Уравнения описывающие процессы в колебательном контуре вывод

Уравнения описывающие процессы в колебательном контуре вывод

«Физика — 11 класс»

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Есть колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь.

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии.
Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Полная энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R контура равно нулю, тогда производная полной энергии по времени равна нулю.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Физический смысл вышеприведенного уравнения состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля.
Знак «—» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

После вычисления производных в уравнении, получается

Производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени.
Тогда основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Полученное уравнение ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения, описывающего колебания пружинного маятника.

Период свободных колебаний в контуре

Формула Томсона
В основном уравнении коэффициент представляет собой квадрат циклической частоты для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Эта формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Период свободных колебаний зависит от L и С.
При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля.
А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока.

Координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону:

Заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

где
q_m — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

где
I_m = q_mω₀ — амплитуда колебаний силы тока.
Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда.

Точно так же колебания скорости тела в случае пружинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими.
Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление, тем бо́льшим будет период колебаний.
При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут.
Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Уравнения описывающие процессы в колебательном контуре вывод

Гипермаркет знаний>>Физика и астрономия>>Физика 11 класс>> Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Период свободных электрических колебаний

§ 30 УРАВНЕНИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. ПЕРИОД СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Перейдем теперь к количественной теории процессов в колебательном контуре.

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь (рис. 4.6).

Уравнение, описываюндее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Эта энергия не меняется с течением времени, если ео противление R контура равно нулю. Значит, производная полной энергии по времени равна нулю. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Физический смысл уравнения (4.5) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак «-» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

Вычислив производные в уравнении (4.5), получим 1

Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Поэтому уравнение (4.6) можно переписать в следующем виде:

1 Мы вычисляем производные по времени. Поэтому производная (і 2 )’ равна не просто 2_і, как было бы при вычислении производной но і. Нужно 2_і умножить еще на производную i’ силы тока по времени, так как вычисляется производная от сложной функции. То же самое относится к производной (q₂)’.

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Подставив в уравнение (4.8) і’ = q» и разделив левую и правую части этого уравнения на Li, получим основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Теперь вы в полной мере можете оценить значение тех усилий, которые были затрачены для изучения колебаний шарика на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (4.9) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (3.11), описывающего колебания шарика на пружине. При замене в уравнении (3.11) х на q, х» на q», k нa 1/C и m нa L мы в точности получим уравнение (4.9). Но уравнение (3.11) было уже решено выше. Поэтому, зная формулу, описывающую колебания пружинного маятника, мы сразу же можем записать формулу для описания электрических колебаний в контуре.

Формула Томсона. В уравнении (3.11) коэффициент представляет собой квадрат собственной частоты колебаний. Поэтому и коэффициент в уравнении (4.9) также представляет собой квадрат циклической частоты — в этот раз для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Формула (4.11) называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием L и С наглядно можно пояснить так. При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока. Подобно тому как координата при механических колебаниях (в случае, когда в начальный момент времени отклонение тела маятника от положения равновесия максимально) изменяется со временем по гармоническому закону:

х = х_m cos t,

заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

q = q_m cos t, (4.12)

где q_m — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

где I_m = q_m — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда (рис. 4.7).

Точно так же колебания скорости тела в случае пруте жинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими. Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление R, тем большим будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут. Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.

Простейшая система, где наблюдаются свободные электромагнитные колебания, — колебательный контур. Уравнение (4.9) — это основное уравнение, описывающее сво бодные электрические колебания в контуре.

1. в чем различие между свободными и вынужденными электрическими колебаниями!
2. Как изменится период свободных электрических колебаний в контуре, если емкость конденсатора в нем вдвое увеличить или же вдвое уменьшить!
3. Как связаны амплитуды колебаний заряда и тока при разрядке конденсатора через катушку!

Мякишев Г. Я., Физика. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. — 17-е изд., перераб. и доп. — М. : Просвещение, 2008. — 399 с : ил.

_{Учебники и книги по всему предметам, домашняя работа, онлайн библиотеки книжек, планы конспектов уроков по физике, рефераты и конспекты уроков по физике для 11 класса скачать}

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

§ 2.3. Формула Томсона

Формула Томсона

Наша задача в первую очередь будет заключаться в определении периода (или частоты) свободных электрических колебаний. Правда, основываясь на аналогии между свободными механическими и свободными электрическими колебаниями, можно сразу записать выражения для частоты и периода свободных электрических колебаний.

Действительно, так как в формуле для циклической частоты свободных колебаний шарика на пружине — величина k аналогична , а m — индуктивности L, то частота свободных электрических колебаний должна быть равна:

Для периода свободных колебаний можно записать:

Формула (2.3.2) называется формулой Томсона в честь английского физика, который ее впервые вывел.

Полученные нами результаты правильны. Однако все же считать их достаточно строго доказанными нельзя. Необходимо показать, что уравнение, описывающее электрические колебания в контуре, в математическом отношении не отличается от уравнения, описывающего свободные механические колебания. Лишь после этого мы с полной уверенностью сможем утверждать, что механические и электрические колебания управляются одними и теми же количественными законами. А это и есть самое важное.

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Основное уравнение для процессов в колебательном контуре можно записать, используя закон Ома в дифференциальной форме:

Здесь i — плотность тока, γ — удельная проводимость, — напряженность потенциального электрического поля в проводнике, созданного поверхностными зарядами, _ст — напряженность поля сторонних сил. В случае колебательного контура без источников тока _ст — это напряженность вихревого (непотенциального) поля.

Рассмотрим колебательный контур, содержащий все три основных элемента: конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R (рис. 2.7).

Сопротивлением катушки, пластин конденсатора и соединительных проводов пренебрежем. Весь контур между точками 1 и 2 разобьем на малые элементы . Положительное направление обхода контура выберем по часовой стрелке. Запишем уравнение (2.3.3) для каждого элемента и умножением обеих частей на приведем его к виду:

Теперь просуммируем уравнения (2.3.4), записанные для всех элементов . контура между точками 1 и 2:

Выясним физический смысл каждого из членов уравнения (2.3.5). Рассмотрим сумму в левой части уравнения. Для всей цепи, кроме резистора, удельная проводимость бесконечна, так как мы сопротивление этой части цепи полагаем пренебрежимо малым. Далее, будем считать резистор состоящим из тонкой проволоки постоянного поперечного сечения площадью S и постоянной удельной проводимости γ. Тогда плотность тока _i будет направлена по и приблизительно постоянна по сечению. Поэтому можно принять, что

где i — сила тока в цепи.

При этих предположениях

где i длина проволоки резистора.

есть не что иное, как сопротивление резистора.

Рассмотрим первый член правой части уравнения (2.3.5). Он численно равен работе кулоновского поля, созданного поверхностными зарядами проводника, при перемещении единичного заряда вдоль контура от точки 1 к точке 2, т. е. разности потенциалов (или напряжению) на конденсаторе:

где q — заряд правой пластины конденсатора.

Второй член правой части уравнения (2,3.5) численно равен работе сторонних сил (вихревого электрического поля) в контуре по перемещению единичного заряда, т. е. представляет собой ЭДС самоиндукции. Согласно закону электромагнитной индукции:

Теперь силу тока выразим через производную заряда конденсатора. Здесь имеется небольшая тонкость. При выбранном направлении обхода контура сила тока, направленного от правой пластины конденсатора, положительна. Эта пластина разряжается и ее заряд уменьшается. Изменение заряда Δq за малый интервал времени Δt отрицательно. Для того чтобы сила тока была положительной величиной, ее надо определить так:

Если бы вместо заряда q правой пластины мы взяли заряд левой пластины, то i = +q’. В напхем случае справедливо равенство (2.3.10). Окончательно уравнение (2.3.5) запишем в форме:

Это и есть основное уравнение для процессов в колебательном контуре. Оно аналогично уравнению (1.9.5) с правой частью, равной нулю. (Такое уравнение будет описывать свободные затухающие колебания.)

Строгий вывод формулы Томсона

Решение уравнения (2.3.11) в общем случае, т. е. нахождение зависимости заряда и силы тока от времени, слипхком сложно. Мы ограничимся случаем, когда резистор в контуре отсутствует и членом iR = -q’R можно пренебречь. Тогда уравнение (2.3.11) упрощается и его можно записать в виде

Теперь, наконец, вы в полной мере сможете оценить те усилия, которые были затрачены для изучения колебаний груза на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (2.3.12) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (1.2.4), описывающего колебания груза на пружине. При замене m ⇒ L, а_x = х» ⇒ q», k ⇒ и x ⇒ q мы в точности получим уравнение (2.3.12) вместо (1.2.4).

Но уравнение (1.2.4) или эквивалентное ему уравнение (1.4.1) нами уже решено. Поэтому, зная, как колеблется груз, мы сразу можем сказать, как происходят колебания в контуре.

Разделив правую и левую части уравнения (2.3.12) на L и введя обозначение

А это то же самое, что и уравнение (1.4.1). В уравнении (1.4.1) ω₀ — циклическая частота колебаний. Значит, и величина ω₀, определяемая выражением (2.3.13), тоже является частотой колебаний, но теперь уже частотой электрических колебаний (заряда, силы тока и других величин). Период свободных колебаний в контуре равен:

Это и есть формула Томсона.

Конечно, и без каких-либо уравнений мы могли бы сообразить, что период Т должен увеличиваться с ростом индуктивности L и емкости С. Действительно, при увеличении L сила тока медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора. Но получить формулу (2.3.15) строго без уравнения (2.3.14) мы бы не смогли.

Гармонические колебания заряда и силы тока

Подобно тому, как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно также заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса:

Здесь q_m — амплитуда колебаний заряда, а φ₀ — начальная фаза колебаний. Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: q(0) = q₀ и i(0) = i₀.

Если в начальный момент времени q(0) = q₀, а i(0) = i₀, то колебания совершаются по косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой* и амплитудой q_m = q₀:

Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вы вывели груз из положения равновесия и не сообщили ему начальной скорости.

Сила тока также совершает гармонические колебания. Если q = q₀ cos (ω₀t + φ₀), то

где I_m = ωq_m — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока смещены по фазе относительно колебаний заряда на . При начальных условиях q(0) = q₀, i(0) = 0

Колебания заряда и силы тока для этого случая графически представлены на рисунке 2.8.

В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. Чем больше сопротивление R, тем больше будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но перезарядки не произойдет.

* Именно такой случай описан в § 2.2, когда колебания в контуре начинались после замыкания цепи предварительно заряженного конденсатора.