Уравнение. Однородные тригонометрические уравнения относительно sin и cos.
Уравнение считаются однородным относительно sin и cos, когда все его члены одинаковой степени относительно sin и cos и одинакового угла.
Рассмотрим несколько примеров однородных тригонометрических уравнений:
sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0,
cos 2 х — sin х cos х = 0.
К примеру, у членов первого уравнения общая степень 1, а у членов других двух уравнений — общая степень 2
Для решения подобных уравнений требуется:
— переместить все его компоненты в левую часть;
— переместить общие множители за скобки;
— приравнять все множители и скобки к нулю;
— скобки, равные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое необходимо поделить на cos ( или sin ) в большей степени;
— найти корни образовавшегося уравнения относительно tg ( или ctg)..
Найдем корни уравнения sin х — cos х = 0.
В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin 2 х +cos 2 х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.
Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cos 2 х. Тогда получим tg x — 1 = 0, далее:
Сходным образом решаем и уравнение sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0.
Поделим обе части этого выражения на cos 2 х:
tg 2 х — 5 tg х + 6 = 0;
x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ .
Вычислим корни уравнения cos 2 х — sin х cos х = 0.
В этом случае тождество cos х = 0 допустимо, и следовательно, поделить обе части выражения на cos 2 х невозможно. Однако, возможно, что sin х ≠ 0. В противоположном случае из выражения получалось бы, что cosх = 0. Но тогда не осуществилось бы равенство sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, sin х ≠ 0. Значит обе части данного выражения возможно поделить на sin 2 х.
После проведения преобразований имеем:
Согласно этому формируются две группы корней:
Некоторые тригонометрические уравнения, не будучи однородными, просто преобразуются в однородные.
Так, когда в уравнении:
представим 0,5 как 0,5 (sin 2 х +cos 2 х), и получим однородное уравнение sin х cos x = 0,5 sin 2 х + 0,5 cos 2 х.
Уравнения однородные относительно синуса и косинуса
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
Уравнения однородные относительно синуса и косинуса
Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:
a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:
1) разделить обе части уравнения на cos x
2) решить получившееся выражение
Пример : Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos x:
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin 2 x.
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.
1) Разделить обе части уравнения на cos 2 x
2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x)
3) Решить получившееся уравнение
Пример : Решить уравнение sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x:
tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0.
Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:
Значит:
либо tg x = 1,
либо tg x = 2.
Сначала найдем x при tg x = 1:
x = arctg 1 + πn.
x = π/4 + πn.
Теперь найдем x при tg x = 2:
x = arctg 2 + πn.
Ответ : x = π/4 + πn; x = arctg 2 + πn.
http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij
http://raal100.narod.ru/index/0-301