Уравнения неразрешенные относительно производной задача коши

Решением ОДУ называется функция y(x), имеющая непрерывные производные нужного порядка, исходя из уравнений, при постановке которые уравнение превращается в точку. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x) , имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ‘( x ), y »( x ). y ( n ) ( x ) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Частное решение диф.ур.-ф-ция превращающая ур.в подмножество. Общее решение-все множество частных результатов.

Задача Коши-нахождение решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям.

ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)

ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Если (1) можно разрешить относительно старших производных, т. е. привести к виду

то путем увеличения числа неизвестных скалярных функций (см. п. 1.4.5) уравнение (2) всегда можно привести к нормальному виду

Поэтому в дальнейшем основным объектом изучения будет именно нормальная система (НС).

Задача Коши, или начальная задача для уравнения (2) — это система, состоящая из (2) и начального условия

где t₀ О R — начальный момент, y₀ — начальное значение. Для (НС) начальное условие записывается в виде

Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку(t₀, x₀) (см. рис. 1).

График решения ОДУ y=f(x) называется интегральной кривой ДУ. Нахождение множества решений ДУ называют интегрированием ДУ

1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию

Пусть y(x) — решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим — общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение — с разделёнными переменными, интегрируя его, получим . Соотношение (x-1) 2 + y 3 = C — общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x₀ и y₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1) 2 + 1 3 = 2 C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1) 2 + y 3 = 2.

2. Так называются уравнения вида

или (1)

f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 (2)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (1) в форме , затем делим на g(y) и умножаем на dx: .

Уравнение (2) делим на f₂(x) g₁(y): .

Эти уравнения — с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:

.

.

В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.

y = y₃, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.

В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: .

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y ( n ) : .

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Понижение порядка диф ур-ния – основной метод решения ур-ний высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем ур-ниям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Если f(x) – ф-ция непрерывная на некотором промежутке a 3.Линейное однородное уравнение первого порядка

Общее решение: .

Линейное неоднородное уравнение первого порядка

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами(1)

. (2)

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

. (3)

Находим фундаментальную систему решений и и общее решение однородного уравнения

.

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений и однородного уравнения (3), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

,

где функции и определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Интегрируя, находим функции и и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3. Используя начальные условия (2), находим решение задачи Коши

Метод Бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид . При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными .

Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной . Действительно, при такой замене имеем и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид

.

После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.

Теорема (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:

где – частное решение ДУ(1), y ₀ – общее решение соответствующего однородного ДУ (2):

y ( n ) + a ₁ y ( n -1) + . +a _n y = 0,

Докажем теорему для уравнения второго порядка

y // + py / + qy = f ( x ). (4)

Рассмотрим соответствующее однородное ДУ:

y // + py / + q = 0. (5)

Обозначим y ₁, y ₂ его линейно независимые частные решения и y ₀ = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ – его общее решение.)

Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные):

Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y ₀– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.

то — решение уравнения

Если α — действительное число, отличающееся от 0 и 1, т.к. при α=0 и α=1 ур-ние обращается в линейное. Данное ур-ние решается 2 способами:

1.Из него можно сделать линейное ур-ние, разделив :

2..Решать точно так же как и однородное ур-ние, поскольку левая часть у них одинаковая.

F ( x , y , y ‘ ) = 0 ,

не разрешённое относительно производной. Если попытаться выразить из него y ‘ , то можно получить , вообще говоря , несколько уравнений

Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.

Уравнения, не разрешённые относительно производной, выглядят так: .

Уравнения первого порядка n-ой степени решаются так:

Если из уравнения y можно выразить, то есть , то это решается методом введения параметра, а именно: Обозначим , получим:

Продифференцируем по x:

Получили уравнение, разрешённое относительно производной. p(x,C) подставляем в (*), получим: . Это и будет решение.

Рассмотрим теперь случай, когда из уравнения можно явно выразить x, то есть . Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по y обе части:

Мы получили уравнение, разрешённое относительно производной . В итоге получаем: .

Уравнение Лагранжа – это уравнение, линейное относительно x и y, оно имеет вид: . Уравнения Лагранжа ВСЕГДА интегрируется в квадратурах.

Принцип решения: Вводим параметр , получаем:

Пусть , поделим всё выражение на A(p):

Продифференцируем по x:

Получили линейное уравнение первого порядка. Отсюда находим .

В итоге решение в параметрическом виде:

Отдельно рассмотрим случай, когда :

Если это тождество, то есть , то:

Если это не тождество, а уравнение с корнями: например, p0 – корень, то есть , тогда – решение.

Частный случай уравнения Лагранжа – это уравнение Клеро. Это когда уравнение Лагранжа имеет следующий вид: . Принцип решения: Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по x, получаем:

Общее решение уравнения Клеро:

Здесь – семейство всевозможных кривых; – огибающая этого семейства, тоже является решением и называется особое решение.

Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.

Простейшие ОДУ высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида F (x, y(x), y ‘(x), y »(x), … , y(n)(x)) = 0, где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме: y(n) = f(x, y, y ‘, y », … , y(n − 1)).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия. Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y ‘(x0) = y1, y »(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.

Общим решением дифференциального уравнения F(x, y(x), y ‘(x), y »(x), … , y(n )(x)) = 0 называется функция y = Ф(x, С1, С2, … , Сn), содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:

Ф(x, С1, С2, … , Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, … , Сm;

для любых начальных данных y(x0) = y0, y ‘(x0) = y1, y »(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2, … , Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2, …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С1, С2, . Сn) = 0.

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок.

Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ‘. y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка: Если z = z(x,C1. Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле

Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие независимой переменной — уравнения вида F(y, y’, . y(n)) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ‘ = p(y). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(y) , в котором порядок старшей производной от p(y) будет на единицу меньше, чем порядок старшей производной от y(x) в исходном уравнении.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие искомой функции — уравнения вида F(x, y’, . y(n)) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ‘ = p(x). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(x) на единицу меньшего порядка, чем исходное уравнение: F(x, p, p’, . p(n — 1)) = 0. Если правая часть уравнения F(x, y, y ‘. y(n) ) = 0, удовлетворяет условию однородностиF(x, ty, ty ‘. ty(n) ) = tk F(x, y, y ‘. y(n) ) то говорят, что это уравнение, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ‘. y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех ее производных. Порядок такого уравнения можно понизить заменой

Выражение для первой производной от y(x) не содержит производной от z(x):

.

Поэтому, заменив в исходном уравнении y, y ‘. y(n) их выражениями через z(x), получим относительно z(x) дифференциальное уравнение на единицу меньшего порядка.

Основные понятия, относящиеся к системам ОДУ: порядок системы, нормальная форма системы, общее и частное решения, общий и первый интегралы. Задача Коши для нормальной системы, её геометрический смысл.

Совокупность соотношений вида:

Где y1, y2, …, yn искомые функции от независимой переменной x, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Будем предполагать функции F2, F2, …, Fn такими, что система разрешима относительно производных от искомых функций:

Такие системы называются нормальными системами дифференциальных уравнений.

Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы. Значит, наша система имеет n-ый порядок.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Семейство решений системы (2), зависящее от n произвольных постоянных C1, C2, …, Cn

называют обычно общим решением этой системы.

Дадим определение общего решения системы (2) в области D изменения переменных x, y1, y2, …, yn.

В качестве области D будем рассматривать область в пространстве (x, y1, y2, …, yn), в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для системы (2).

Совокупность n функций (6), определённых в некоторой области изменения переменных x, C1, C2, …, Cn, имеющих непрерывные частные производные по x, будем называть общим решением системы (2) в области D, если система (6) разрешима относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn в области D, так что при любых значениях x, y1, y2, …, yn, принадлежащих области D, системой (6) определяются значения C1, C2, …, Cn:

и если совокупность n функций (6) является решением системы (2) при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn, доставляемых формулами (7), когда точка (x, y1, y2, …, yn) пробегает область D.

Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn,, включая бесконечности, будет частным решением.

Решая задачу Коши при помощи формулы общего решения всегда получаем частное решение.

1-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y1, y2, …, yn), не приводящаяся к постоянной, называется интегралом системы (2), если при замене y1, …, yn любым частным решением этой системы она обращается в постоянную.

2-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y1, y2, …, yn), имеющая непрерывные частные производные по x, y2, …, yn, и такая, что в рассматриваемой области не обращаются одновременно в нуль, называется интегралом системы (2), если полный дифференциал этой функции обращается тождественно в нуль в силу системы (2), то есть имеет место тождество:

.

Равенство , где – интеграл системы (2) в смысле первого или второго определения, а C – произвольная постоянная, называется первым интегралом системы (2). Например, каждое из равенств (7) является первым интегралом системы (2).

Совокупность n первых интегралов (7) обладает тем свойством, что она разрешима относительно искомых функций y1, y2, …, yn, причём в результате этого мы получаем общее решение (6) системы (2) в области D. Всякую совокупность n первых интегралов, обладающую таким свойством, будем называть общим интегралом системы (2) в области D.

Фундаментальные системы решений нормальной системы однородных линейных ОДУ. Теорема существования фундаментальных систем. Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы однородных линейных ОДУ.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

называется линейной системой. При система становится однородной. В векторно-матричной форме: , где
,

Будем искать решение . Ищем решение системы в таком виде:

Фундаментальной системой решений системы уравнений (*) называется системы из n линейно независимых вектор-функций.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: .

Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных ОДУ.

Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

Здесь A

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) непрерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы , то общее решение неоднородной системы Y’ = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x0 — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши , Y(x0) = Y0 является вектор-функция

Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений нормальной системы неоднородных линейных ОДУ.

Определение системы неоднородных линейных ОДУ. Система ОДУ вида:

называется линейной неоднородной. Пусть

Система (*) в векторно-матричном виде: . — система однородная, иначе – неоднородная.

Сам метод. Пусть имеется линейная неоднородная система , тогда — линейная однородная система, соответствующая линейной неоднородной. Пусть – фундаментальная матрица системы решений, , где C – произвольный постоянный вектор, — общее решение системы. Станем искать решение системы (1) в виде , где C(x) – неизвестная (пока) вектор-функция. Хотим, чтобы вектор-функция (3) была решением системы (1). Тогда должно быть справедливо тождество:

(произвольный постоянный вектор, который получается в результате интегрирования, можно считать равным 0). Здесь точки x0, – любые.

Видим, таким образом, что если в (3) в качестве C(t) брать , то вектор-функция будет решением системы (1).

Общее решение линейной неоднородной системы (1) может быть записано в виде . Пусть требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию . Подстановка (4) начальных данных (5) даёт . Следовательно, решение задачи Коши (1)-(5) может быть записано в виде: . В частном случае, когда , последняя формула принимает вид: .

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Дифференциальные уравнения, которые удается разрешить относительно производной

Сначала нужно проверить, не удастся ли уравнение решить относительно производной. Если уравнение удается разрешить относительно производной, то оно сводится к одному из ранее рассмотренных типов.

Пример

Решить уравнение:
(1)

Решим это уравнение относительно производной. Возводим уравнение (1) в квадрат:
.
Или:
;
.
Поскольку , то 1″ style=»width:57px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position:-362px -390px»> .
Извлекаем квадратный корень. Получаем два значения:
(2) .
Из уравнения (1) следует, что 0″ style=»width:62px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position:-300px -390px»> .
Поэтому при 1″ style=»width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position:-452px -0px»> , 0″ style=»width:51px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position:-446px -247px»> . В уравнении (2) выбираем верхний знак “+”.
При , . В уравнении (2) выбираем нижний знак “–”.

Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
(3) .
Поскольку верхний знак “+” относится к 1″ style=»width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position:-452px -0px»> , а нижний знак “–” относится к , то
.
Тогда
.

Теперь объясним, как мы вынесли за знак логарифма в (3).
Применим формулу:
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Подставим ; :
;
;
;
.
Логарифмируем, применяя свойства логарифмов:
.
Отсюда
.

Дифференциальные уравнения, допускающие разложение на множители

Также нужно проверить, не удастся ли представить уравнение в виде произведения множителей:
.
Если такое разложение возможно, то последовательно решают уравнения, составленные из сомножителей:
;
;
;
.
.

Виды не разрешенных уравнений, допускающих решение

Далее приведены виды не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решение.

Уравнения, не содержащие x и y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде независимую и зависимую переменные:
.
См. Уравнения, содержащие только производную.

Уравнения, не содержащие x или y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде либо независимую переменную , либо зависимую переменную :
; или .
См. Уравнения, не содержащие одну из переменных в явном виде.