Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Степенные или показательные уравнения.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n
3. a n • a m = a n + m
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .
Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10•4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :
2 2х+4 = 2 2х •2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2 :
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
3 х = 9
3 х = 3 2
х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения
Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).
Типы показательных уравнений и способы их решения
Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.
I тип: уравнение вида
где (6.2)
Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:
(6.3)
Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.
II тип: Уравнение вида
где (6.4)
По свойству равенства степеней равносильно уравнению
Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.
III тип: уравнение вида
(6.5)
Где F – некоторое выражение относительно
Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.
Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений
IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.
Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).
Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).
Типы показательно-степенных уравнений
I тип: уравнение вида
(6.6)
Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности
II тип: уравнение вида
(6.7)
Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности
Пример 1. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:
т. е.
Приходим к линейному уравнению
Откуда
2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:
Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:
Пришли к ответу:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:
По свойству степеней:
Получаем ответ: Х = 0.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение
Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:
Корнями последнего уравнения являются значения
Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:
Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:
т. е.
Получили ответ: Х = 3.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Выполним необходимые преобразования:
Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:
Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда
Откуда
Возвращаемся к старой переменной:
Получили ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.
2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:
или
Заменим Получим
При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.
Получили ответ: Х = 2.
Пример 6. Решить уравнение
Перепишем уравнение в виде
Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:
Вводим замену
Получаем квадратное уравнение откуда
Возвращаемся к старой переменной:
Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 7. Решить уравнение
Решением является совокупность
Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.
Получили ответ: X = 1, X = 3.
http://tutomath.ru/uroki/stepennye-pokazatelnye-uravneniya.html
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/algebraicheskie-uravneniia-i-neravenstva-funktcii-logarifmy/49-pokazatelnye-uravneniia-pokazatelno-stepennye-uravneniia