Уравнения нахождение неизвестного множителя делимого и делителя

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 — 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Например, у нас есть уравнение x — 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 — 6 = 10 . Равенство 16 — 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 — x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 — 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:

10 — x = 8 , x = 10 — 8 , x = 2 .

Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 — 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c : a = b , c : b = c и наоборот.

Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:

x · 2 = 20 x = 20 : 2 x = 10 .

Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Решим с его помощью уравнение x : 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.

Вот краткая запись всего решения:

x : 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .

Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Возьмем простой пример – уравнение 21 : x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:

21 : x = 3 , x = 21 : 3 , x = 7 .

Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21 : 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0 : x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5 : x = 0 , которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения еще одного уравнения ( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 :

( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 2 + 5 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28 : 2 , x = 14 .

Нахождение неизвестного множителя, неизвестного лелимого, неизвестного делителя
план-конспект урока по математике (4 класс)

Урок математики в 4 классе по теме: «Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя» определяет цели:

познакомить с решением уравнений с неизвестными множителем, делимым, делителем; совершенствовать вычисли­тельные навыки, умение решать задачи.

Скачать:

Предварительный просмотр:

УРОК № 52 Класс: 4 – Б Дата: 09.12.2019

Тема: Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя

Цели: познакомить с решением уравнений с неизвестными множителем, делимым, делителем; совершенствовать вычислительные навыки, умение решать задачи.

Предметные: повторить с учащимися взаимосвязь между компонентами умножения и деления; учить решать уравнения, когда находят неизвестное делимое, делитель или множитель, используя знания умножения и деления многозначного числа на однозначное, а также усложнённые уравнения, учить детей решать задачи, используя знания нахождения неизвестного компонента при умножении и делении.

Познавательные: устанавливать закономерности и использовать их при выполнении заданий, ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного, находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Регулятивные: обнаруживать и формулировать цель учебной деятельности, проверять результаты вычислений, адекватно воспринимать указания на ошибки и исправлять найденные ошибки, оценивать собственные успехи в вычислительной деятельности, планировать шаги по устранению пробелов.

Коммуникативные: продолжать работу по формированию умений высказывать свою точку зрения, ее обосновывать, приводя аргументы, развивать умения слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовыми изменить свою точку зрения, развивать навыки сотрудничества между учащимися и учителем, взаимопомощь при работе в группах, учиться сообща находить выход из проблемных ситуаций.

Личностные: положительное отношение к урокам математики, умение признавать собственные ошибки, формирование ценностных ориентаций (саморегуляция, стимулирование, достижение и др.), формирование математической компетентности.

Тип урока: у рок открытия новых знаний.

Формы деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Оборудование: мультимедийное оборудование, презентация, математика, 4 класс, М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова — 5-е издание – М: Просвещение, 2014 (Школа России), рабочие тетради, карточки для работы в группах, индивидуальные наборы для оценивания: зеленый квадратик: мне все понятно, отлично; желтый квадратик: мне все понятно, но есть еще ошибки; красный квадратик: мне не все понятно, требуется помощь.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

— составьте трехзначные числа: 2 сотни, 1 десяток, 2 единицы; 2 сотни, 2 десятка, 1 единица; 1 сотня, 1 десяток, 2 единицы.

— каждое число увеличить на 10; каждое число увеличить в 10 раз.

2. Устный счет (слайд № 2)

(260•3 — 120•2) •100= 84 : 14 + 16 • 4 =

(225•4 + 206•4) • 0 = 2 • 75 + 5000 : 100 =

3. Работа над задачами

• Папа поймал 9 рыб, а Сережа — третью часть папиной рыбы. Сколько рыб поймали папа с Сережей? (9 + 9:3 = 12(р.).)

• Мама и Маша шли навстречу друг другу. Мама прошла 30 м, а Маша — в 2 раза меньше. Какое расстояние было между мамой и Машей? (30 + 30:2 = 45 (м).)

4.Заполнение таблиц (страница 80).

5. Объяснить решение уравнений.

60 • Х = 240 Х :7 = 90 6400 : Х = 8 (слайд № 3)

III. Самоопределение к деятельности

— Посмотрите на следующие уравнения (слайд № 4)

— Сформулируйте задачи урока. (Научиться решать уравнения на нахождение неизвестных множителя, делимого, делителя в усложненных случаях.)

IV. Работа по теме урока Работа по учебнику

— Рассмотрите уравнения, данные ниже. Объясните их решение.

№ 357 (с. 80). (Первое и второе уравнения — коллективно, с комментированием у доски, третье — самостоятельно. Самопроверка по образцу, самооценка.)

Дополнительное задание: составить подобное уравнение и дать решить соседу по парте.

(Выполняется на листочках.)

— Назовите производительность ученика. (10 стульев в день.)

— Как вы думаете, производительность столяра будет больше или меньше, если ту же работу он выполнил за 4 дня? (Производительность будет больше, так как времени затрачено меньше.)

— Заполните таблицу и решите задачу.

(Один ученик работает на откидной доске. Проверка, самооценка.)

Урок математики «Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя»

Савицкая Надежда Сергеевна (автор)

ID 26555-210566, 01.04.2019 02:03:28

Поддержите эту публикацию — расскажите о ней в любимой социальной сети! Так вы сможете ее не потерять!

Краткое описание

Конспект урока по теме «Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя». Разработан на основе требований ФГОС НОО. В уроке используются интересные приемы актуализации знаний, организация работы в парах, со слабоуспевающими учениками,представлены приемы рефлексии, как в ходе урока, так и в завершении. Также представлена презентация, сопровождающая урок.

Урок математики «Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя»

Урок математики Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя

Поддержите эту публикацию — расскажите о ней в любимой социальной сети! Так вы сможете ее не потерять!

Официальным сайтом Автономной некоммерческой организации дополнительного профессионального образования «Московская академия профессиональных компетенций» является mosapk.ru

© 2017 Автономная некоммерческая организация дополнительного профессионального образования «Московская академия профессиональных компетенций» (зарегистрирована Министерством юстиции РФ, лицензия на образовательную деятельность № 036571)

© 2017 ООО «Консалтинговая группа «Финиум»

Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70758 выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор)