1 — 8 5 3 3
Используя правило умножения и деления дробей, получим:
2 + 3 2 — 16 2 1 — 8 5 3 3 = 2 + 9 — 16 2 1 — 8 5 3 3 = — 5 2 1 — 8 5 3 3 = 25 · 1 — 8 5 3 3 = 25 · — 3 5 3 3 = 25 5 · — 3 5 3 3 = 5 · — 3 3 3 = 5 · — 1 3 = — 5 3 = — 125
Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.
Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.
Попробуем упростить выражение:
x y — y x · 5 x y x + y
Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:
x · x y — y · y x = x · x — y · y y x = x 2 — y 2 y x = x — y x + y y x
Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:
x y — y x · 5 x y x + y = x — y x + y y x · 5 x y x + y
x — y x + y y x · 5 x y x + y = x — y x + y · 5 x y y x x + y
x — y x + y · 5 x y y x x + y = 5 x — y
Пояснения на примерах
Требуется упростить выражения:
a — 2 b + 3 b + 6 a ;
a + a b — 3 a + 2 b a ;
a 2 b + a b 2 — a b + 2 a b 2 .
Приведем подобные и упростим выражения:
a ¯ — 2 b ¯ ¯ + 3 b ¯ ¯ + 6 a ¯ = 7 a + b
a ¯ + a b ¯ ¯ — 3 a ¯ + 2 b a ¯ ¯ = — 2 a + 3 a b
Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:
В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.
a 2 b + a b 2 ¯ — a b + 2 a b 2 ¯ = a 2 b + 3 ¯ a b 2 ¯ — a b .
Требуется упростить выражения:
a 3 b 4 — 3 a b 2 + 8 a 2 b 3
4 x 2 — 16 x y + 16 y 2
a 2 + 6 a y + 9 y 2 — 4
Путем разложения на множители упростим данные выражения:
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
a 3 b 4 — 3 a b 2 + 8 a 2 b 3 = a b 2 a 2 b 2 — 3 + 8 a b
4 x 2 — 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 — 4 x y + 4 y 2 = 4 x — 2 y 2
a 2 + 6 a y + 9 y 2 — 4 = a + 3 y 2 — 2 2 = a + 3 y — 2 a + 3 y + 2
a 2 — b 2 a 2 + 2 a b + b 2
72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
a 2 — b 2 a 2 + 2 a b + b 2 = a — b a + b a + b 2 = a — b a + b a + b a + b = a — b a + b
x 2 + 2 x y + y 2 x 2 — y 2
x 2 y — 4 y x 2 — 4 x + 4
a 3 — b 3 a 2 + a b + b 2
x 2 — 1 x — 1 = x 2 x = x
В первую очередь выполним разложение на множители:
x 2 — 1 x — 1 = x — 1 x + 1 x — 1 = x + 1
x 2 + 2 x y + y 2 x 2 — y 2 = x + y 2 : x + y x — y x + y : x + y = x + y x — y
x 2 y — 4 y x 2 — 4 x + 4 = y x 2 — 4 x — 2 2 = y x — 2 x + 2 x — 2 2 = y x + 2 x — 2
a 3 — b 3 a 2 + a b + b 2 = a — b a 2 + a b + b 2 a 2 + a b + b 2 = a — b .
Дано выражение, которое требуется упростить:
1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2
В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:
1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2 = 1 x y — 2 x — x 2 x — y 2 x + y
Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:
y — 2 x = — 2 x — y
1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2 = 1 x y — 2 x — x 2 x — y 2 x + y = = 1 x y — 2 x — x — y — 2 x 2 x + y = 1 x y — 2 x + x y — 2 x 2 x + y
Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:
1 x y — 2 x + x y — 2 x 2 x + y = 2 x + y + x 2 x y — 2 x 2 x + y = x 2 + 2 x + y x y 2 — 4 x 2
Ответ: x 2 + 2 x + y x y 2 — 4 x 2
x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4
Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:
x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4
Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:
x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2
Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:
x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 — x x 2 + 2 x + 4 + + 1 · 2 — x x 2 + 2 x + 4 = x + 2 — x 2 — x x 2 + 2 x + 4 = 2 8 — x 3
Требуется упростить выражения:
3 a + 1 4 + 2 a — 3 10
2 x 2 — 5 3 + 3 x + 2 2 — 2 x 2 — 2 x — 1 4
5 a b — 3 · 2 a b 15 = 5 a b — 6 a b 15 = — a b 15
5 3 a + 1 + 2 2 a — 3 20 = 15 a + 5 + 4 a — 6 20 = 19 a — 1 20
4 2 x 2 — 5 + 6 3 x + 2 — 3 2 x 2 — 2 x — 1 12 = = 8 x 2 ¯ — 20 ¯ ¯ + 18 x ¯ ¯ ¯ + 12 ¯ ¯ — 6 x 2 ¯ + 6 x ¯ ¯ ¯ + 3 ¯ ¯ 12 = 2 x 2 — 5 + 24 x 12
Дано выражение, которое требуется упростить:
1 a 2 x 2 b 3 y — 1 a x 3 b 2 y 4
При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:
a во второй степени;
x в третьей степени;
b в третьей степени;
y в четвертой степени.
В результате получим:
1 · x · y 3 a 2 x 2 b 3 y — 1 · a · b a x 3 b 2 y 4 = x y 3 — a b a 2 x 3 b 3 y 4
Ответ: x y 3 — a b a 2 x 3 b 3 y 4
Нужно упростить выражение:
t + 3 3 t — 1 + t + 3 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1
Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.
Выглядит этот алгоритм таким образом:
t + 3 3 t — 1 + t + 3 t + 1 ⏞ 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t ⏞ 2 + t 2 + 3 t + 1 ⏞ 3 .
t + 3 · t + 1 3 t — 1 + t + 3 · 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t + 3 t + 1 + t + 3 3 t — 1 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t 2 + 3 t + t + 3 + 3 t 2 + 9 t — t — 3 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 =
4 t 2 + 12 t 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 3 t — 1 t + 1 : t t + 3 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = .
= 4 t t + 3 3 t — 1 t + 1 · 1 — 3 t t t + 3 + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 · 1 — 3 t — 1 3 t — 1 t + 1 · t t + 3 + + t 2 + 3 t + 1 = — 4 t + 1 + t 2 + 3 t + 1 = — 4 + t 2 + 3 t + 1 = t 2 — 1 t + 1 = t — 1 t + 1 t + 1 = t — 1
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/equal-one/uproschenie-vyirazhenij/
http://wika.tutoronline.ru/matematika/class/5/uproshheniya-algebraicheskih-vyrazhenij